Проблемы регуляризации сингулярной вариационной задачи
Показано, как можно сингулярную задачу, решаемую вариационным методом в весовом пространстве, заменить аппроксимирующей задачей, не имеющей сингулярности. Решение задачи о минимуме функционала. Краевая задача для сингулярного дифференциального уравнения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 01.02.2019 |
| Размер файла | 52,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Проблемы регуляризации сингулярной вариационной задачи
Г.А. Виноградова
В данной статье автор показывает, как можно сингулярную задачу, решаемую вариационным методом в весовом пространстве, заменить аппроксимирующей задачей, не имеющей сингулярности.
Ключевые слова: Сингулярная краевая задача, весовое пространство, вариационный метод, регуляризация.
G.A.Vinogradova. The regularization task of singular variational problem
In given article authors shows how a singular problem solved by the variational method in weight space can be replaced by an approximating problem that has no singularity.
Keywords: singular boundary value problem, weight space, variational method, regularization.
Рассмотрим краевую задачу для сингулярного дифференциального уравнения
,
, (1)
где .
регуляризация сингулярный вариационный задача
Введем весовое гильбертово пространство , которое является пополнением множества четных бесконечно дифференцируемых на отрезке функций по норме . Скалярное произведение в нем определяется по формуле .
Область определения оператора состоит из множества функций дважды непрерывно дифференцируемых на интервале , непрерывных на отрезке , имеющих непрерывную производную на полуинтервале , удовлетворяющие граничным условиям и .
Оператор задачи является симметричным и положительно определенным в пространстве . Как следует из вариационного метода (см., например [1]), решение задачи сводится к проблеме минимума функционала
(2)
на энергетическом пространстве . Энергетическое пространство является пополнением по норме . Как известно из теории ([1]), решение задачи (1) доставляет минимум функционалу (2), и функция, доставляющая минимум функционалу (2), принадлежащая области определения оператора , является решением задачи (1). Если функция, доставляющая минимум функционалу, не принадлежит , то такую функцию называют обобщенным решением задачи (1).
Приближенное решение задачи о минимуме функционала (2) ищется в виде , где - базисные функции в энергетическом пространстве , причем, в силу классического метода Рица, при по норме .
Как это отмечалось в работах [2] и [3], в случае приближенное решение равномерно стремится к точному решению на отрезке .
В случае приближенное решение стремится к точному решению в энергетическом пространстве и равномерно на любом отрезке , где . Граничное условие не обязательно выполняется, даже если при решении этой задачи методом Ритца потребовать выполнение граничного условия для базисных функций, более того, в окрестности нуля приближенное решение может быть неограниченным.
Заметим, что для функции , удовлетворяющей условию справедливо равенство
где . Кроме того, и является бесконечно малой величиной при .
Если функция трижды непрерывно дифференцируема на отрезке, то , где . Тогда справедлива оценка , где на отрезке .
Если функция четыре раза непрерывно дифференцируема на отрезке, и удовлетворяет дополнительному условию , то . В этом случае будет справедливо неравенство , на отрезке .
Таким образом, оператор аппроксимирует оператор при определенных условиях на отрезке.
Рассмотрим новую задачу
,
, (3)
,
.
На области определения оператора определим новые скалярное произведение и норму по формулам
, . (4)
Пополним множество по норме , полученное пространство обозначим .
Оператор является симметричным и положительно определенным. В самом деле, используя формулу интегрирования по частям для функций из имеем
.
То есть оператор является симметричным.
Если , и , имеем
Тогда в силу неравенства Гельдера получаем
, если , и
,
где , если . То есть для любого справедливо неравенство
.
Интегрируя последние неравенства по отрезкам и , получаем
.
Последнее означает, что оператор является положительно определенным.
Задача сводится к проблеме о минимуме функционала
(5)
и имеет единственное решение в энергетическом пространстве .
Список литературы
1. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М: Наука , 1970. - 512 c.
2. Виноградова Г.А. О решении сингулярной задачи вариационным методом // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Международной конференции: Воронежская зимняя математическая школа. - Воронеж : Издательский дом ВГУ.
3. Виноградова Г.А. О решении сингулярной задачи вариационным методом// Вестник факультета ПММ. - 2015. - Вып. 10. - С. 39-42.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Особенности выполнения задачи минимизации функционала. Свойства билинейной формы. Формулирование обобщенного способа решения вариационной задачи для краевых задач с самосопряженным дифференциальным оператором (вследствие квадратичности функционала).
презентация [79,5 K], добавлен 30.10.2013Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Графическое решение задачи линейного программирования. Общая постановка и решение двойственной задачи (как вспомогательной) М-методом, правила ее формирования из условий прямой задачи. Прямая задача в стандартной форме. Построение симплекс таблицы.
задача [165,3 K], добавлен 21.08.2010Решение первой задачи, уравнения Пуассона, функция Грина. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Постановка краевых задач. Функции Грина для задачи Дирихле: трехмерный и двумерный случай. Решение задачи Неймана с помощью функции Грина, реализация на ЭВМ.
курсовая работа [132,2 K], добавлен 25.11.2011Метод разделения переменных в задаче Штурма-Лиувилля. Единственность решения смешанной краевой задачи, реализуемая методом априорных оценок. Постановка и решение смешанной краевой задачи для нелокального волнового уравнения с дробной производной.
курсовая работа [1003,8 K], добавлен 29.11.2014Порядок и принципы составления дифференциального уравнения, методика нахождения неизвестных значений. Замена исходного дифференциального уравнения на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных. Формирование и решение системы уравнений.
задача [118,8 K], добавлен 20.09.2013Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Понятие функционала и оператора. Задачи, приводящие к экстремуму функционала, и необходимые условия его минимума. Связь между вариационной и краевой задачами. Функционалы, зависящие от нескольких функций. Вариационные задачи с подвижными границами.
курсовая работа [313,3 K], добавлен 23.05.2010Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Нелокальная краевая задача, которая является некоторым аналогом задачи Бицадзе-Самарского. Единственность ее решения доказывается принципом максимума, а существование решения доказывается сведением задачи к эквивалентному ей интегральному уравнению.
задача [54,3 K], добавлен 13.05.2008Решение дифференциального уравнения методом Адамса. Нахождение параметров синтезирования регулятора САУ численным методом. Решение дифференциального уравнения неявным численным методом. Анализ системы с использованием критериев Михайлова и Гурвица.
курсовая работа [398,2 K], добавлен 13.07.2010Применение метода дискретной регуляризации Тихонова А.Н. для нахождения решения обратной задачи для однородного бигармонического уравнения в круге. Сведение дифференциальной задачи к интегральному уравнению; корректно и некорректно поставленные задачи.
курсовая работа [280,2 K], добавлен 20.10.2011Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Решение линейной краевой задачи методом конечных разностей (методом сеток). Замена области непрерывного изменения аргументов дискретным множеством узлов (сеток). Сведение линейной краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений (сеточных).
лекция [463,7 K], добавлен 28.06.2009Модельная задача уравнения колебаний струны и деформации системы из трех струн. Вариационные методы решения: экстремум функционала, пробные функции, метод Ритца. Подпространства сплайнов и тестирование программы решения системы алгебраических уравнений.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 29.06.2012Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014Описание метода сведения краевой задачи к задаче Коши. Решение системы из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Метод Рунге-Кутта. Расчет максимальной погрешности и выполнение проверки точности. Метод конечных разностей. Описание полученных результатов.
курсовая работа [245,2 K], добавлен 10.07.2012Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.
курсовая работа [81,9 K], добавлен 29.08.2010Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.
курсовая работа [77,1 K], добавлен 02.06.2011Банаховы функциональные пространства. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина. Признаки существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения.
курсовая работа [440,4 K], добавлен 27.05.2015
