Некоторые линейные и нелинейные операции в системе обобщенных комплексных чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Некоторые линейные и нелинейные операции в системе обобщенных комплексных чисел

М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова

Институт проблем регистрации информации НАН Украины

ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина

Изучены особенности алгоритмов выполнения линейных и нелинейных операций в системе обобщенных комплексных чисел. Успешное решение этого вопроса связано с изоморфизмом систем комплексных чисел и обобщенных комплексных чисел. Показана геометрическая интерпретация обобщенных комплексных чисел.

Ключевые слова: комплексные числа, базис системы, экспонента.

Как известно, комплексные числа нашли широчайшие и эффективные применения в самых различных областях науки и техники. Также достаточно результативно, особенно в последнее время, находят применение расширения комплексных чисел -- гиперкомплексные числовые системы. Однако, на числовые системы, изоморфные комплексным числам, обращалось мало внимания. В дальнейшем такие системы чисел будем называть обобщенными комплексными числами, которые могут оказаться очень удобным аппаратом при моделировании явлений и объектов, где целесообразно применять косоугольную систему координат. Это могут быть, например, плоские механизмы. Поэтому целью данной работы является исследование арифметических и геометрических свойств систем обобщенных комплексных чисел, возможности проведения в них линейных и нелинейных операций.

Обобщенные комплексные числа есть система гиперкомплексных чисел, размерность которой равна двум, базис содержит единичный элемент, а квадрат второго элемента базиса равен некоторому гиперкомплексному числу из той же системы. Если базис системы комплексных чисел обозначим {е1, е2}, а обобщенных комплексных чисел {Е1, Е2}, то соответствующие таблицы имеют вид:

При этом компоненты p и q должны удовлетворять условию

. (2)

Это условие является существенным, так как, если оно не соблюдается, то такие числа уже не будут обобщенными комплексными [1].

Для удобства дальнейших выкладок обозначим

. (3)

Как видно из таблиц умножения (1), при p = ?1, q = 0 система обобщенных комплексных чисел переходит в систему просто комплексных. Эти системы являются изоморфными. Изоморфизм, как легко установить, задается следующей парой линейных невырожденных взаимообратных преобразований базисов:

(4)

(5)

Рассмотрим геометрическую интерпретацию системы обобщенных комплексных чисел. Напомним, что геометрической интерпретацией комплексных чисел является плоскость с ортонормированной системой координат, орты осей которой -- e1 и e2. В обобщенной комплексной системе орты описываются системой (5). Отсюда видно, что орты e1 и E1 совпадают как по величине, так и по направлению. А вот орт Е2 есть геометрическая сумма ортов e2 и e1 с соответствующими коэффициентами. Значит угол между осями координат системы обобщенных комплексных чисел, как это видно из второго уравнения (5), равен

. (6)

Таким образом геометрической интерпретацией системы обобщенных комплексных чисел будет плоскость с косоугольной системой координат, длины ортов осей которой в общем случае не равны друг другу. Все построения приведены на рисунке.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Геометрическая интерпретация обобщенных комплексных чисел

Рассмотрим, как комплексное число преобразуется в обобщенное комплексное . Подставив в выражение для а вместо e1 и e2 их значения из (4) и преобразовав, получим

, (7)

то есть:

; (8)

. (9)

Сложение обобщенных комплексных чисел производится покомпонентно и ничем не отличается от комплексных чисел. Умножение производится с помощью правой таблицы (1)

. (10)

Вопрос о сопряженном числе рассматривается в работе [2]

. (11)

Используя (11), можно получить выражение для нормы

. (12)

Покажем положительность нормы

. (13)

Но в соответствии с (2) это выражение не меньше нуля. В нуль оно обращается только при .

Положительность нормы для чисел, отличных от нуля, говорит о том, что в системе обобщенных комплексных чисел отсутствуют делители нуля. Значит деление возможно на любое число, отличное от нуля

. (14)

Норма обобщенного комплексного числа мультипликативнa. В этом можно убедиться, сравнивая выражение для нормы произведения

 (15)

и произведение норм

. (16)

Раскрывая скобки и приведя подобные, можно убедиться, что правые части (15) и (16) равны. Значит:

. (17)

Рассмотрим представления некоторых нелинейностей и, прежде всего, экспоненты. При этом для вывода представления будем использовать изоморфизм систем комплексных и обобщенных комплексных чисел (4) и (5).

Как известно из теорий функций комплексного переменного

. (18)

Подставляя (4) в последнее выражение с учетом (8), (9), получим

. (19)

Зная представление экспоненты, можно вывести выражение для натурального логарифма обобщенного комплексного числа как функции, обратной к экспоненте. Пусть

,

линейный комплексный число геометрический

где М и Х -- обобщенные комплексные числа..

Отсюда следует

.

С учетом (19) получаем систему:

(20)

Решая (20) относительно Х1, Х2, получим представление натурального логарифма:

(21)

Если положить g = 0, k = 1, то есть перейти в систему комплексных чисел, то формула (21) перейдет в формулу логарифма для комплексных чисел.

Как видно из (21) логарифм есть периодическая функция, в которой можно выделить область главных значений.

Представление логарифма позволяет построить степенную функцию. Пусть A и B -- обобщенные комплексные числа, тогда

.

Здесь все преобразования можно провести, используя (10), (19) и (21). Ввиду громоздкости формул приводить их не будем, однако следует заметить, что при численных значениях переменных они заметно упрощаются.

Другие нелинейности также могут быть получены изоморфным преобразованием (4), (5), (8), (9) соответствующих представлений в системе комплексных чисел. Так для комплексных чисел:

.

Изоморфное преобразование дает следующее представление синуса обобщенного комплексного числа:

(22)

где

.

Аналогично

Выводы

В результате проведенных исследований определены арифметические и геометрические свойства обобщенных комплексных чисел, установлены правила выполнения алгебраических операций. Получены представления таких нелинейных функций обобщенного комплексного переменного, как экспонента, логарифм, синус и косинус. Это позволяет применять обобщенные комплексные числа для моделирования различных процессов и систем.

Литература

1. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Чапор А.А., Синькова Т.В. Изучение специальных видов преобразования базиса в ГЧС второго порядка// Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 1999. -- Т. 1. -- № 2. -- С. 39-43.

2. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Изучение построений сопряженных элементов в гиперкомплексных числовых системах // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2002. -- Т. 4. -- № 1. -- С. 38-42.

3. Калиновский Я.А., Роенко Н.В., Синьков М.В. Методы построения нелинейностей в расширениях комплексных чисел // Кибернетика и систем. анализ. -- 1996. -- № 4. -- C.178-181.

Размещено на Allbest.ru