Некоторые линейные и нелинейные операции в системе обобщенных комплексных чисел

Основные особенности алгоритмов выполнения линейных и нелинейных операций в системе обобщенных комплексных чисел. Изучение изоморфизма систем комплексных чисел и обобщенных комплексных чисел. Геометрическая интерпретация обобщенных комплексных чисел.

Рубрика Математика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 29.01.2019
Размер файла 47,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Некоторые линейные и нелинейные операции в системе обобщенных комплексных чисел

М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова

Институт проблем регистрации информации НАН Украины

ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина

Изучены особенности алгоритмов выполнения линейных и нелинейных операций в системе обобщенных комплексных чисел. Успешное решение этого вопроса связано с изоморфизмом систем комплексных чисел и обобщенных комплексных чисел. Показана геометрическая интерпретация обобщенных комплексных чисел.

Ключевые слова: комплексные числа, базис системы, экспонента.

Как известно, комплексные числа нашли широчайшие и эффективные применения в самых различных областях науки и техники. Также достаточно результативно, особенно в последнее время, находят применение расширения комплексных чисел -- гиперкомплексные числовые системы. Однако, на числовые системы, изоморфные комплексным числам, обращалось мало внимания. В дальнейшем такие системы чисел будем называть обобщенными комплексными числами, которые могут оказаться очень удобным аппаратом при моделировании явлений и объектов, где целесообразно применять косоугольную систему координат. Это могут быть, например, плоские механизмы. Поэтому целью данной работы является исследование арифметических и геометрических свойств систем обобщенных комплексных чисел, возможности проведения в них линейных и нелинейных операций.

Обобщенные комплексные числа есть система гиперкомплексных чисел, размерность которой равна двум, базис содержит единичный элемент, а квадрат второго элемента базиса равен некоторому гиперкомплексному числу из той же системы. Если базис системы комплексных чисел обозначим {е1, е2}, а обобщенных комплексных чисел {Е1, Е2}, то соответствующие таблицы имеют вид:

e1

e2

E1

E2

e1

e1

e2

E1

E1

E2

(1)

e2

e2

-e1

E2

E2

pE1 + qE2

При этом компоненты p и q должны удовлетворять условию

. (2)

Это условие является существенным, так как, если оно не соблюдается, то такие числа уже не будут обобщенными комплексными [1].

Для удобства дальнейших выкладок обозначим

. (3)

Как видно из таблиц умножения (1), при p = ?1, q = 0 система обобщенных комплексных чисел переходит в систему просто комплексных. Эти системы являются изоморфными. Изоморфизм, как легко установить, задается следующей парой линейных невырожденных взаимообратных преобразований базисов:

(4)

(5)

Рассмотрим геометрическую интерпретацию системы обобщенных комплексных чисел. Напомним, что геометрической интерпретацией комплексных чисел является плоскость с ортонормированной системой координат, орты осей которой -- e1 и e2. В обобщенной комплексной системе орты описываются системой (5). Отсюда видно, что орты e1 и E1 совпадают как по величине, так и по направлению. А вот орт Е2 есть геометрическая сумма ортов e2 и e1 с соответствующими коэффициентами. Значит угол между осями координат системы обобщенных комплексных чисел, как это видно из второго уравнения (5), равен

. (6)

Таким образом геометрической интерпретацией системы обобщенных комплексных чисел будет плоскость с косоугольной системой координат, длины ортов осей которой в общем случае не равны друг другу. Все построения приведены на рисунке.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Геометрическая интерпретация обобщенных комплексных чисел

Рассмотрим, как комплексное число преобразуется в обобщенное комплексное . Подставив в выражение для а вместо e1 и e2 их значения из (4) и преобразовав, получим

, (7)

то есть:

; (8)

. (9)

Сложение обобщенных комплексных чисел производится покомпонентно и ничем не отличается от комплексных чисел. Умножение производится с помощью правой таблицы (1)

. (10)

Вопрос о сопряженном числе рассматривается в работе [2]

. (11)

Используя (11), можно получить выражение для нормы

. (12)

Покажем положительность нормы

. (13)

Но в соответствии с (2) это выражение не меньше нуля. В нуль оно обращается только при .

Положительность нормы для чисел, отличных от нуля, говорит о том, что в системе обобщенных комплексных чисел отсутствуют делители нуля. Значит деление возможно на любое число, отличное от нуля

. (14)

Норма обобщенного комплексного числа мультипликативнa. В этом можно убедиться, сравнивая выражение для нормы произведения

(15)

и произведение норм

. (16)

Раскрывая скобки и приведя подобные, можно убедиться, что правые части (15) и (16) равны. Значит:

. (17)

Рассмотрим представления некоторых нелинейностей и, прежде всего, экспоненты. При этом для вывода представления будем использовать изоморфизм систем комплексных и обобщенных комплексных чисел (4) и (5).

Как известно из теорий функций комплексного переменного

. (18)

Подставляя (4) в последнее выражение с учетом (8), (9), получим

. (19)

Зная представление экспоненты, можно вывести выражение для натурального логарифма обобщенного комплексного числа как функции, обратной к экспоненте. Пусть

,

линейный комплексный число геометрический

где М и Х -- обобщенные комплексные числа..

Отсюда следует

.

С учетом (19) получаем систему:

(20)

Решая (20) относительно Х1, Х2, получим представление натурального логарифма:

(21)

Если положить g = 0, k = 1, то есть перейти в систему комплексных чисел, то формула (21) перейдет в формулу логарифма для комплексных чисел.

Как видно из (21) логарифм есть периодическая функция, в которой можно выделить область главных значений.

Представление логарифма позволяет построить степенную функцию. Пусть A и B -- обобщенные комплексные числа, тогда

.

Здесь все преобразования можно провести, используя (10), (19) и (21). Ввиду громоздкости формул приводить их не будем, однако следует заметить, что при численных значениях переменных они заметно упрощаются.

Другие нелинейности также могут быть получены изоморфным преобразованием (4), (5), (8), (9) соответствующих представлений в системе комплексных чисел. Так для комплексных чисел:

.

Изоморфное преобразование дает следующее представление синуса обобщенного комплексного числа:

(22)

где

.

Аналогично

Выводы

В результате проведенных исследований определены арифметические и геометрические свойства обобщенных комплексных чисел, установлены правила выполнения алгебраических операций. Получены представления таких нелинейных функций обобщенного комплексного переменного, как экспонента, логарифм, синус и косинус. Это позволяет применять обобщенные комплексные числа для моделирования различных процессов и систем.

Литература

1. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Чапор А.А., Синькова Т.В. Изучение специальных видов преобразования базиса в ГЧС второго порядка// Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 1999. -- Т. 1. -- № 2. -- С. 39-43.

2. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Изучение построений сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2002. -- Т. 4. -- № 1. -- С. 38-42.

3. Калиновский Я.А., Роенко Н.В., Синьков М.В. Методы построения нелинейностей в расширениях комплексных чисел // Кибернетика и систем. анализ. -- 1996. -- № 4. -- C.178-181.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • История комплексных чисел. Соглашение о комплексных числах. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка. Уравнение высших степеней, уравнение деления круга на пять частей.

    реферат [325,7 K], добавлен 25.10.2012

  • Понятие комплексных чисел, стандартная, матричная и геометрическая модели; действия над комплексными числами; модуль и аргумент. Алгебраическое, тригонометрическое и показательное представление комплексных чисел. Формула Муавра и извлечение корней.

    контрольная работа [25,7 K], добавлен 29.05.2012

  • Комплексные числа в алгебраической форме. Степень мнимой единицы. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Комплексные числа и параметры.

    дипломная работа [1,1 M], добавлен 10.12.2008

  • Появление отрицательных чисел. Понятие мнимых и комплексных чисел. Формула Эйлера, связывающая показательную функцию с тригонометрической. Изображение комплексного числа на координатной плоскости. "Гиперкомплексные" числа Гамильтона ("кватернионы").

    презентация [435,9 K], добавлен 16.12.2011

  • Расчет значений комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Определение расстояния между точками на комплексной плоскости. Решение уравнения на множестве комплексных чисел. Методы Крамера, обратной матрицы и Гаусса.

    контрольная работа [152,7 K], добавлен 12.11.2012

  • Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.

    курсовая работа [104,1 K], добавлен 03.01.2008

  • Система, свойства и модели комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел. Корень четной степени из отрицательного числа. Матрицы второго порядка, действительные числа. Операции сложения и умножения матриц.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 15.06.2011

  • Вычисление комплексных чисел, модуля и аргумента, извлечение кубических корней. Нахождение синусов и косинусов в алгебраическом виде. Решение системы уравнений с помощью формул Крамера, вспомогательных определителей и средствами матричного исчисления.

    контрольная работа [444,2 K], добавлен 11.05.2013

  • Мнимые и действительные, равные и сопряжённые комплексные числа; модуль и аргумент. Арифметические действия над множеством комплексных чисел: сумма, разность, произведение, деление. Представление комплексных чисел на координатной комплексной плоскости.

    презентация [60,3 K], добавлен 17.09.2013

  • Свойства чисел натурального ряда. Периодическая зависимость от порядковых номеров чисел. Шестеричная периодизация чисел. Область отрицательных чисел. Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.

    научная работа [20,2 K], добавлен 29.12.2006

  • Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа распределения простых чисел.

    монография [575,3 K], добавлен 28.03.2012

  • Абелевы группы по сложению. Кольца, образованные аддитивной группой ZxZ. Кольца, образованные аддитивной группой ZxZxZ. Подкольца поля комплексных чисел и кольца классов вычетов целых чисел. Теория ассоциативных колец.

    дипломная работа [28,4 K], добавлен 08.08.2007

  • Возведение в степень комплексного числа. Бинарная алгебраическая операция. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Базис, ранг и линейные комбинации для системы векторов. Кратные корни многочлена. Разложение многочлена на элементарные дроби.

    контрольная работа [247,0 K], добавлен 25.03.2014

  • Вивчення властивостей натуральних чисел. Нескінченість множини простих чисел. Решето Ератосфена. Дослідження основної теореми арифметики. Асимптотичний закон розподілу простих чисел. Характеристика алгоритму пошуку кількості простих чисел на проміжку.

    курсовая работа [79,8 K], добавлен 27.07.2015

  • Исторические факты исследования простых чисел в древности, настоящее состояние проблемы. Распределение простых чисел в натуральном ряде чисел, характер и причина их поведения. Анализ распределения простых чисел-близнецов на основе закона обратной связи.

    статья [406,8 K], добавлен 28.03.2012

  • Квадратные матрицы и определители. Координатное линейное пространство. Исследование системы линейных уравнений. Алгебра матриц: их сложение и умножение. Геометрическое изображение комплексных чисел и их тригонометрическая форма. Теорема Лапласа и базис.

    учебное пособие [384,5 K], добавлен 02.03.2009

  • Збагачення запасу чисел, введення ірраціональних чисел. Зведення комплексних чисел у ступінь і знаходження кореня. Окремий випадок формули Муавра. Труднощі при витягу кореня з комплексних чисел. Витяг квадратного кореня із негативного дійсного числа.

    курсовая работа [130,8 K], добавлен 26.03.2009

  • Характеристика истории изучения значения простых чисел в математике путем описания способов их нахождения. Вклад Пьетро Катальди в развитие теории простых чисел. Способ Эратосфена составления таблиц простых чисел. Дружественность натуральных чисел.

    контрольная работа [27,8 K], добавлен 24.12.2010

  • Поиски и доказательства простоты чисел Мерсенна. Окончание простых чисел Мерсенна на цифру 1 и 7. Вопрос сужения диапазона поиска. Эффективный алгоритм Миллера-Рабина. Разделение алгоритмов на вероятностные и детерминированные. Числа джойнт ряда.

    статья [127,5 K], добавлен 28.03.2012

  • Геометрическое представление комплексных чисел, алгебраическая и тригонометрическая формы. Свойства арифметических операций над комплексными числами: правила сложения (вычитания) их радиус-векторов, произведение (частное) модуля числа; формула Муавра.

    презентация [147,4 K], добавлен 17.09.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.