Асимптотика собственных значений дифференциального оператора
Исследование спектральных свойств дифференциального оператора второго порядка методом подобных операторов. Получение результатов об асимптотике спектра и сходимости спектральных разложений дифференциального оператора. Коэффициенты разложения функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.02.2019 |
| Размер файла | 50,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru//
Размещено на http://www.allbest.ru//
Асимптотика собственных значений дифференциального оператора
А.Н. Шелковой
В работе исследуются спектральные свойства дифференциального оператора второго порядка методом подобных операторов. Получены результаты об асимптотике спектра и сходимости спектральных разложений дифференциального оператора.
Ключевые слова: спектр оператора; дифференциальный оператор второго порядка; асимптотика спектра; метод подобных операторов.
We use the method of similar operators to study the spectral properties of a second order differential operators. We obtain results on the asymptotic behavior of the spectrum of such operators and convergence of the corresponding spectral decompositions.
Keywords: operator spectrum; differential of second order operator; spectrum asymptotic; method of similar operators.
Пусть - гильбертово пространство комплексных измеримых (классов) функций, суммируемых с квадратом модуля со скалярным произведением вида . Через обозначим пространство Соболева абсолютно непрерывна, . Рассматривается оператор порождаемый интегро-дифференциальным выражением вида с областью определения и краевыми условиями
Методом исследования оператора является метод подобных операторов, рассматриваемый в работах [1-8]. Представим его в виде
(1)
Оператор порождается дифференциальным выражением . Он является самосопряжённым оператором с дискретным спектром, собственные значения которого являются простыми, а соответствующие собственные функции образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве (см., например, [1]). Будем считать оператор невозмущённым оператором, - возмущением, которое представляет собой интегральный оператор с ядром .
Применяя метод подобных операторов для исследования спектральных свойств оператора (1), мы получим следующие результаты.
Теорема. Для любых функций для последовательностей величин и , определённых формулами
где - коэффициенты разложения функции в ряд Фурье по синусам, выполнены условия: Тогда спектр оператора представим в виде где - одноточечные множества, а - конечное множество с числом точек, не превосходящим Для собственных значений из имеют место оценки:
дифференциальный оператор асимптотика спектр
Для собственных функций оператора (1) справедлива оценка:
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 16-01-00197.
Список литературы
Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 1987. 165 с.
Баскаков А.Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов / А.Г. Баскаков // Сиб. мат. журн. - 1983. - Т. 24. - № 1. - С. 21-39.
Баскаков А.Г. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений / А.Г. Баскаков // Изв. АН СССР. - 1986. - Т. 50. - № 3. - С. 435-457.
Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущённых неквазианалитических и спектральных операторов / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. - 1994. - Т. 58. - № 4. - С. 3-32.
Баскаков А.Г. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями / А.Г. Баскаков, Т.К. Кацаран // Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24. - № 8. - С. 1424-1433.
Баскаков А.Г. Метод подобных операторов в спектральныом анализе несамосопряжённого оператора Дирака с негладким потенциалом / А.Г. Баскаков, А.В. Дербушев, А.О. Щербаков // Изв. РАН. Сер. матем. - 2011. - Т. 75, № 3. - С. 3-28.
Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными периодическими коэффициентами / А.Г. Баскаков, В.Б. Диденко // Дифференц. уравнения. - 2015. - Т. 51. - № 3. - С. 323-338.
Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка в банаховом пространстве и расщепление операторов / А.Г. Баскаков, Т.К. Кацаран, Т.И. Смагина // Изв. вузов. Матем. - 2017. - № 10. - С. 38-49.
Шелковой А.Н. Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями: дисс. … канд. физ.-мат. наук. - Воронеж, 2004. 144 с.
Шелковой А.Н. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора с нелокальными краевыми условиями / А.Н. Шелковой // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. - 2016. - Т. 43, № 13 (234). - С. 72-80.
Шелковой А.Н. Метод подобных операторов в исследовании интегро-дифференциальных операторов с квадратично суммируемым ядром / А.Н. Шелковой // Вопросы науки. - 2016. - Т. 2. - С. 68-80.
Шелковой А.Н. Спектральные свойства дифференциальных операторов, определяемых нелокальными краевыми условиями / А.Н. Шелковой // Вопросы науки. - 2016. - Т. 3. - С. 83-90.
Шелковой А.Н. О некоторых спектральных свойствах одного класса дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями / А.Н. Шелковой // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Математика. Физика. - 2002. - № 2 . - С. 106-110.
Данфорд Н. Линейные операторы. Т. 3. Спектральные операторы / Н. Данфорд, Д.Т. Шварц. - М.: Мир, 1974. - 661 с.
Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. - М.: Наука, 1969. - 528 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.
реферат [350,1 K], добавлен 22.04.2010Определение оператора в гильбертовом пространстве. Индексы дефекта симметрического оператора. Преобразование Кэли и формулы Неймана. Формула Крейна для резольвент самосопряженных расширений заданного симметрического оператора, доказательство теорем.
курсовая работа [190,6 K], добавлен 18.08.2011Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 19.08.2009- Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора
История нестандартного анализа. Линейные операторы. Обратный оператор. Обратимость. Резольвента линейного оператора. Резольвентное множество. Спектр. Введение в нестандартный анализ. Пример неархимедовой числовой системы.
дипломная работа [256,2 K], добавлен 08.08.2007 Порядок и принципы составления дифференциального уравнения, методика нахождения неизвестных значений. Замена исходного дифференциального уравнения на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных. Формирование и решение системы уравнений.
задача [118,8 K], добавлен 20.09.2013Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.
курсовая работа [81,9 K], добавлен 29.08.2010Понятия пространств в изучении компактных операторов. Линейный оператор и линейный функционал, сопряженный оператор, компактный множество. Основные свойства компактного операторов. Компактность оператора Вольтерра. Примеры некомпактного оператора.
реферат [173,1 K], добавлен 27.05.2008Поняття лінійного оператора, алгебраїчні операції над ним та базові властивості. Лінійні перетворення (оператори) із простору V в W. Матриця лінійного оператора. Перетворення матриці оператора при заміні базису. власні значення і власні вектори.
курсовая работа [452,3 K], добавлен 25.03.2011Рассмотрение понятия тождественного (единичного) оператора. Анализ методов решения линейных однородного и неоднородного уравнений. Ознакомление с определением эрмитовости оператора. Доказательство теоремы о свойствах ортогональности собственных функций.
реферат [19,6 K], добавлен 16.08.2010Решение дифференциального уравнения методом Адамса. Нахождение параметров синтезирования регулятора САУ численным методом. Решение дифференциального уравнения неявным численным методом. Анализ системы с использованием критериев Михайлова и Гурвица.
курсовая работа [398,2 K], добавлен 13.07.2010Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.
реферат [286,2 K], добавлен 06.08.2013Гиперболические уравнения и уравнения смешанного типа. Неограниченная область свойства решений эллиптических уравнений. Вспомогательные леммы и утверждения. Существование резольвенты дифференциального оператора. Применение преобразования Фурье.
реферат [93,9 K], добавлен 30.04.2013Означення і найпростіші властивості лінійних операторів. Контрольний приклад отримання власних значень. Матриця лінійного оператора. Опис та текст програми. Власні вектори й значення лінійного оператора. Теорія лінійних просторів та її застосування.
курсовая работа [74,8 K], добавлен 28.03.2009Основные правила расчета значений дифференциального уравнения. Изучение выполнения оценки погрешности вычислений, осуществления аппроксимации решений. Разработка алгоритма и написание соответствующей программы. Построение интерполяционного многочлена.
курсовая работа [212,6 K], добавлен 11.12.2013Определение линейного оператора. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента. Операторы: умножения на непрерывную функцию; интегрирования; сдвиг
дипломная работа [267,4 K], добавлен 27.05.2008Важливість ролі власних векторів. Векторний простір і лінійний оператор в ортогональному проектуванні його на площину. Роль одновимірних інваріантних підпросторів. Вигляд матриці оператора в базисі, що складається з власних векторів цього оператора.
лекция [120,9 K], добавлен 19.06.2011Особенности решения обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями методом конечной разности. Составление трехдиагональной матрицы. Реализация решения в программе Microsoft Office Excel.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 23.12.2013Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012
