Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований
Раскрытие сущности алгоритма по перечислению гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований. Определение понятия канонической и неканонической числовых систем. Сферы применения полученных неканонических гиперкомплексных числовых систем.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.01.2019 |
| Размер файла | 39,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Я. В. Одарич
Размещено на http://www.allbest.ru/
52
48
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований
Я.В. Одарич
Аннотация
Раскрыта суть алгоритма по перечислению гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований. Показаны примеры в числовых системах второго и третьего порядка.
Ключевые слова: гиперкомплексная числовая система, линейное преобразование, неканоническая числовая система.
Основная часть
Развитие современной науки и техники диктует все новые требования к представлению и обработке данных. Поэтому в настоящее время наблюдается тенденция к использованию числовых систем, которые позволяют работать с более высокими размерностями для представления данных [1].
Известно множество задач, для решения которых используются сложные гиперкомплексные числовые системы (ГЧС) [2]. Их применение усложняет вычисления, поэтому для минимизации арифметических операций используют изоморфные переходы в более простые системы, например, диагональную. Тем не менее, традиционно рассматриваемых канонических гиперкомплексных числовых систем, изоморфных диагональным, не так уж и много. Поэтому возникает необходимость поиска неканонических числовых систем, которые можно использовать для представления информации.
Прежде всего, определим понятия канонической и неканонической числовых систем. Каноническая гиперкомплексная числовая система -- это система, в ячейках таблицы умножения которой существует не более одного структурного элемента [3]. Примерами канонических ГЧС могут быть комплексные или квадриплексные числа [4]. Неканоническая гиперкомплексная числовая система -- это система, которая, в свою очередь, имеет более одного структурного элемента хотя бы в одной ячейке таблицы умножения. Такой ГЧС являются, например, триплексные числа.
Таким образом, получаем задачу по перечислению гиперкомплексных числовых систем -- канонических и неканонических, изоморфных диагональной. При этом необходимо, чтобы для полученых систем выполнялось правило единицы.
|
0 |
… |
0 |
||
|
0 |
… |
0 |
||
|
… |
… |
… |
… |
|
|
0 |
0 |
… |
|
… |
||||
|
… |
||||
|
… |
… |
… |
… |
|
|
… |
Для этого используем перечисление гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований. Суть алгоритма состоит в переборе коэффициентов при переменных в системе уравнений, с помощью которой осуществляется переход из искомой системы в диагональную, и затем получения правил умножения для полученной изоморфной системы.
Система уравнений для изоморфного перехода выглядит следующим образом:
,
,
...
,
где -- вещественные коэффициенты.
Коэффициенты при переменных перебираются в заранее заданном диапазоне с заданным шагом. Для увеличения количества полученных результатов можно расширять диапазон и уменьшать шаг. Для данного исследования использовался диапазон -2…2 и шаг 0,5.
Находим систему уравнений для обратного преобразования ():
,
,
…
,
где -- вещественные коэффициенты.
Далее производим умножения уравнений последней полученной системы, и таким образом находим, чему равны умножения вида . Поскольку данный алгоритм учитывает только коммутативные системы, то :
...
Таким образом, получаем таблицу умножения для интересующей нас гиперкомплексной числовой системы. Производим дополнительные проверки.
Во-первых, проверяем, соответствуют ли единичные элементы диагональной и исследуемой системы друг другу -- .
Далее, отсеиваем системы, у которых не выполняется правило единичного элемента. То есть, проверяем равенство: .
Также, для удобства модулярных вычислений, добавляем дополнительную проверку на целый коэффициент при элементах в таблице умножения.
Рассмотрим работу алгоритма на примере. Дана диагональная числовая система:
|
0 |
||
|
0 |
Перебираем системы уравнений 2-го порядка:
Пусть ; ; ; .
Формируем одну из систем уравнений:
,
.
Решение системы будет соответственно:
,
.
Поскольку поиск включает проверку на единичные элементы, то проверяем равенство . В данном примере равенство выполняется.
Затем находим умножения :
,
,
.
Получаем систему с таблицей умножения:
Таблица удовлетворяет требованиям соблюдения правила единицы.
Рассмотрим более сложный пример. Возьмем диагональную систему порядка 3 и найдем неканоническую гиперкомплексную числовую систему, изоморфную ей:
|
0 |
0 |
||
|
0 |
0 |
||
|
0 |
0 |
Перебираем коэффициенты для системы линейных уравнений. Рассмотрим одну из полученных систем:
,
,
.
Решение выглядит следующим образом:
,
,
.
Найдем умножения для и подставляем в уравнения решения предыдущей системы:
,
,
.
Таким образом, получаем таблицу умножения для неканонической гиперкомплексной числовой системы порядка 3, изоморфной диагональной:
неканонический числовой гиперкомплексный алгоритм
Одной из областей применения полученных неканонических гиперкомплексных числовых систем является синтез цифровых фильтров, а именно вычисление передаточной функции [5]. Данные представляются в неканонической гиперкомплексной числовой системе, но вычисления все производятся в диагональной. Это позволяет сократить количество операций и улучшить представимость данных.
Алгоритм был реализован и выполнен при помощи математического пакета символьных вычислений MAPLE.
Литература
1. Синьков М.В., Каліновський Я.О., Постнікова Т.Г., Синькова Т.В. Перспективні напрямки досліджень і розвитку теорії гіперкомплексного представлення інформації // Наукові вісті Національного Технічного Університету України «Київський Політехнічний Інститут». 2002. № 5 (25). С. 49-53.
2. Бояринова Ю.Е., Одарич Я.В. Восстановление информации в задаче разделения секрета для гиперкомплексных числовых систем 2-го порядка с помощью алгоритма Евклида // Реєстрація, зберігання і обробка даних. 2004. Т. 7, № 1. С. 103-114.
3. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973. 144 с.
4. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В., Трубников П.В., Бояринова Ю.Е. Новые применения гиперкомплексных квадриплексных чисел. Часть 2 // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. 2003. Т. 5, № 3. С. 4-7.
5. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бояринова Ю.Е., Синькова Т.В., Федоренко А.В. Разработка структур эффективных цифровых фильтров с помощью гиперкомплексного представления информации // Управління розвитком. 2006. № 6. С. 83-84.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Суть метода Зейделя. Расчет разностных схемам относительно неизвестной сеточной функции. Параллельное решение систем линейных алгебраических уравнений. Процедура построения параллельного алгоритма Зейделя. Оценка ускорения представленного алгоритма.
контрольная работа [98,1 K], добавлен 09.01.2011Характеристика способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Описание проведения вычислений на компьютере методом Гаусса, методом квадратного корня, LU–методом. Реализация метода вращений средствами системы программирования Delphi.
курсовая работа [118,4 K], добавлен 04.05.2014Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Понятие непрерывной случайной величины, её значения на числовых промежутках. Определение закона распределения, его функции. Плотность распределения числовых характеристик вероятности. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.
лекция [575,9 K], добавлен 17.08.2015Ознакомление с основами метода Гаусса при решении систем линейных уравнений. Определение понятия ранга матрицы. Исследование систем линейных уравнений; особенности однородных систем. Рассмотрение примера решения данной задачи в матрической форме.
презентация [294,9 K], добавлен 14.11.2014Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.
лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009Изучение основ линейных алгебраических уравнений. Нахождение решения систем данных уравнений методом Гаусса с выбором ведущего элемента в строке, в столбце и в матрице. Выведение исходной матрицы. Основные правила применения метода факторизации.
лабораторная работа [489,3 K], добавлен 28.10.2014Краткое историческое описание становления теории множеств. Теоремы теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Определение основных понятий, таких как мощность, счетные, замкнутые множества, континуальное множество.
дипломная работа [440,3 K], добавлен 30.03.2011Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.
контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем. Примеры вычисления определителя матрицы. Блок-схема программы, описание объектов. Графический интерфейс, представляющий собой стандартный набор компонентов Delphi.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 29.06.2014Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.
курсовая работа [77,1 K], добавлен 02.06.2011Сущность и содержание метода Крамера как способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Содержание основных правил Крамера, сферы и особенности их практического применения в математике.
презентация [987,7 K], добавлен 22.11.2014Основные действия над матрицами, операция их умножения. Элементарные преобразования матрицы, матричный метод решения систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, методы решения произвольных систем линейных уравнений, свойства матриц.
реферат [111,8 K], добавлен 09.06.2011Расчет доверительных интервалов и критериев согласия для различных числовых характеристик, а также восстановление сигнала из смеси – сигнал + шум, используя метод наименьших квадратов. Разработка универсальной программы для извлечения сигнала из смеси.
курсовая работа [395,2 K], добавлен 06.08.2013Доверительное оценивание параметров законов распределения (дисперсия, математическое ожидание), классический регрессионный анализ. Проверка гипотез, методики расчета доверительных интервалов и критериев согласия для различных числовых характеристик.
курсовая работа [302,9 K], добавлен 25.07.2013Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений, характеристика методов их решения. Критерий совместности общей системы. Структура общих решений однородной и неоднородной систем. Матричный метод решения и обобщение. Методы Крамера и Гаусса.
курсовая работа [154,5 K], добавлен 13.11.2012Метод Гаусса, LU-разложение. Прогонка для решения линейных систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов. Метод квадратного корня для решения систем: краткая характеристика, теоретическая основа, реализация, тестирование и листинг программы.
курсовая работа [340,9 K], добавлен 15.01.2013Сущность итерационного метода решения задачи, оценка его главных преимуществ и недостатков. Разновидности итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений: Якоби, Хорецкого и верхней релаксации, их отличия и возможности применения.
курсовая работа [39,2 K], добавлен 01.12.2009
