О спектре группы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

О спектре группы

В.И. Сенашов

Аннотация

Обсуждается понятие спектра группы. Приводятся постановки задач, близких к изучению групп с заданным спектром, применительно к бесконечным группам. Получены результаты о распознаваемости некоторых бесконечных групп с заданным спектром.

Ключевые слова: группа, спектр, слой элементов, распознаваемость группы.

Abstract

The concept of the spectrum of a group has been discussed. The statements of the problems that are close to the study of groups with a given spectrum with respect to infinite groups for infinite groups have been developed. Some results on the recognition of some infinite groups with a given spectrum have been obtained.

Keywords: group, the spectrum, layer of elements, recognizable to a group.

В группе G через щ(G) обозначается множество порядков ее элементов или спектр группы. В Коуровской тетради [1] приводится одна из интенсивно изучаемых в последнее время проблем: 16.24. Спектром конечной группы называется множество порядков ее элементов. Существует ли конечная группа G, спектр которой совпадает со спектром конечной простой исключительной группы L лиева типа, но G не изоморфна L?

Здесь дается определение спектра конечной группы, в ряде других работ, посвященных этой теме, понятие спектра в основном рассматривается для конечных групп. В данной статье мы рассмотрим вопрос о спектре бесконечных групп, обсудим постановки задач с использованием спектра и получим некоторые результаты о распознаваемости некоторых бесконечных групп с заданным спектром.

По множеству щ(G) иногда можно восстановить группу G, иногда можно что-то сказать о свойствах такой группы. В.Д. Мазуров в статье [2] сделал обзор результатов по группам с малым спектром. Среди этих результатов можно назвать те, которые описывают полностью строение группы по ее спектру, например: если щ(G) ={1, 2}, то G -- элементарная абелева группа; если щ(G) ={1, 2, 3, 5}, то G -- группа четных подстановок на пяти элементах [3].

В последние годы получено много новых результатов о распознаваемости групп по спектру. Приведем некоторые из них.

Если щ(G) = {1, 2, 3, 4, 7}, то группа G изоморфна L₂(7) [4] (для конечных групп этот результат доказан в [5]).

Пусть щ(G) = щ(L₄(2^m)) или щ(G) = щ(U₄(2^m)). Если G -- конечная группа, то G изоморфна L₄(2^m) или G изоморфна U₄(2^m), соответственно [6].

Распознаваемы по спектру также группы L₃(q) и U₃(q) [7,8], группы L_n(2) [9], группы L_n(2^m), n = 2^s ? 32 [10].

Много результатов для групп с заданным спектром описывают только некоторые свойства групп, например, результаты о нильпотентности класса не выше трех групп со спектром щ(G) = {1, 3} [11], о локальной нильпотентности групп со спектрами щ(G) = {1, 2, 3, 4} [12] и щ(G) = {1, 2, 3, 6} [13], о существовании абелевой нормальной силовской подгруппы в группе со спектром щ(G) = {1, 2, 5} [14,15], о локальной конечности групп со спектром щ(G) = {1, 2, 3, 4, 5} [16] и групп со спектром щ(G) ={1, 2, 3, 4, 8} [17]. В.Д.Мазуровым доказана локальная конечность группы периода 24, в которой есть элемент порядка 3, но нет элементов порядка 6 [18].

Постановки задач и результаты по распознаваемости

Если спектр группы мал по количеству составляющих его чисел, но не по их величине, то здесь примеры групп достаточно редки. По образному выражению Ю.И. Мерзлякова они сравнимы с «образцами лунного грунта». К таким примерам относятся монстры А.Ю. Ольшанского [19]. Среди групп со спектром щ(G) = {1, p} для достаточно больших простых чисел p > 10¹⁰ кроме прямых произведений циклических групп порядка p можно назвать пока только серию групп Ольшанского.

Пример классической постановки задачи в направлении изучения групп с заданным спектром: описать все группы G со спектром щ(G) = щ(L₂(2ⁿ)), как это сделано в работе А.Х. Журтова и В.Д. Мазурова [3]. В ней доказано, что других групп, кроме L₂(2ⁿ), с таким спектром не существует.

На этом пути по оценке В.Д. Мазурова больших неожиданностей не предвидится, в [2] им опубликованы нерешенные проблемы из данной области. Многие из этих проблем к настоящему времени уже получили решение.

Понятие спектра нам показалось очень интересным и здесь мы обсудим постановки некоторых близких задач.

Описание конечных групп с одинаковым спектром идет еще по следующему пути. Две группы называются изоспектральными, если их спектры совпадают. Говорят, что конечная группа L распознаваема по спектру, если любая конечная группа G, удовлетворяющая условию щ(G) = щ(L), изоморфна L. Если обозначить через h(L) число попарно неизоморфных конечных групп, изоспектральных группе L, то свойство распознаваемости группы L запишется как равенство h(L) = 1. Группа L называется почти распознаваемой, если 1 < h(L) < ?, и нераспознаваемой, если h(L) = ?. Проблема распознаваемости по спектру для группы L заключается в определении того, является ли группа L распознаваемой, почти распознаваемой или нераспознаваемой, а в более сильной постановке -- в нахождении значения h(L). Последний по времени обзор результатов в данной области содержится в [2, 20].

Наряду с задачей изучения свойств групп с заданным спектром можно поставить задачу изучения групп с заданным спектром и некоторыми дополнительными условиями. Задачи такого типа имеются среди классических. Например, если спектр щ(G) = {1, p} и дополнительно задано число ее образующих, то А.И. Кострикиным в 1959 году доказана конечность числа конечных групп с такими условиями [21].

Можно спектр группы не просто перечислить, а наложить на него какое-либо условие. Например, для условия щ(G) = { k | m k } П.С. Новиковым и С.И. Адяном [22] доказано существование бесконечных групп с таким спектром для нечетных m ? 665. Для описания спектров такого вида иногда используется множество м(G). Пусть G -- группа, щ(G) -- её спектр. Отношение делимости задает частичный порядок на множестве щ(G), и подмножество максимальных относительно этого порядка элементов обозначается через м(G). Тогда вместо условия на спектр щ(G) = { k | m k } удобнее использовать условие м(G) = {m}.

Таким образом, изучение произвольных бесконечных групп с заданным спектром приводит нас к достаточно экзотическим примерам групп. Поставим задачу изучения группы с заданным спектром и некоторыми дополнительными ограничениями, отличными от конечности группы.

Дополнительным ограничением может служить задание количества элементов какого-либо порядка, т.е. мощность слоя. Напомним, что слоем группы называется множество ее элементов данного порядка:

Если фиксируется множество щ(G) = {1, 2, 2², 2³, ... }, и слой элементов порядка два состоит из одного элемента, то группа G либо квазициклическая, либо бесконечная обобщенная группа кватернионов [23, 24]. В этом случае группа почти распознаваема и h(G) = 2.

Если потребовать, чтобы в группе любой слой был конечным, то, например, при щ(G) = {1, 2, 2², 2³, ... } и условии полноты, группа будет являться прямым произведением квазициклических 2-групп. Если дополнительно задать количество элементов в каком-либо неединичном слое, то можно будет сказать о количестве множителей в таком произведении.

Вместо ограничения на спектр группы щ(G) можно накладывать ограничение на множество р(G) простых делителей порядков элементов группы G. Тогда в предыдущем примере условие для множества щ(G) = {1, 2, 2², 2³, ...} без ущерба для заключения примера заменяется на условие р(G) = {2}.

Иногда информация о множестве щ(G) позволяет делать о группе более точные утверждения, чем информация о множестве р(G).

Например, если в локально разрешимой группе с условием минимальности добавить условие, что р(G) = {3,5} и задать количество элементов порядков 3 и 5 соответственно 2 и 4, то, используя теорему С.Н. Черникова [25] о том, что такая группа является расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп при помощи конечной группы, можно утверждать, что получится либо прямое произведение циклической 3-группы на циклическую 5-группу, либо прямое произведение циклической 3-группы (5-группы) на квазициклическую 5-группу (квазициклическую 3-группу), либо прямое произведение квазициклической 3-группы и квазициклической 5-группы. То есть группа с количеством элементов порядка 3 и 5 соответственно 2 и 4 в классе локально разрешимых групп с условием минимальности нераспознаваема по множеству р(G) = {3,5}.

Если же в локально разрешимой группе с условием минимальности вместо условия для множества р(G) добавить условия для спектра щ(G) и также задать количество элементов порядка 3 и 5 соответственно 2 и 4, то получатся следующие результаты по распознаваемости групп по спектру:

Пусть в локально разрешимой группе G с условием минимальности со спектром щ(G) = { 1, 3, 5, 15 } количество элементов порядков 3 и 5 соответственно 2 и 4. Тогда группа G распознаваема по спектру в классе локально разрешимых групп с условием минимальности.

При таких условиях группа G является циклической группой пятнадцатого порядка. Действительно, по теореме С.Н. Черникова [25] локально разрешимая группа G с условием минимальности является расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп при помощи конечной группы. Ввиду конечности ее спектра, группа G не содержит квазициклических групп и, значит, является конечной. Так как в группе G два элемента порядка 3, то нижний слой силовской 3-подгруппы группы G является циклической группой третьего порядка и по теореме 12.5.2 из [23] сама силовская 3-подгруппа является циклической. Ввиду того, что в спектре максимальная степень тройки -- первая, силовская 3-подгруппа имеет порядок 3. Аналогично получаем, что силовская 5-подгруппа группы G также циклическая подгруппа и имеет порядок 5. Ввиду ограничения на количество элементов 3 и 5 порядков, силовские 3- и 5-подгруппы нормальны в группе G и тогда группа G -- циклическая порядка 15.

Пусть в локально разрешимой группе G с условием минимальности и со спектром щ(G) = { 3^m5ⁿ | m = 0, 1, 2, ..., n = 0, 1, 2, ... } количество элементов порядка 3 и 5 соответственно 2 и 4. Тогда группа G распознаваема по спектру в классе локально разрешимых групп с условием минимальности.

В последнем случае группа G есть прямое произведение квазициклической 3-группы и квазициклической 5-группы.

Действительно, по теореме С.Н. Черникова [25] локально разрешимая группа G с условием минимальности является расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп при помощи конечной группы. Ввиду строения ее спектра, группа G содержит по крайней мере одну квазициклическую 3-группу и одну квазициклическую 5-группу. Так как в группе G два элемента порядка 3, то в ней единственная подгруппа порядка три. Тогда по теореме 12.5.2 из [23] любая конечная 3-подгруппа группы G циклическая и по лемме 9 из [24] силовская 3-подгруппа группы G --коммутативная локально циклическая группа. По теореме 4.2 из [26] она должна быть циклической или квазициклической. Теперь, учитывая, что в спектре группы G присутствуют все степени тройки, заключаем, что силовская 3-подгруппа группы G квазициклическая. Аналогично получаем, что силовская 5-подгруппа группы G также квазициклическая. Тогда, учитывая строение спектра группы G, заключаем, что все силовские подгруппы группы G содержатся в прямом произведении квазициклических групп, и сама группа G совпадает с прямым произведением двух своих силовских 3- и 5-подгрупп.

Аналогично доказываются следующие два результата.

Пусть в локально разрешимой группе G с условием минимальности со спектром щ(G) = { 3^m5ⁿ | m = 0, 1, 2, ...; n = 0, 1, …, k} количество элементов порядков 3 и 5 соответственно 2 и 4. Тогда группа G распознаваема по спектру в классе локально разрешимых групп с условием минимальности. (Такая группа G является прямым произведением циклической 5-группы порядка 3^k на квазициклическую 3-группу.)

Пусть в локально разрешимой группе G с условием минимальности со спектром щ(G) = { 3^m5ⁿ | m = 0, 1, 2, …, k; n = 0, 1, 2, ... } количество элементов порядка 3 и 5 соответственно 2 и 4. Тогда группа G распознаваема по спектру в классе локально разрешимых групп с условием минимальности. (Такая группа G является прямым произведением циклической 3-группы порядка 2^k на квазициклическую 5-группу. )

В качестве дополнительных ограничений к заданию спектра группы можем использовать полноту группы и ее слойную конечность:

-- если для полной слойно конечной группы G задать спектр щ(G) = {1, p, p², p³, ... }, то G будет прямым произведением конечного числа квазициклических p-групп;

-- если для полной слойно конечной группы G задать спектр щ(G) = { p^mqⁿ | m = 0, 1, 2, ... ; n = 0, 1, 2, ... }, то G будет прямым произведением конечного числа квазициклических p и q-групп.

Эти два утверждения следуют из того, что по теореме С.Н. Черникова [27] слойно конечная группа обладает полной частью, причем последняя содержится в ее центре. В этих случаях получаются красивые результаты, но распознаваемости по спектру как в первом случае, так и во втором в классе полных слойно конечных групп нет, так как имеется бесконечно много неизоморфных полных слойно конечных групп с данными спектрами (они будут отличаться различным числом прямых квазициклических множителей).

Если в первом из этих утверждений дополнительно зафиксировать мощность слоя, состоящего из элементов порядка p, то получится следующий более определенный результат:

Пусть G -- полная слойно конечная группа с множеством щ(G) = {1, p, p², p³, ... } и в группе G имеется pⁿ-1 элементов порядка p. Тогда G является прямым произведением n квазициклических p-групп.

Тогда можно сказать, что группа G со спектром щ(G) = {1, p, p², p³, ... } и pⁿ-1 элементами порядка p распознаваема по спектру в классе полных слойно конечных групп при дополнительном условии на количество элементов порядка p.

Аналогично можно получить следующий результат о распознаваемости группы по множеству простых делителей порядков элементов в классе полных слойно конечных групп в общем случае:

Пусть G -- полная слойно конечная группа с множеством р(G) = {p₁, p₂ , ... , p_n} и в группе G содержится (p_i)-1 элементов порядка p_i, i = 1, 2, ... , n. Тогда G является прямым произведением квазициклических p_i-групп, i = 1, 2, ... , n, взятых по k_i множителей для каждого p_i соответственно.

В этом случае видим, что группа G распознаваема по множеству простых делителей ее элементов в классе полных слойно конечных групп с дополнительным условием о количестве элементов простых порядков.

Поскольку распознаваемость по спектру -- более сильное условие, то в качестве следствия из последнего результата можно сказать, что группа G распознаваема по спектру в классе полных слойно конечных групп с дополнительным условием о количестве элементов простых порядков.

Понятие спектра группы очень информативно. За последние тридцать лет получено много результатов для конечных групп при помощи понятия спектра. Для него найдутся новые приложения как в конечных, так и в бесконечных группах. Наряду с задачами распознаваемости групп с данным спектром в классе конечных групп уместны задачи о распознаваемости групп с заданным спектром в классе бесконечных групп при наложении дополнительных ограничений.

группа спектр делитель слойный

Библиографические ссылки

1. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, 17-е изд. - Ин-т математики СО РАН, Новосибирск. 2010. 219 с.

2. Мазуров В.Д. Группы с заданным спектром // Изв. Уральского гос. ун-та. 2005. № 36. С. 119-138.

3. Журтов А.Х., Мазуров В.Д. О распознавании простых групп в классе всех групп // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40. № 1. С. 75-78.

4. Lytkina D.V., Kuznetsov A.A., Recognizability by spectrum of the group L₂(7) in the class of all groups // Сиб. электрон. матем. изв. 2007. Т. 4. C. 136-140.

5. Shi W. J. A characteristic property of PSL₂(7) // J.Austral. Math. Soc. 1984. Ser. A. Т. 36. № 3. C. 354-356.

6. Мазуров В.Д., Чен Г.Ю. Распознаваемость по спектру конечных простых групп L₄(2^m) и U₄(2^m) // Междун. конф. "Алгебра и ее приложения": Тез. докл. - Красноярск, 2007. - С. 90-91.

7. Заварницин А.В. Веса неприводимых SL₃(q)-модулей в характеристике определения PSL₂(7) // Сиб. матем. ж.. 2004. Т. 45. № 2. С. 319-328.

8. Заварницин А.В. Распознавание простых групп U₃(q) по порядкам элементов // Алгебра и логика. 2006. Т. 45. № 2. С. 185-202.

9. Заварницин А.В., Мазуров В.Д. Порядки элементов в накрытиях конечных простых линейных и унитарных группах и распознаваемость L_n(2) по спектру // Доклады АН. 2006. Т. 406. № 6. С. 736-739.

10. Васильев А.В., Гречкосеева М.А. О распознавании по спектру конечных простых линейных групп над полями характеристики 2 // Сиб. матем. ж. 2005. Т. 46. № 4. С. 749-758.

11. Levi F. Van der Waerden B.L. Uber eine besondere Klasse von Gruppen // Abh. Math. Semin. Hamburg Univ. 1932. № 9. P. 154-158.

12. Санов И.Н. Решение проблемы Бернсайда для показателя 4 // Уч. зап. ЛГУ. 1940. Т. 10. С. 166-170.

13. Hall M.Jr. Solution of the Burnside problem for exponent six // Illinois J. Math. 1958. № 2. P. 764-786.

14. Newman M.F. Groups of exponent dividing seventy // Math. Scientist. 1979. №. 4. P. 149-157.

15. Gupta N.D., Mazurov V.D. On groups with small orders of elements // Bull. Austral. Math. Soc. 1999. № 60. P. 197-205.

16. Мазуров В. Д. О группах экспоненты 60 с точными порядками элементов // Алгебра и логика. 2000. Т. 39. № 3. С. 189-198.

17. Mazurov V.D. Arithmetic conditions of periodic groups // Алгебра и математическая логика: материалы межд. конф., посв. 100-летию со дня рождения В.В.Морозова, Казань, 25-30 сентября 2011. Казань: КФУ, 2011, С. 23-24.

18. Мазуров В.Д. О группах периода 24 // Алгебра и логика. Т. 49. № 6. 2010. С. 766-781.

19. Ольшанский А.Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44. № 2. С. 309-321.

20. Grechkoseeva M.A., Shi W.J., Vasilev A.V. Recognition by spectrum of finite simple groups of Lie type // Front. Math. China. V.3. № 2. 2008. P. 275-285.

21. Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23. № 1. С. 3-34.

22. Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1975.

23. Холл М. Теория групп. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

24. Шунков В.П. Об одном классе p-групп // Алгебра и логика. 1970. Т. 9. № 4. С. 484-496.

25. Черников С.Н. К теории бесконечных специальных групп // Матем. сб. 1940. Т. 7. № 6. C. 539-548.

26. Сенашов В.И. Слойно конечные группы. Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1993.

27. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М.: Наука, 1980.

Размещено на Allbest.ru