Необходимые и достаточные условия существования предельных циклов первого рода

Рассмотрим управляемую систему следующего вида

, (4)

, (5)

где - неизвестный вектор, - неизвестный момент времени.

Введем следующие обозначения

, (6)

, (7)

, (8)

, (9)

(10)

. (11)

Лемма 1. Если ранг матрицы

равен, то матрица положительно определенна для любого .

Доказательство. Легко убедиться в том, что ранг блочной матрицы равен рангу матрицы . В самом деле, поскольку

то .

Если , то система алгебраических уравнений относительно , определяемая выражением

(12)

имеет единственное решение . Поскольку для любого матрица

,

где функции , линейно независимы, то соотношение (12) равносильно следующему уравнению относительно

, (13)

которое также имеет единственное решение . Теперь рассмотрим квадратичную форму

.

Так как , , и она обращается в нуль тогда и только тогда, когда , то квадратичная форма для любого , . Следовательно, матрица . Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть . Тогда управление переводит траекторию системы (4), (5) из любого начального состояния в состояние тогда и только тогда, когда

(14)

где функция , является решением дифференциального уравнения

, (15)

. (16)

Решение дифференциального уравнения (4) при условии (5), соответствующее уравнению , определяется по формуле

. (17)

Доказательство. Решение дифференциального уравнения (4), исходящее из точки , запишется так

. (18)

Отсюда при имеем

.

Тогда искомое управление , для которого , является решением следующего уравнения

. (19)

Так как матрица не особая, то после умножения правой и левой части (19) на получим

. (20)

Множество всех управлений , удовлетворяющих условию (20), обозначим через , т. е.

. (21)

Заметим, что множество содержит те и только те управления, которые переводят траекторию системы (4) из начального состояния в состояние , где - любой вектор.

Теорема утверждает, управление принадлежит множеству (21) тогда и только тогда, когда оно является элементом множества , т.е. что .

Таким образом, общее решение интегрального уравнения (20) определяется соотношением (14).

Докажем, что . Для этого достаточно показать, что: и . Покажем, что . В самом деле, если , то, как следует из соотношения (14), значение интеграла

(22)

Так как (см. (15), (16))

, то . (23)

Интеграл (см. (7))

(24)

Последнее слагаемое из (22) с учетом соотношения (8) запишется в виде

(25)

Теперь соотношение (2.25) с учетом выражений (2.26) - (2.28) запишется так

. (26)

Из (26) следует, что управление принадлежит множеству . Итак, любое управление является элементом множества . Это означает, что множество .

Покажем, что . Пусть - любое управление из т.е.

. (27)

Рассмотрим соотношение (14), где - произвольная функция. Выберем . Тогда

(28)

где функция , является решением дифференциального уравнения

. (29)

Решение дифференциального уравнения (29), имеет вид

.

Отсюда при с учетом (2.30) получим

. (30)

Как следует из формул (6) - (8), (30),

,.

Теперь соотношение (28) запишется в виде

.

Таким образом, любая функция является элементом множества . Следовательно, . Из включений , следует, что . Первое утверждение теоремы доказано.

Подставляя значение из соотношения (14) в правую часть выражения (18) с учетом равенства получим представление решения системы (2) в виде (17). Теорема доказана.

Вдоль периодического решения системы (2) выполнено тождество , . Данное тождество запишется в виде

Отсюда, с учетом того, что , , имеем

.

В частности, для значений данное тождество записывается в виде

.

С учетом особенности периодических решений, исходная задача может быть записана в виде

, (31)

, (32)

. (33)

В дальнейшем будем рассматривать краевую задачу (31) - (33).

Лемма 2. Пусть . Тогда краевая задача (31) - (33) равносильна следующей задаче:

, (34)

, (35)

, (36)

, (37)

, (38)

где функция , определяется по формуле (19).

Доказательство. Как следует из теоремы 1, для краевой задачи (4), (5) множество всех управлений, каждый элемент которого переводит траекторию системы из в за время определяется по формуле (14). Сравнивая краевые задачи (4) и (30), можно убедиться в том, что управление равно , . При выполнении тождества (34) имеет место равенство , . Следовательно, фазовое ограничение (3) запишется в виде (35). Для существования предельного цикла первого рода необходимо выполнение равенства (33). Теперь соотношение (33) запишется в виде (36). Из теоремы 1 следует, что функция , имеет вид (17), где функция , является решением дифференциального уравнения (37) при условии (38). Лемма доказана.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: минимизировать функционал

(39)

при условиях

, (40)

, (41)

. (42)

Вводя обозначения

,

функционал (37) можно представить в виде

,

где функция , определяется по формуле (17), .

Обозначим через

.

Допустимым управлением для задачи (39)-(42) является четверка , а соответствующей этому управлению траекторией будет функция , .

Следует отметить, что:

1) функционал , ограничен снизу, так как ;

2) задача (39)-(42) является задачей оптимального управления со свободными правыми концами траекторий с нестандартным функционалом;

3) в отличие от исходной задачи, уравнение движения системы является линейным.

Пусть, .

Теорема 2. Пусть , множество . Для того, чтобы краевая задача (31) - (33) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы значение , где - оптимальное управление для задачи (39) - (42). Если , то функция

, (43)

удовлетворяющая условию , , является периодическим решением системы (2), (3).

Доказательство. Заметим, что значение функционала тогда и только тогда, когда выполнены тождества

,

,,

.

Из включения следует, что

.

Таким образом, при выполнены соотношения (34) - (38). Более того, найдено решение системы (34)-(38) , , , , . Согласно утверждениям леммы 2, уравнения (34) - (38) равносильны краевой задаче (31) - (33). Следовательно, краевая задача (31) - (33) имеет решение. Верно и обратное утверждение, т.е. если краевая задача (31) - (33) имеет решение, то значение . Более того, решение краевой задачи (31) - (33), функция , .

Заметим, что функция , будет периодическим решением системы (2), (4), если

.

Теорема доказана.

Заметим, что:

1) если , то независимо от того, пусто или не пусто множество , краевая задача (31)-(33) не имеет решения. Следовательно, исходная система (2), (4) не имеет периодического решения;

2) осуществлен последовательный переход от исходной задачи для системы (2), (3) к краевой задаче (31) - (33) и от нее к системе (34) - (38);

3) система (34)-(38) равносильна задаче оптимального уравнения (39) - (42);

Размещено на Allbest.ru