Об одной схеме плоской задачи теории струй

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 533.6.011

Об одной схеме плоской задачи теории струй

Абдылдаев М.Ю.

Искаков Б.О.

В этой работе рассмотрен ряд плоских задач об истечении жидкости из сосудов. Каждый раз мы будем искать общее решение задачи, позволяющее найти как форму линий тока, так и скорость в каждой точке области течения. Основными интересующими нас величинами будут коэффициенты сжатия струи.

Схема, которая показано на рис.1 является частным случаем ряда плоских задач об истечениях из сосудов. В частности,

при получиться случай так называемое «Насадка Борда»;

при будем иметь задачу «Истечение струи из отверстия в плоскости»; жидкость ток струя плоскость

при имеем задачу «Истечения из щели между двумя плоскостями».

Рис.1. Картина течения в физической плоскости z=x+iy.

При решении этих задач, предполагается, что скорость на поверхности струи постоянна и равна V0. Для решения задачи схема, которой изображена на рис.1 (при б=0), отобразим области изменения функции Жуковского [1]

(где -угол вектора скорости с осью абсцисс х)

на верхнюю полуплоскость вспомогательного переменного t (рис.2)

Пусть на одной граничной линии тока CAD функция тока а на другой граничной линии тока CBD На поверхности струй AD и BD абсолютная величина скорости равна . При движении вдоль линии тока потенциал скоростей , очевидно, меняется от до . Таким образом, областью изменения w является полоса шириной q (q - расход жидкости) (рис.3). Легко видеть, что отображение области изменения w на верхнюю полуплоскость t (рис.3) дается формулой

Рис.2. Параметрическая плоскость t=о+iз.

Рис.3. Область изменения комплексного потенциала w=ц+iш.

Функция W(t) определенная формулой (3) аналитична и удовлетворяет всем граничным условиям задачи.

Действительно, на CAD (0<t<+?) мнимая часть W равна нулю, а действительная меняется от -? в точке t=0, до +? в точке t=?. При обходе точки t=0 по бесконечно малой полуокружности против часовой стрелки (рис.2) комплексный потенциал изменяется скачком iq и вдоль CBD комплексный потенциал

,

имеет действительную и мнимую часть (), причем ц будет изменяется от -? в точке t=0 до +? в точке t=-?.

Теперь найдем функцию

.

Вдоль линии тока BD скорость V=V0, откуда . С другой стороны, и вдоль BD изменяется от -(р-б) до нуля, откуда щ изменяется от -i(р-б) до нуля (рис.4). Таким же образом, вдоль линии тока DA функция щ изменяется от нуля до i(р-б). На CB щ действительна и меняется от значения ? в точке С до нуля в точке В. Вдоль АС мнимая часть функции щ постоянна и равна (р-б), а действительная часть меняется от нуля до ? (так как в бесконечности в точке С скорость V, очевидно равняется нулю). При переходе через точку С величина и меняется скачком. Таким образом, область изменения щ представляет собой полуполосу, которую можно рассматривать как треугольник АВС, вершина С которого удалена в бесконечность (рис.4)

Рис.4. Область изменения функции Жуковского щ.

Для получения отображения треугольника АВС (рис.4) на верхнюю полуплоскость t (рис.2) можно воспользоваться формулой Кристоффеля - Шварца [1]. Углы треугольника при вершинах А, В, С соответственно равны . Пользуясь произволом выбора трех граничных точек, предположим, что t в вершинах треугольника имеет значения: . Отсюда формула Кристоффеля - Шварца [1] дает

.

Постоянные С1 и С2 выберем из следующих соображений: в точке А .

Отсюда ,

и, вычисляя интеграл, получаем:

.

Из рис.2 и рис.4 видно, что в точке В

Но тогда (4) дает для С1 значение . (4.а)

Таким образом для функции щ имеем выражение

.

Пользуясь известными формулами, связывающими логарифмическую функцию с обратными тригонометрическими функциями [2].

.

Формулу (5) можно представить в другом виде

,

.

Проверим правильность формулы (6) или (7).

Из рис.2 и 4 видно, что при t=1 (точка А) ;

при t=-1 (точка В) ;

при t=±? (точка D) ().

Перепишем формулу (7) в виде:

где .

Так как , то

.

При имеем комплексную скорость для задачи «Насадка Борда»;

при имеем комплексную скорость для задачи «Истечение струи из отверстия в плоскости»;

при имеем комплексную скорость для задачи «Истечение из щели между двумя плоскостями» [1].

В следующих примерах искомой является только коэффициент сжатия струи, как основная интересующая величина. I. Рассмотрим пример истечения струи из «Насадка Борда». Из формулы (3) и (8) следует, что

.

Полученные формулы позволяют найти наиболее интересную для данной задачи величину коэффициента сжатия струи , равный отношению ширины струи в бесконечности к ширине отверстия в стенке АВ. Обозначим толщину струи в бесконечности, равную отношению расхода q к скорости в бесконечности на струе V0, через . Рассматривая линию тока AD, мы видим, что вдоль этой линии t действительно и изменяется от 1 до +?. При этом вдоль этой линии мнимая часть будет

.

Из симметрии картины течения относительно оси х следует, что АВ равно сумме удвоенной проекции линии тока AD на ось y и толщина струи в бесконечности д:

Таким образом, согласно (10), имеем:

;

Так как несобственный интеграл сходится и оно равно:

,

.

Откуда коэффициент сжатия струи k0 равен

;

Примечание: «Насадка Борда» представляет собой исторически первую задачу, решенную с помощью теории струй Гельмгольцем [1] в 1868 году. Определение коэффициента сжатия струи «насадки Борда» принадлежат к тем замечательным гидродинамическим задачам, которые решаются без использования конформных отображений, только с помощью теорем количества движения и энергии и условия постоянства расхода в струе.

II. Рассмотрим теперь пример «истечения струи из отверстия в плоскости».

Согласно формуле (3) и (8) при имеем:

Отделим действительную и мнимую часть

.

Исходя из симметрии картины течения относительно оси х как в задаче «Насадка Борда» с учетом формулы (12), имеем:

,

Откуда коэффициент сжатия k0 равно

.

III. Далее, рассматривается случай, когда угол «б» произвольная величина, изменяющаяся в пределах , при этом , где чр - угол наклона стенки СВ (СА) к оси х. В этом случае имеем задачу «Истечение из щели между двумя плоскостями». При этом комплексная координата имеем вид:

.

Преобразовав выражение будем иметь:

.

Выражение стоящее в фигурной скобке является комплексной величиной. Найдем модуль и аргументы этого выражения:

Следовательно,

Откуда

здесь ;

Из рис.1 видно (при ), что половина ширины отверстия АВ равна половине ширины струи в бесконечности плюс возвышение точки В над точкой D, т.е.

а коэффициент сжатия струи равен

Литература

1. М.И. Гуревич. Теория струй идеальной жидкости. Москва, 1961.

2. И.К. Бронштейн и К.А. Семендяев. Справочник по математике. Москва, 1967.

Размещено на Allbest.ru