Построение алгоритмов решения нестационарных линейных диффе-ренциальных уравнений в гиперкомплексных числовых системах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построение алгоритмов решения нестационарных линейных дифференциальных уравнений в гиперкомплексных числовых системах

М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова

Рассмотрены алгоритмы решения некоторых типов нестационарных линейных дифференциальных уравнений в коммутативных гиперкомплексных числовых системах различной размерности.

Ключевые слова: гиперкомплексная числовая система, линейные дифференциальные уравнения.

В работах [1-4] авторы рассматривали, в основном, методы решения стационарных линейных дифференциальных уравнений в ассоциативных гиперкомплек-сных системах. В данной работе исследуются алгоритмы решения нестационарных уравнений. При этом рассматриваются различные типы правых частей уравнений.

В статье будут рассматриваться нестационарные линейные дифференциальные уравнения от гиперкомплексных переменных и при коэффициентах, представляющих собой гиперкомплексные функции вида:

(1)

где X, A(t), G(t) -- гиперкомплексные функции скалярного аргумента . Гиперкомплексная функция скалярного аргумента F(t) имеет вид:

, (2)

где F_i(t) -- вещественные функции; e_i -- базисные элементы гиперкомплексной числовой системы (ГЧС) порядка n, закон композиции которой считается заданным.

Для дальнейших исследований понадобится рассмотреть дифференцирование экспоненты от гиперкомплексного переменного по скалярному аргументу t. линейное дифференциальное уравнение гиперкомплексный

Как показано в работах [5, 6], экспонента от гиперкомплексного аргумента представляет собой некоторую гиперкомплексную функцию типа (2). Вид компонентов F_i(t) зависит от той гиперкомплексной числовой системы, в которой рассматривается экспонента.

В общем виде экспонента от гиперкомплексной функции F(t) определяется через соответствующие степенные ряды:

. (3)

Известно что, ряд, стоящий в правой части (3) будет сходящимся, если все компоненты F_i(t) разлагаются в степенные ряды. Область сходимости этого ряда определяется пересечением областей сходимости всех компонент F_i(t). При выполнении этих условий в области сходимости этот ряд можно дифференцировать:

. (4)

Производная от гиперкомплексной функции есть гиперкомплексная функция, компоненты которой являются производными компонент гиперкомплексной функции:

. (5)

Первоначально рассмотрим нестационарное однородное дифференциальное уравнение с гиперкомплексными переменными и коэффициентами, которое записывается следующим образом:

. (6)

Покажем, что решение этого уравнения, как и решения уравнений в вещественной области, имеют вид:

, (7)

где С -- гиперкомплексная произвольная постоянная:

. (8)

Действительно, используя (4), получим:

(9)

Подставляя (7) и (9) в (6), получим тождество.

Таким образом, зная представление экспоненциальной функции в конкретной ГЧС, можно получить по (7) решение уравнения (6) в виде гиперкомплексной функции.

Как пример рассмотрим в некоторых гиперкомплексных числовых системах однородное уравнение (6), в котором гиперкомплексная функция А(t) имеет вид:

.

1. Система комплексных чисел .

Решения уравнения (6) в этой системе в соответствии с (7) имеют вид:

.

Так как , то:

 (10)

Значения произвольных постоянных можно определить, если заданы гиперкомплексные начальные условия .

Уравнение (6) можно разложить в систему из двух уравнений в вещественной области:

(11)

Таким образом, можно утверждать, что система (10) будет иметь решения вида (11) в области сходимости разложения в степенные ряды функций и .

2. Система двойных чисел .

Решения уравнения (6) в соответствии с (7) имеют вид:

.

В системе двойных чисел экспонента определяется следующей формулой [7]:

,

поэтому:

.

Если в последнем равенстве раскрыть скобки, то получится:

,

.

Этому решению будет соответствовать система из двух уравнений в вещественной области:

3. Система дуальных чисел .

Решения уравнения (6) в соответствии с (7) имеют вид:

.

В системе дуальных чисел представление экспоненты запишем как [7]:

,

отсюда:

.

Если в последнем равенстве раскрыть скобки, то компоненты решения будут иметь вид:

,

.

Если заданы начальные условия, то значения произвольных постоянных определяются численно и решения строятся с их учетом. Ниже представлено решение уравнения (6) в гиперкомплексной числовой системе с таблицей умножения базисных элементов:

, , , ,

для остальных комбинаций и .

Ввиду громоздкости выкладок они выполнены с применением математической системы аналитических вычислений Maple.

Пусть коэффициент правой части:

Тогда общее решение:

Начальные условия:

,

.

Частное решение:

Построим график изменения компонентов частного решения на интервале , где первая компонента обозначена точками, вторая -- окружностями, третья -- крестиками и четвертая -- ромбами.

Графики решений

Рассмотрим теперь нестационарное неоднородное линейное дифференциальное уравнение в гиперкомплексной области вида (1).

Покажем, что решения (1) имеют такой же вид, как и для уравнений в вещественной области:

, (12)

где С -- тоже гиперкомплексная произвольная постоянная.

Используя (4) и другие правила дифференцирования, получим:

(13)

Подставляя (1) и (12) в (13), получим тождество.

Таким образом, выражение (12) -- это решение уравнения (13).

Уравнение (1) может быть представлено в виде системы уравнений в вещественной области:

, (14)

. (15)

Используя закон композиции заданной ГЧС, можно получить:

. (16)

Приравнивая выражения при одинаковых базисных элементах e_i, получим систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений:

, k = 1,…, n. (17)

Подставляя сюда структурные константы различных ГЧС и функции A_i(t), G_k(t), можно получить классы систем дифференциальных уравнений, решение которых определяются компонентами гиперкомплексного решения (12).

Литература

Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В. Применение гиперкомплексных чисел для эффективного представления систем дифференциальных уравнений // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2004. -- Т. 6, № 1. -- С. 53-61.

Калиновский Я.А. Разработка алгоритмов решения однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка от гиперкомплексного переменного // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2001. -- Т. 3, № 1. -- С. 22-29.

Калиновский Я.А. Алгоритм решения систем однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка от гиперкомплексного переменного, основанный на удвоении исходной гиперкомплексной числовой системы // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2001. -- Т. 3, № 3. -- С. 43-48.

Синьков М.В., Калиновский Я.А. Исследование алгоритмов решения некоторых типов дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. -- 2001. -- Т. 3, № 4. -- С. 32-36.

Развитие и исследование методов гиперкомплексных числовых систем применительно к моделированию систем уравнений для широкого класса задач. Отчет о НИР (заключ.) / ИПРИ НАНУ; № ГР 0193V002037. -- К., 1993. -- 192 с.

Синьков М.В., Калиновский Я.А, Роенко Н.В. Методы построения нелинейностей в расширениях комплексных чисел // Кибернетика и системный анализ. -- 1996. -- № 4. -- С. 178-181.

Калиновский Я.А., Роенко Н.В., Синьков М.В. Методы построения нелинейностей в расширениях комплексных чисел // Кибернетика и системный анализ. -- 1996. -- № 4. -- C. 178-181.

Размещено на Allbest.ru