М.В. Синьков, А.А. Чапор

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 519.68, 620.179.15, 681.3

Институт проблем регистрации информации НАН Украины

М.В. Синьков

А.А. Чапор

Изучение внутреннего состояния объекта -- важная задача для различных отраслей науки, техники и медицины. Для расширения круга приложений компьютерной томографии необходимо развитие методов сбора исходных данных, их обработки и проведения реконструкции с целью получения трехмерных результирующих изображений высокого качества.

Для решения задач пространственно-временной реконструкции и повышения качества изображений полного объема объекта с начала 80-х годов ведутся исследования по созданию систем, способных реконструировать трехмерную структуру по набору ее двумерных проекций. Наиболее естественной схемой получения двумерных проекций для рентгеновской томографии являются сканирующие устройства с конической формой пучка излучения.

В простейшем смысле коническую томографию можно рассматривать как трехмерное расширение более знакомой двумерной веерной геометрии. Для получения веерных проекционных данных перед источником рентгеновского излучения помещают узкий линейный коллиматор для формирования веера. Конические данные можно получить, убрав коллиматор, и в этом случае рентгеновские лучи свободно распространяются от источника, формируя конусно-подобный телесный угол. Множество данных получают как расходящиеся линейные интегралы, если детекторы помещены на противоположной источнику стороне. Целью конической томографии является обращение конических проекционных данных для получения оценок плотности в каждой точке внутри объекта. Математически задача ставится как задача восстановления функции трех переменных по интегралам вдоль прямых, проходящих через некоторую кривую.

Различные подходы и группы методов реконструкции в конических пучках были рассмотрены в статье «Перспективы развития аппаратной и алгоритмической базы компьютерной томографии» настоящего журнала № 1. В частности, было отмечено, что исключительно важную с точки зрения получения изображений высокого качества группу методов составляют точные методы реконструкции по коническим проекционным данным. В данной работе будут подробно рассмотрены некоторые методы из этой группы и перспективы построения эффективных численных алгоритмов на их основе.

В основе точных методов реконструкции лежит математически точная замкнутая формула обращения конических проекционных данных, собираемых с учетом условия полноты. Благодаря тому, что результат применения такой формулы является математически корректным, алгоритмы, построенные на основании такого метода, позволяют выполнить реконструкцию с высокой точностью. Точные методы составляют достаточно обширную группу, важными представителями которой являются методы, разработанные Туем [12], Смиттом [11] и Грангеатом [7]. Упомянутые формулы выводились с учетом особенностей 3D преобразования Радона.

В работе Клака и Дифрайза [5] проведен анализ различий и общего в этих теориях. В ней получена формула обращения, которая обобщает эти важные теоретические результаты и представляет класс математически точных реконструкционных процедур, применимых к любой системе с коническим пучком, собирающей полный набор проекций для геометрии сканирования, удовлетворяющих условиям Кириллова. Модифицируя пределы интегрирования, ее можно адаптировать к более практичным схемам, удовлетворяющим условиям Туя. В формуле использованы 4 параметра (a,b,c,d), чтобы объединить обобщенные промежуточные функции, связывающие конические проекционные данные с 3D преобразованием Радона и получить структуру метода в виде свертки и обратного проецирования. Различные значения параметров дают разные формулы обращения. Так, например, при (a,b,c,d) = (1/2, i/2, 0, -2i), (a,b,c,d) = (1, 0, 1, 0) и (a,b,c,d) = (0, -2, 0, -1/2) получаем методы, эквивалентные формулам Туя, Смитта и Грангеата соответственно. Любые значения (a,b,c,d) дают справедливую формулу обращения, но из-за некоторых масштабных свойств параметров не все полученные формулы обращения будут математически различны.

Работы Гельфанда [1, 2] мало известны для западных специалистов, работающих по проблеме 3D реконструкции. В [1] сформулирована общая постановка задачи интегральной геометрии, представляющая значительный интерес и для томографических приложений.

Пусть задано некоторое пространство X, и в нем заданы какие-то многообразия, скажем, аналитические и аналитически зависящие от параметров 1,2 ... ,k :

M = M() = M(1,2 ... ,k).

Сопоставим функции f(x) в пространстве X интегралы данной функции по этим многообразиям

Мы получим новую функцию (), определенную на множестве многообразий M(). Задача состоит в том, чтобы по функции восстановить исходную функцию f(x). Более точно интересуют следующие вопросы:

1) когда отображение f , устанавливаемое формулой (1), где f(x) -- «любая» функция в пространстве X, является взаимно однозначным? Если это отображение взаимно однозначно, то какова формула обращения, выражающая функцию f(x) через ();

2) какие функции от можно представить интегралом (1), где f(x) -- «любая» функция в пространстве X.

При этом под «любая» функция подразумевается класс функций, выделяемый какими-нибудь условиями на гладкость или на скорость их убывания на бесконечности, но локально содержащий все бесконечно дифференцируемые функции. Таким классом может быть, например, класс всех финитных бесконечно дифференцируемых функций.

Естественно, что однозначное определение функции n переменных, возможно по совокупности функций того же числа переменных. В задаче интегральной геометрии совокупность многообразий M в пространстве X, по которым мы интегрируем функцию f(x), должна зависеть от того же числа переменных, какова и размерность X.

Для каждой задачи интегральной геометрии можно построить ее локальный аналог, заменяя многообразия касательными плоскостями. Локальная задача интегральной геометрии решена полностью только для простейшего случая семейства (n-1)-мерных плоскостей в n-мерном аффинном пространстве (преобразование Радона и обратное преобразование Радона).

В [1] отмечается значительный интерес к решению задачи интегральной геометрии для общего случая семейства k-мерных плоскостей в n-мерном аффинном пространстве. Первоначально, по мнению авторов, необходимо исследовать семейство прямых, решая задачу для комплексного пространства, так как комплексный случай проще, чем вещественный. Первый шаг в этом направлении был сделан еще в 1947 г., когда была решена задача интегральной геометрии для некоторых семейств прямых в 3-мерном комплексном пространстве. Результаты для семейств прямых в 3-мерном и 4-мерном комплексных пространствах опубликованы в [1]. Решение же этой задачи для семейств прямых, пересекающих данное множество точек, в 3-мерном вещественном пространстве для финитных функций дано в работе [2]. Именно этот случай лежит в основе 3-мерной реконструкции по коническим пучкам.

Таким образом, решая задачу интегральной геометрии для семейств прямых в 3-мерном вещественном пространстве для финитных функций в работе [2], И.М.Гельфандом была получена формула, применимая к восстановлению функций по коническим проекционным данным. Интересен вопрос о существовании набора значений параметров (a,b,c,d) общей реконструкционной формулы, представленной в [2], таких, чтоб полученная реконструкционная формула была эквивалентна методу Гельфанда.

Для удобства изложения представим результаты работ [5] и [2] параллельно в виде последовательности шагов по реконструкции, которые приводят от конических проекционных данных к восстанавливаемой функции.

Исходные условия.

В работе [5] восстанавливаемая функция f(x) является достаточно гладкой в области определения и задана внутри некоторого шара радиуса R. Орбитой конуса есть почти всюду дифференцируемая кривая () в пространстве с параметром R, где R -- множество действительных чисел. Точки на кривой задаются как (). Предполагается, что орбита удовлетворяет условию Кириллова, т.е. она пересекается с любой плоскостью в пространстве. Математически это записывается так: кривая () такая, что для всех S2 (множество единичных векторов в R 3) и всех l R, существует такое , что ()* = l. Это условие не является необходимым. В работе [2] принято, что восстанавливаемая функция (x) задана в некотором фиксированном объеме пространства V. Известными считаются ее интегралы по лучам, исходящим из некоторого множества М в пространстве. Условие о взаимном расположении М и области V, выполнение которого обеспечивало б возможность восстановления функции (x) является результатом в этой работе. Сопоставление этого результата с условием Кириллова будет рассмотрено отдельно.

Шаги реконструкции.

1. Общая реконструкционная формула

1.1. Конические проекционные данные представляются функцией g, определенной на S2 . Значения функции g(, ) являются интегралами по лучам из точки орбиты () в направлении ,

1.2. Для любых комплексных чисел a и b усредненная функция G также определена на S2 и имеет вид:

где h1 и h2 -- две действительные обобщенные функции, определяемые через обратные преобразования Фурье

Линейная комбинация [a*h1+b*h2] определяется как обратное преобразование Фурье от aw+ ibw. Эти функции более известны как томографическое наклонно (ramp) фильтрующее ядро (h1) и производная от дельта функции Дирака (h2(t) =(t)/2). Заметим, что свертка с 2h2 соответствует взятию производной.

1.3. Для всех и l F(, l) задано уравнением

F(, l) = G(, ),

где является решением (существование которого обеспечивается условием Кириллова) уравнения * l.

1.4. Для любых комплексных чисел c и d , таких что a*c + b*d = 1,

общая формула реконструкции может быть записана следующим образом. томографический изображение формула обращение

(обратное проецирование F* ).

Доказательство этой формулы полностью приведено в [5] и строится как последовательность лемм. Лемма 1 описывает связь между усредненной функцией F(,l) и 3D преобразованием Радона r(,l). Лемма 2 является выражением формулы обратного преобразования Радона через h1 и h2. Лемма 2 используется для доказательства леммы 3 и реконструкционная процедура следует непосредственно из лемм 1 и 3.

2. Реконструкция по Гельфанду

2.1. Конические проекционные данные представляются функцией:

представляющей интегралы функции (x) по прямой с направляющим вектором a, a = 1, проходящей через точку x0.

2.2. Строим функцию

где d2a -- усреднение по всем единичным векторам.

2.3. Рассмотрим прямую x = b, -- параметр этой прямой. Фиксируем также произвольный вектор b, ортогональный вектору a. Обозначим через pb (V) (pb (M)) проекцию области V (соответственно проекцию множества M) на эту прямую. Тогда

где = x0*b pb(M).

2.4. Пусть -- координаты крайней справа (соответственно крайней слева) точки множества pb (M). Если положить p = b*x, то окончательная формула запишется следующим образом:

Сравнение шагов 1-3 наводят на мысль о возможности сведения формулы Гельфанда к общей реконструкционной формуле из работы [5] с подбором соответствующих параметров. Покажем, что это в действительности так.

Пусть

где w = 1, есть преобразование Радона функции (x).

В [2] доказана следующая лемма:

Тогда, учитывая, что p = b*x, формулу (11) можно преобразовать к следующему виду:

То есть, мы получили:

Этот результат с точностью до обозначений совпадает с результатом Грангеата, приведенного в [5]:

Из сравнения (12) и (13) можно заключить, что формулы Гельфанда [2] и Грангеата [6, 7] математически эквивалентны. Как показано в [5] они соответствуют частному случаю общей реконструкционной формулы с соответствующими значениями параметров: (a,b,c,d) = (0, -2, 0, -1/2).

В работе Гельфанда получено условие о взаимном расположении множества M и области V, выполнение которого обеспечивает возможность точной реконструкции. Условие Гельфанда ставит значительно менее жесткие ограничения на траекторию вершины конуса. Этим предопределяется интерес к этой работе.

В [2] доказана следующая теорема.

Если для любого вектора b множество pb (V) представляет собой отрезок прямой и содержится в (или совпадает с) pb (M), то функция эффективно находится, используя ее интегралы по прямым, пересекающим M.

В [5] предполагалось выполнение условия Кириллова. Тем не менее значительно менее жесткие ограничения могут быть введены ценой усложнения общей реконструкционной формулы. Так доказана достаточность проекционных данных для реконструкции при выполнении условия Туя: орбита конуса должна пересекать только те плоскости, которые пересекают область определения восстанавливаемой функции. В [2] для такого условия рассмотрены только 3 частных случая общей реконструкционной формулы, соответствующие методам Туя, Смитта и Грангеата. Замечено только, что вид общей формулы в этом случае должен быть более сложным.

Нами показана эквивалентность формул Грангеата и Гельфанда. Далее необходимо рассмотреть вопрос о соотношении условий для орбиты, принятых в обоих подходах. Отметим, что выбор условия полноты влияет не только на границы интегрирования в окончательном результате, а является принципиально важным на третьем шаге процедуры реконструкции, обеспечивая существование решений уравнений (5) и (10) соответственно.

В работах Грангеата было принято условие Туя. В реальных томографических системах, где R -- радиус зоны исследований, принято что функции заданны внутри некоторого шара радиуса R и вне этого шара восстанавливаемая функция тождественно равна нулю. Условие Кириллова, принятое при изложении общей реконструкционной процедуры, обеспечивало, что для всех S2 и всех l [- ; ], можно найти значения F(, l), необходимые для интегрирования в (6), используя соотношение (5). В действительности, реконструкция возможна и при F(, l) известной для всех и l из диапазона l < R. Такое ограничение диапазона и приводит к условию Туя -- орбита конуса должна пересекать только те плоскости, которые пересекают и область определения восстанавливаемой функции. В [5] показано, что для метода Грангеата F(,l) = 0 при l > R. Поэтому уравнение (6) может быть переписано с изменением пределов интегрирования:

В рассматриваемом случае, когда функция задана внутри некоторого шара, условия Туя, принятое и Грангеатом, и условие, полученное в работе [2] Гельфандом эквивалентны. Действительно, проекция области V на любую прямую, проходящую через центр будет совпадать с проекцией множества M, если -R; R ( = -R, = R). Таким образом мы получаем тот же диапазон изменения параметра, а значит это условие в данном случае эквивалентно условию Туя. Случай, когда область определения функции отлична от шара в работах Грангеата [7], а также в работе [5] не рассматривался. В работе Гельфанда [2] на область определения функции V какие-либо ограничения не накладываются. Поэтому его условие для этого случая дает более узкий диапазон изменения параметра и более точные пределы интегрирования. Эта особенность может оказаться полезной при разработке схемы сканирования в томографической системе, ориентированной на исследование сложных объектов, геометрическая форма которых значительно отличается от шара.

Выводы

При разработке любых томографических систем, и особенно ориентированных на 3D реконструкцию, вопросы конструирования аппаратной части, выбора схемы сканирования, разработки и реализации алгоритма реконструкции должны быть тесно взаимоувязаны между собой. Очень важно для получения изображения высокого качества использование точных методов реконструкции в конических пучках. Так, применение алгоритма Грангеата в системе EVA bench, разработанной в LETI [8], позволило получить даже для больших углов расхождение конуса разрешения порядка десятков микрон для объектов диаметром до 10 см. Используемая для сбора данных схема сканирования представляет собой две окружности, лежащие во взаимоперпендикулярных плоскостях. Однако применение этого же метода при исследовании объектов большого диаметра приводит к значительным трудностям, связанным с резким возрастанием количества проекционных данных и, следовательно, объемом вычислений. Метод Гельфанда, как показано в этой работе, математически эквивалентен подходу Грангеата, а значит позволяет обеспечить такие же качественные характеристики результирующего трехмерного изображения. Однако условия полноты Гельфанда позволяет уменьшить объем вычислений за счет более точных пределов интегрирования при вычислении промежуточных функций и в окончательной формуле обращения. Кроме того, это условие представляется перспективным для разработки новых схем сканирования. Особенно большие преимущества может дать использование этого подхода для исследования объектов большого размера, геометрическая форма которых значительно отличается от шара.

Литература

1. Гельфанд И.М., Граев М.Н., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. -- М.: Физматгиз, 1962. -- 420 с.

2. Гельфанд И.М., Гончаров А.Б. Восстановление финитной функции, исходя из ее интегралов по прямым, пересекающим данное множество точек в пространстве // ДАН СССР. -- 1986. -- №5. -- C. 290-296.

3. Кириллов А.А. Об одной задаче И.М. Гельфанда // ДАН СССР. -- 1961. -- №2. -- C. 268-269.

4. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям. Основы реконструктивной томографии: Пер. с англ. -- М.: Мир, 1983. -- 389 с.

5. Clack R., Defrise M. Cone-beam reconstruction by use of Radon transform intermediate functions // J. Opt. Soc. Am. -- 1994. -- A-11. -- P.50-62.

6. Feldkamp L.A., Davis L.C., Kress J.W. Practical cone-beam algorithm // J. Opt. Soc. Am. -- 1984. -- Vol. 1(6). -- P. 612-619.

7. Grangeat P. Mathematical framework of cone beam three-dimensional reconstruction via the first derivative of the Radon transform // Math. Methods in Tomography. -- V.1947 of Springer Lecturre Notes in Math-cs. -- Berlin: Springer-Verlag. -- 1991. -- P. 66-97.

8. LETI: 3D cone-beam X-ray Tomograph EVA ( Equipment for Volumedensitometry Analysis) Bench. -- 1996. -- 7 p.

9. Robb R.A., et. al. The Dynamic Spartial Reconstructor: a computed tomography system for high-speed simultaneous scanning of multiple cross section of the heart // J. Med. Syst. -- 1980. -- Vol. 4. --P. 253-288.

10. Sinkov M.V., Zakidalsky A.I., Chapor A.A., Sinkova T.V., Stukalenko P.I. Study and choice of method for solving 3D reconstruction problem in tomography // Proc.7th ECNDT, Copenhagen.- May 1998. -- Abstracts. -- P.378 + Proceedings. -- Vol .3. -- P. 2529-2534.

11. Smith B.D. Image reconstruction from cone-beam projections: necessary and sufficient conditions and reconstruction methods // IEEE Trans. Med. Imaging. -- 1985. -- Vol. 4. -- P. 14-28.

12. Tuy H.K. An inversion formula for cone-beam reconstruction // SIAM J. Appl. Math. -- 1983. --Vol. 43. -- P. 546-552.

Аннотация

Круг применения томографических систем с коническим пучком в значительной мере определяется возможностью выбора эффектив-ного алгоритма трехмерной реконструкции, обеспечивающего высокое качество результирующего изображения. С этих позиций важным представляется исследование точных формул обращения и построение на их основе алгоритмов, позволяющих выполнить реконструкцию с высокой точностью. Предложено использовать обобщенную реконструкционную процедуру с комплексными параметрами для выделения классов математически эквивалентных методов реконструкции. Доказана эквивалентность известного алгоритма Грангеата и метода, предложенного Гельфандом. Предложено использование особенностей подхода Гельфанда при разработке алгоритмов для томографических систем, предназначенных для исследования сложных объектов больших размеров, что позволяет снизить необходимый объем обрабатываемых данных и вычислений, а также разрабатывать более экономичные схемы сканирования.

Ключевые слова: коническая томография, метод реконструкции, формула обращения, алгоритм восстановления.

Размещено на Allbest.ru