О дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного
Метод упрощения решения дифференциального уравнения, определяющего такие нелинейные функции от гиперкомплексного переменного как гиперболические и тригонометрические. Введение фиктивных переменных. Закон композиции гиперкомплексной числовой системы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.01.2019 |
| Размер файла | 23,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
О дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский,
Ю. Е. Бояринова, А. В. Федоренко
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Рассмотрен один метод упрощения решения дифференциального уравнения, определяющего такие нелинейные функции от гиперкомплексного переменного как гиперболические и тригонометрические.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, гиперкомплексные числа, нелинейная функция.
Гиперкомплексные числовые системы [1] находят все более широкое применение в науке и технике, что требует разработки методов эффективной обработки информации, представленной в гиперкомплексной форме. В настоящее время разработаны методы проведения арифметических и алгебраических операций над гиперкомплексными числами построения нелинейностей [2], рассмотрены аналитические методы решения некоторых дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного и с гиперкомплексными коэффициентами [3-8]. Построение представления таких нелинейностей как гиперболические и тригонометрические функции требует решения системы линейных дифференциальных уравнений высокого порядка, что вызывает известные трудности. Поэтому очень важным является снижение размерности таких систем.
Дифференциальные уравнения, определяющие тригонометрические и гиперболические функции от гиперкомплексного переменного, имеют вид:
(1)
дифференциальный уравнение гиперкомплексный тригонометрический
где Х и М -- гиперкомплексные величины.
Если проделать все операции в правой части уравнения (1) в соответствии с законом композиции гиперкомплексной числовой системы, то она может быть представлена в виде:
(2)
а уравнение (1) можно представить в виде системы :
(3)
При этом знаки в правой части (1) учтены знаками при .
Система (3) линейных дифференциальных уравнений второй степени превращается в систему уравнений первой степени путем введения фиктивных переменных:
(4)
Однако при таком преобразовании размерность системы увеличивается вдвое и равна 2n.
Для решения (4) необходимо составить характеристическую матрицу правой части. Она будет иметь вид:
. (5)
Для вычисления определителя этой матрицы каждую k-ю строку () умножим на и добавим к (k + n)-й строке:
. (6)
Раскрытием этого определителя по последним n столбцам можно придти к определителю:
. (7)
Если ввести обозначение:
,
то уравнение
(8)
будет иметь степень и его решение гораздо проще, чем решение уравнения (6).
Работа выполнена благодаря поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований Украины.
Литература
Синьков М.В., Губарени Н.М. Непозиционные представления в многомерных числовых системах. -- К.: Наук. думка., 1979. -- 138 с.
Синьков М.В., Калиновский Я.А, Роенко Н.В. Методы построения нелинейностей в расширениях комплексных чисел // Кибернетика и системный анализ. -- 1996. -- № 4. -- С. 178-181.
Калиновский Я.А. Разработка алгоритмов решения однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка от гиперкомплексного переменного // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2001. -- Т. 3, № 1. -- С. 22-29.
Patrick Reany. Complex Clifford Algebra and nth-Оrder linear differential equations // Applied Clifford Algebras. -- 1993. -- 3, N 2. -- Р. 121-127. On line: www.ajnpx.com/pdf/math/Clifford/ CAA&LIN_DIFF.pdf.
Kдhler U. Die Anwendung der hyperkomplexen Funktionentheorie auf die Losung partieller Differentialgleichungen. -- 1998. On line: www.tu-chemnitz.de/mathematik/prom_habil/promint.pdf.
Kдhler U. Clifford Analysis and the Navier-Stokes Equations over Unbounded Domains // Applied Clifford Аlgebras. -- 2001. -- 11 (S2). -- Special issue «Clifford analysis». -- Р. 305-318. On line: www.mat.ua.pt/uwek/publications.html.
Gibbon J.D. A quaternionic structure in the three-dimensional Euler and ideal MHD equations. On line: www.ma.ic.ac.uk/~jdg/quat2.pdf. 2001.
S. De Leo, Ducati C.C. Solving simple quaternionic differential Equations // J. Math. Physic. -- 2003. -- 44. -- Р. 2224-2233.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Уравнения с разделяющимися переменными, методы решения. Практический пример нахождения частного и общего решения. Понятие о неполных дифференциальных уравнениях. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной, разделения переменных.
презентация [185,0 K], добавлен 17.09.2013Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного. Нахождение локальных экстремумов функции. Интегральное исчисление функции, пределы интегрирования. Практический пример определения площади плоской фигуры, ограниченной кривыми.
контрольная работа [950,4 K], добавлен 20.01.2014Элементарные тригонометрические уравнения и методы их решения. Введение вспомогательного аргумента. Схема решения тригонометрических уравнений. Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений. Разложение на множители.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.12.2009Построение таблицы и графика решения линейного дифференциального уравнения. Зависимость погрешности решения от выбора шага интегрирования. Метод Адамса-Башфорта и его применение. Основные функции и переменные, использованные в реализованной программе.
контрольная работа [2,0 M], добавлен 13.06.2012Предел для функции действительного аргумента и для функции комплексного переменного. Формулировка необходимого условия дифференцируемости функции комплексного переменного (условие Коши-Римана). Понятия и примеры правильных и особых точек функции.
презентация [74,9 K], добавлен 17.09.2013Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Рассмотрение понятия функции комплексного переменного; определение условий ее однозначности и многозначности. Установление функцией w=f(z) зависимости между точками плоскостей Z и W. Пример нахождения образа прямой при заданном отображении функции.
презентация [64,9 K], добавлен 17.09.2013Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.
реферат [286,2 K], добавлен 06.08.2013Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Систематизация сведений о линейных и квадратичных зависимостях и связанных с ними уравнениях и неравенствах. Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач. Свойства функции |х|. Уравнения и неравенства, содержащие модули.
дипломная работа [3,0 M], добавлен 25.06.2010Углы и их измерение, тригонометрические функции острого угла. Свойства и знаки тригонометрических функций. Четные и нечетные функции. Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств с помощью формул.
учебное пособие [876,9 K], добавлен 30.12.2009Матричные уравнения, их решение и проверка. Собственные числа и собственные векторы матрицы А. Решение системы методом Жорданa-Гаусса. Нахождение пределов и производных функции, ее градиент. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [287,0 K], добавлен 10.02.2011Вычисление пределов гиперболических функций. Дифференцирование сложной функции. Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора. Свойства неопределенного интеграла, интегрирование функций. Гиперболические функции комплексного переменного.
дипломная работа [2,8 M], добавлен 11.01.2011Задача на нахождение модуля и аргумента заданных чисел, пример решения. Область дифференцируемости заданной функции, действительная часть производной. Правило для определения уравнения образа кривой. Нахождение действительной и мнимой части функции.
методичка [693,0 K], добавлен 21.12.2011Нахождение асимптот функции, локальных и глобальных экстремумов. Промежутки выпуклости и точки перегиба функции. Область определения функции и точки пересечения с осями. Нахождение определенного и неопределенного интегралов. Выполнение деления с остатком.
контрольная работа [312,9 K], добавлен 26.02.2012Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Существование и единственность решений дифференциальных уравнений. Геометрическая интерпретация решений. Линейные и нелинейные системы. Дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций конкурирующих видов, их решения и фазовые портреты.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 27.06.2012Понятие дифференциального уравнения. Нахождение первообразной для заданной функции. Нахождение решения дифференциального уравнения. Выделение определенной интегральной кривой. Понятие произвольных независимых постоянных. Уравнение в частных производных.
презентация [42,8 K], добавлен 17.09.2013Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные - элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников.
контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016
