Логарифмическая функция от кватерниона
Рассмотрение кватернионов как некоммуникативной системы гиперкомплексных чисел четвертого порядка; их применение в различных областях науки. Функции вещественных переменных. Сравнение логарифма кватерниона с логарифмами вещественных и комплексных чисел.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.01.2019 |
| Размер файла | 28,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова
Размещено на http://www.allbest.ru/
36
Математичні методи обробки даних
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2002, Т. 4, № 1 35
УДК 519.68; 620.179.15; 681.3
Логарифмическая функция от кватерниона
Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Рассмотрено построение логарифмической функции от кватерниона. Предложен вывод основного выражения и сопоставление с логариф-мом комплексных и действительных чисел.
Ключевые слова: кватернион, логарифм, мнимая единица.
Введение
Открытые в 1843 году У. Гамильтоном кватернионы, представляют собой некоммутативную систему гиперкомплексных чисел четвертого порядка. Кватер- нионы нашли важное применение в различных областях науки и техники.
В связи с этим целесообразно расширить класс нелинейных функций от ква-тернионов, которые могут быть представлены через функции вещественных пере-менных.
В настоящее время, кроме полиномов и дробно-рациональных функций, получены представления и изучены свойства экспоненты от кватерниона, а также гиперболических функций -- синуса и косинуса. В данной статье строится пред-ставление логарифмической функции от кватерниона.
кватернион переменная логарифм комплексный
Определение логарифма от кватерниона
Определение логарифма от кватерниона основано на представлении экспо-ненты от кватерниона:
, (1)
где
; (2)
. (3)
Обозначим логарифм от кватерниона через Ln Q. Пусть:
Ln Q = Х, (4)
где -- также кватернион. Смысл выражения (4) заключается в том, что кватернион Х должен удовлетворять уравнению
eX = Q, (5)
которое с помощью (4) может быть представлено в виде:
. (6)
Построение представления логарифма от кватерниона
Приравнивая в (6) коэффициенты при одноименных координатах, получим систему уравнений
(7)
решение которой будет иметь вид:
;
m = 2, 3, 4. (8)
Таким образом, логарифм кватерниона Q имеет следующее представление через вещественные функции:
. (9)
Как видно из (9), логарифм кватерниона многозначен. Аналогично логарифмам от комплексных и вещественных чисел выделим из (9) главное значение. При n2 = n3 = n4 = 0 получим выражение:
, (10)
которое и примем за определение логарифма от кватерниона.
Сравнение логарифма кватерниона с логарифмами вещественных и комплексных чисел
Так как поля вещественных и комплексных чисел являются подполями поля кватернионов, то из (9) и (10) должны вытекать формулы для логарифмов комплексных чисел. Действительно, если комплексное число
(11)
представить в виде кватерниона
,
тогда:
, (12)
что совпадает с определением логарифма комплексного числа.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Кватернион как один из самых интересных и приметных представителей гиперкомплексных чисел, его отражение в современных информационных компьютерных интерактивно-игровых технологиях. Алгебра кватернионов над полем R. Сущность и применение тождества Эйлера.
статья [60,4 K], добавлен 08.12.2009История открытия логарифмов. Определение логарифма. Натуральные, десятичные, двоичные логарифмы и их применение в теории информации и информатике. Логарифмические функции и их графики. Логарифмическая спираль. Риманова поверхность. Свойства функции.
презентация [316,0 K], добавлен 20.02.2011Характерные особенности логарифмов, их свойства. Методика определения логарифма числа по основанию a. Основные свойства логарифмической функции. Множество всех действительных чисел R. Анализ функций возрастания и убывания на всей области определения.
презентация [796,3 K], добавлен 06.02.2012Краткий биографический очерк жизни и деятельности Георга Кантора и Шарля Мерэ. История создания теории действительного числа, ее математическая сущность и характеристика. Определение отношения порядка. Понятие замкнутости множества вещественных чисел.
презентация [473,7 K], добавлен 11.06.2011История комплексных чисел. Соглашение о комплексных числах. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка. Уравнение высших степеней, уравнение деления круга на пять частей.
реферат [325,7 K], добавлен 25.10.2012Доказательства существования иррациональных чисел. Арифметический подход Евклида к множеству иррациональных чисел. Рассуждения Дедекинда о непрерывности области вещественных чисел, неявном понятии точной верхней грани. Анализ бесконечно малых величин.
реферат [1,9 M], добавлен 08.05.2012Появление отрицательных чисел. Понятие мнимых и комплексных чисел. Формула Эйлера, связывающая показательную функцию с тригонометрической. Изображение комплексного числа на координатной плоскости. "Гиперкомплексные" числа Гамильтона ("кватернионы").
презентация [435,9 K], добавлен 16.12.2011Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
курсовая работа [104,1 K], добавлен 03.01.2008Общая терминология и история изобретения логарифма. Характеристики натурального и обычного логарифма, определение дробного числа и мантиссы. Таблицы и свойства натуральных логарифмов. Логарифмическая и экспоненциальная кривая, понятие функции логарифма.
реферат [211,2 K], добавлен 05.12.2011Система, свойства и модели комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел. Корень четной степени из отрицательного числа. Матрицы второго порядка, действительные числа. Операции сложения и умножения матриц.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 15.06.2011Свойства чисел натурального ряда. Периодическая зависимость от порядковых номеров чисел. Шестеричная периодизация чисел. Область отрицательных чисел. Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.
научная работа [20,2 K], добавлен 29.12.2006Логарифмическая функция, ее основные свойства и график. Простейшие логарифмические уравнения. Логарифмо-показательные уравнения. Переход к логарифмам одного основания с использованием формулы перехода от логарифма одного основания к логарифму другого.
курсовая работа [629,1 K], добавлен 26.11.2013Понятие комплексных чисел, стандартная, матричная и геометрическая модели; действия над комплексными числами; модуль и аргумент. Алгебраическое, тригонометрическое и показательное представление комплексных чисел. Формула Муавра и извлечение корней.
контрольная работа [25,7 K], добавлен 29.05.2012Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа распределения простых чисел.
монография [575,3 K], добавлен 28.03.2012Логарифм как многозначная функция. Обозначение главного значения логарифма. Свойства логарифма на случай комплексного аргумента. Понятие обратных тригонометрических функций (арккосинуса, арктангенса, арккотангенса), практические примеры их вычисления.
презентация [171,6 K], добавлен 17.09.2013Применение способа решета Эратосфена для поиска из заданного ряда простых чисел до некоторого целого значения. Рассмотрение проблемы простых чисел-близнецов. Доказательство бесконечности простых чисел-близнецов в исходном многочлене первой степени.
контрольная работа [66,0 K], добавлен 05.10.2010Расчет значений комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Определение расстояния между точками на комплексной плоскости. Решение уравнения на множестве комплексных чисел. Методы Крамера, обратной матрицы и Гаусса.
контрольная работа [152,7 K], добавлен 12.11.2012Вычисление комплексных чисел, модуля и аргумента, извлечение кубических корней. Нахождение синусов и косинусов в алгебраическом виде. Решение системы уравнений с помощью формул Крамера, вспомогательных определителей и средствами матричного исчисления.
контрольная работа [444,2 K], добавлен 11.05.2013Свойства дзета-функции Римана для действительного аргумента. Дзета-функцию как функция мнимого аргумента. Дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе, в теории чисел, в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду.
курсовая работа [263,2 K], добавлен 29.05.2006Комплексные числа в алгебраической форме. Степень мнимой единицы. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Комплексные числа и параметры.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 10.12.2008
