Задача Дирихле для уравнения Бесселя-Струве
Рассмотрение задачи Дирихле и доказывание достаточных условий ей однозначной разрешимости для абстрактного уравнения Бесселя-Струве. Установление равномерной корректности задачи Коши для уравнения Бесселя-Струве. Определение операторной функции Бесселя.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.02.2019 |
| Размер файла | 167,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ-СТРУВЕ
А.В. ГЛУШАК
Аннотация
Для абстрактного уравнения Бесселя-Струве рассмотрена задача Дирихле и доказаны достаточные условия её однозначной разрешимости.
Ключевые слова: абстрактное уравнение, граничная задача, однозначная разрешимость
Annotation
For the abstract Bessel-Struve equation, the Dirichlet problem is considered and sufficient conditions for its unique solvability are proved.
Keywords: abstract equation, boundary value problem, unique solvability
Основная часть
Пусть - замкнутый оператор в комплексном банаховом пространстве с плотной в нем областью определения . При рассмотрим уравнение Бесселя-Струве
. (1)
В работе [1] приводится обзор публикаций, относящихся к уравнению (1), и описан класс операторов , с которым при установлена равномерная корректность задачи Коши для этого уравнения с условиями
, . (2)
Класс представляет собой множество операторов, которые являются генераторами проинтегрированной косинус оператор-функции (ПКОФ) (определение ПКОФ см., например, в [1]), - множество генераторов косинус оператор-функции (КОФ) .
Граничные же задачи для уравнения (1) при (гиперболический случай), вообще говоря, не являются корректными, но необходимость решать некорректные задачи в настоящее время является общепризнанной (см. введение в [2] - [4] и имеющуюся в них обширную библиографию). Во второй главе монографии [2] исследована корректность общих краевых задач для дифференциально-операторного уравнения первого порядка и для абстрактного волнового уравнения (случай в уравнении (1)).
Многие некорректные задачи для дифференциально-операторных уравнений могут быть сведены к операторным уравнениям первого рода , и основная трудность состоит в установлении их разрешимости. В настоящей работе именно при в гиперболическом случае удается решить операторное уравнение первого рода и установить условия корректности граничной задачи Дирихле для уравнения Бесселя-Струве (1).
Будем искать решение
уравнения (1) при , удовлетворяющее граничным условиям
. (3)
Как уже было отмечено, задача (1), (3), вообще говоря, не является корректной. Мы установим условия, налагаемые на оператор и элементы , обеспечивающие её однозначную разрешимость.
Пусть оператор . Из результатов работы [1] следует, что корректная постановка начальных условий для уравнения Бесселя-Струве (1) состоит в задании в точке начальных значений ( 2), при этом единственное решение задачи (1), (2) имеет вид
, , (4)
где операторная функция Бесселя (ОФБ) и операторная функция Струве (ОФС) определены соответственно равенствами
уравнение задача дирихле коши
, (5)
, (6)
- гамма-функция, - сферическая функция Лежандра [5, с. 205], - ПКОФ.
Задача Дирихле (1), (3) может быть переформулирована как обратная задача нахождения функции и входящего в уравнение элемента , одновременно являющимся вторым начальным условием в (2), из уравнения
(7)
по начальному и финальному условиям из равенства (3). Подробный обзор работ по различным обратным задачам можно найти в [6].
Возвращаясь к рассматриваемой нами задаче (7), (3), отметим, что, учитывая представление (4), нам следует определить элемент из уравнения
. (8)
Доказывается, что уравнение (8) для нахождения элемента можно записать в виде
, (9)
где - модифицированная функция Струве [7, с. 655].
Таким образом, однозначная разрешимость задачи (1), (3) сводится к задаче о существовании у заданного левой частью уравнения (9) и продолженного по непрерывности на ограниченного оператора обратного оператора, определённого на некотором подмножестве из . Важную роль при этом будет играть целая функция
, (10)
используя которую, уравнение (9) запишем в виде
. (11)
Для установления разрешимости уравнения (11) на резольвенту оператора наложим дополнительное условие.
Условие 1. Каждый нуль , определяемой равенством (10) целой функции принадлежит резольвентному множеству и существует такое , что
.
Будем считать условие 1 выполненным. Поскольку каждый нуль функции принадлежит , то он принадлежит вместе с круговой окрестностью радиуса , границу которой, проходимую по часовой стрелке, обозначим .
Условие 2. При некотором , удовлетворяющем неравенству
,
абсолютно сходится ряд
,.
Отметим, что в общем случае распределение нулей функции нам не известно, но в частных случаях и нули функции вычисляются явно и тогда в качестве можно взять . В указанных частных случаях имеем:
,
.
Теорема. Пусть и выполнены условия 1 и 2. Если , то задача Дирихле (1), (3) имеет единственное решение.
Список литературы
1. Глушак А.В. Абстрактная задача Коши для уравнения Бесселя-Струве // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53, № 7. С. 891 - 905.
2. Иванов В.К. [Текст] / Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995.
3. Кабанихин С.И. Численный метод решения задачи Дирихле для волнового уравнения. [Текст] / Кабанихин С.И., Криворотько О.И. Сиб. журн. индустр. матем. 2012. Т. 15, № 4. С. 90 - 101.
4. Васильев В.И. Решение задачи Дирихле для уравнения колебаний струны методом сопряженных градиентов. [Текст] / Васильев В.И., Кардашевский А.М., Попов В.В. Вестник СВФУ. 2015. Т. 12, № 2. С. 43 - 50.
5. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963.
6. Prilepko A.I. [Текст] / Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York. Basel. Marcel Dekker, 2000.
7. Прудников А.П. [Текст] / Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Бесселевы функции первого рода и их практическое применение. Общее решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя полуцелого порядка. Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя.
контрольная работа [122,8 K], добавлен 02.10.2014Изучение вклада ученого в культуру и науку Восточной Пруссии. Начало научной деятельности Бесселя. Альбертина к моменту приглашения Бесселя. Бессель-астроном. Бессель-геодезист. В математике - функции Бесселя и дифференциальное уравнение.
реферат [131,4 K], добавлен 31.07.2007Ф.В. Бессель как немецкий математик и астроном XIX века. Описание уравнения Бесселя, его свойства и функции, характеристика частных случаев. Ортогональность функций Бесселя и их корни. Направления применения теории данных функций к анализу скин-эффекта.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.08.2012Функции Бесселя с целым положительным и произвольным значком. Общее представление цилиндрических функций. Функции Бесселя второго и третьего рода. Цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа. Нули цилиндрических функций.
курсовая работа [282,8 K], добавлен 03.04.2011Дифференциальное уравнение Бесселя и его интегралы. Рекуррентные формулы для данных функций. Применение теоремы Коши к интегралу Пуассона. Некоторые применения функций Бесселя. Задача на тепловое равновесие. Дифференциальное уравнение второго порядка.
курсовая работа [4,3 M], добавлен 06.06.2013Изучение численно-аналитического метода решения краевых задач математической физики на примере неоднородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Численная реализация вычислительного метода и вычислительного эксперимента, особенности их оформления.
практическая работа [332,7 K], добавлен 28.01.2014Простейшая разностная схема для задачи Дирихле: построение, аппроксимация и устойчивость. Описания метода установления. Анализ алгоритмов, реализующих метод установления: решение в виде конечного ряда Фурье, схема установления и переменных направлений.
курсовая работа [323,4 K], добавлен 25.11.2011Исследование задачи Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области методами спектрального анализа. Обоснование корректности постановки нелокальных начально-граничных задач различных вырождающихся дифференциальных уравнений.
курсовая работа [135,1 K], добавлен 06.05.2011Решение первой задачи, уравнения Пуассона, функция Грина. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Постановка краевых задач. Функции Грина для задачи Дирихле: трехмерный и двумерный случай. Решение задачи Неймана с помощью функции Грина, реализация на ЭВМ.
курсовая работа [132,2 K], добавлен 25.11.2011Бесселевы функции с любым индексом. Формулы приведения для бесселевых функций. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом. Ряды Фурье-Бесселя. Асимптотическое представление бесселевых функций для больших значений аргумента.
курсовая работа [617,8 K], добавлен 22.09.2008Банаховы функциональные пространства. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина. Признаки существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения.
курсовая работа [440,4 K], добавлен 27.05.2015Анализ уравнения гиперболического типа - волнового уравнения. Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера, неоднородное уравнение. Задача Коши, двумерное волновое уравнение. Теорема устойчивости решения задачи Коши. Формулы волнового уравнения.
реферат [1,0 M], добавлен 11.12.2014Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Пьер-Симон Лаплас - выдающийся французский математик, физик и астроном, один из создателей теории вероятностей. Уравнение Лапласа в двумерном пространстве. Способы трехмерного уравнения Лапласа. Особенности решения задачи Дирихле в круге методом Фурье.
курсовая работа [271,8 K], добавлен 14.06.2011Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Характеры и L-функции Дирихле, функциональное уравнение. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость; тривиальные и нетривиальные нули. Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций. Обобщенная гипотеза Римана.
реферат [573,1 K], добавлен 15.06.2011Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решение прямых и обратных задач методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [294,7 K], добавлен 17.06.2014Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014
