Некоторая система функции сопряженная системе функционалов Симпсона
Биортогональные разложения различных классов функции и их применение в разделах математики. Возникновение необходимости построения биортогональных систем, коэффициенты которых легко выражаются. Условия, обеспечивающие восстановление непрерывной функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.02.2019 |
| Размер файла | 53,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Некоторая система функции сопряженная системе функционалов Симпсона
Н.С. Абдуллаев
Аннотация
В работе построена система функции сопряженная системе функционалов Симпсона и получены достаточные условия разложимости четной, непрерывной, 2 - периодической функции по биортогональной системе.
Биортогональные разложения различных классов функции нашли применение как в различных разделах математики, так и в многочисленных ее применениях.
В связи с громоздкостью вычислений коэффициентов через обычные интегральные формулы Фурье возникает естественная необходимость построения биортогональных систем, коэффициенты которых довольно легко выражаются.
В работе в качестве функционалов биортогональных систем выбраны функционалы
(1)
получающиеся при приближенном вычислении интеграла от непрерывной четной 2- периодической функции на [-,]. Положим
(2)
Линейные функционалы будем называть функционалами Симпсона функции f. В работах /1/, /2/ была решена задача восстановления непрерывной 2 - периодической функции f(x) по функционалам
(3)
В работе /6/ были найдены условия, обеспечивающие восстановление непрерывной функции f(x) по известным значениям её функционалов Симпсона , (n=1,2,…).
В настоящей работе построена система функций , сопряженная системе функционалов Симпсона и получены достаточные условия разложимости четной, непрерывной, 2- периодической функции f по биортогональной системе {,}. Далее строится система функций =, которая сопряжена к , т.е. = где - Символ Кронекера. математика функция биортогональный
ЛЕММА 1. Пусть
(4)
тогда система функций является сопряженной к на [0,2].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вычислим
Таким образом, окончательно
(5)
ЗАМЕЧАНИЕ: покажем, что
Cos(mx) = (6)
Действительно
ТЕОРЕМА 1. Сумма коэффициентов многочлена gSn(x) может быть вычислена по следующей формуле
Полагая q=2q', лемме 4 в работе /6/ тогда получим
но в этом случае
.
Поэтому, полагая n =, получим
В работе /7/ были найдены достаточные условия разложения функции в равномерно сходящийся ряд по системе {,} и оценена скорость равномерной сходимости.
Далее показана возможность суммирования по биортогональной системе {,}, специальным методом, впервые рассмотренном в /3/. Кроме того, доказано, что класс функций полностью определяемых последовательностью функционалов Симпсона , нельзя расширить.
ТЕОРЕМА 2. Если ряд Фурье чётный 2 - периодической функции f(x) абсолютно сходится, то
, (7)
причем ряд (7) сходятся равномерно на всей числовой прямой и его остаток Rn(x) мажорируется рядом
Для доказательства обозначим через (m,[n])- наибольший общий делитель чисел m и [n]. Заметим, что (m,[n])=m при mn. Выражая по лемме 1 в работе /6/ функционалы через , получим
где
Используя замечание к лемме 1, получим, что первая сумма равна
поэтому откуда это следует утверждение теоремы.
ЗАМЕЧАНИЕ: Легко показать что абсолютная сходимость ряда Фурье равносильна абсолютной сходимости ряда, составленного из коэфицентов Фурье то есть
СЛЕДСТВИЕ: Сходимость ряда где - абсолютная константа, функции имеет место в каждом из следующих случаев
а)
б)
И имеет ограниченное изменение на доказательство вытекает из результатов /4/ с 384-386.
Далее, существенно расширен класс функции, которые полностью определяются своей последовательностью функционалов Симпсона.
ТЕОРЕМА 3. Если ряд Фурье четной, 2-периодической функции абсолютно сходятся, то она полностью восстанавливается своей последовательностью функционалов Симпсона Sn
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть f,F четные, 2-периодические функции, ряды Фурье которых абсолютно сходятся, тогда в силу. Теорема 2.
f(х)-F(х)=1/2(а 0[f]-a0[F])
Учитывая, что
dx.Получим а 0[f]=a0[F]. Отсюда следует что f(x)F(x) и т.д.
ЗАМЕЧАНИЕ: Возникает естественный вопрос нельзя ли расширить класс функции, которые полностью определяются функционалами Симпсона. Следующий пример показывает, что этого сделать нельзя.
ПРИМЕР: Положим
f0(х) = (8)
Как показано в /5/ ряд (8) сходится равномерно на [-,]. Поэтому f0(x) -непрерывная, четная, 2-периодическая функция.
Очевидно, что f0(x)
Кроме того, ряд (8) является рядом Фурье f0(х), т.е ак[f0]=(k)/k
Т.к то ряд расходится,
Покажем, что Sn[f0]=0
В самом деле,
An[f0]=An() =n(coskx) ==
Поскольку
то АК[f0] = 0 тогда по лемме 1 в работе/3/ Sn[f0]=0, хотя f0(x)
Литература
Киселев А.А. Научная сессия Университета, секция математических наук. Ленинград, 1950, с. 36
Киселев А.А. Онуфриева Л.А. Применение биортогональных систем Чебышева и Маркова для приближения функции. В книге "Исследования по современным проблемам конструктивной теории функции", М., Наука, 1961, с 183-189
Карацуба А.А. Основа аналитической теории чисел. М., Наука, 1983, 239с Зигмунд А. Тригонометрические ряды, М., Мир. 1965. т. 1,2; 537с
Давенпорт Г. Davenport N. On Some infinite Series involving artthmeical functions. // Qurt. I. Math. Ser. 8. N32. 1937
Абдуллаев Н.С. "Задача о восстанавлении непрерывный 2-ой периодической функции по известным функционалам Симпсона". Вестник КазГУ, серия N5(19) математика, механика, информатика; выпуск 1999, Алматы.
Абдуллаев Н.С. "Некоторое биортогональное разложение функций и оценка скорости равномерный сходимости". Научно - теоретический журнал "Механика и моделирование процессов технологий", 2000, N2, Тараз, 158-161с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Построение графика непрерывной функции. Определение множителя Лагранжа. Критические точки - значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
контрольная работа [295,5 K], добавлен 24.03.2009Условия разложения функций для тригонометрического ряда. Определение коэффициентов разложения с помощью ортогональности систем тригонометрических функций. Понятие периодического продолжения функции, заданной на отрезке. Ряд Фурье функции у=f(x).
презентация [30,4 K], добавлен 18.09.2013Различные трактовки понятия функции в школьном курсе математики. Функция и задание ее аналитическим выражением. Область определения функции и область значений функции. Тесты по теме "Числовые функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции".
дипломная работа [213,1 K], добавлен 07.09.2009Применение второго замечательного предела для раскрытия неопределенности. Точки разрыва непрерывной функции 1-го и 2-го рода. Условия ее непрерывности в точке, интервале и на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши. Обращение функции в ноль.
презентация [222,8 K], добавлен 20.03.2014Основные свойства непрерывной функции. Теоремы о корне, промежуточном значении и об ограниченности непрерывной функции, их доказательство. Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума. Графическое представление корней уравнения.
лекция [497,0 K], добавлен 13.02.2009Понятие функции как важнейшее понятие математики, ее общие свойства. Особенности обратной функции, ее экстремумы. Наибольшее и наименьшее значение функции, ее периодичность, четность и нечетность. Нуль функции, промежутки знакопостоянства, монотонность.
презентация [86,8 K], добавлен 18.12.2014Рассмотрение и анализ основных свойств показательной функции: решение задач, способы построения графиков. Понятие и примеры применения гиперболических функций, их роль в различных приложениях математики. Способы нахождения области определения функции.
контрольная работа [902,6 K], добавлен 01.11.2012Экстремум функции: максимум и минимум. Необходимое условие экстремума. Точки, в которых выполняется необходимое условие. Схема исследования функции. Поиск критических точек функции, в которых первая и вторая производная равна нулю или не существует.
презентация [170,6 K], добавлен 21.09.2013Общий обзор свойств функций, осмысление каждого свойства. Исследование функции на монотонность, ее наибольшее и наименьшее значения. Тестовое задание "Выпуклость функции". Примеры непрерывной функции D(f)=[-4; 6] и прерывной функции D(f)=(1; 7).
презентация [360,5 K], добавлен 13.01.2015Число как одно из основных понятий математики. Виды чисел, абсолютная и переменная величины. Область определения функции, четные и нечетные функции. Построение графиков функций. Пределы последовательности и пределы функции. Непрерывность функции.
учебное пособие [895,7 K], добавлен 09.03.2009Вид определенного интеграла от непрерывной на заданном отрезке функции. Сущность квадратурных формул. Нахождение численного значения интеграла с помощью методов левых и правых прямоугольников, трапеций, парабол. Выведение общей формулы Симпсона.
презентация [120,3 K], добавлен 18.04.2013Предел для функции действительного аргумента и для функции комплексного переменного. Формулировка необходимого условия дифференцируемости функции комплексного переменного (условие Коши-Римана). Понятия и примеры правильных и особых точек функции.
презентация [74,9 K], добавлен 17.09.2013Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.
курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010Определение функции Дирака. Задачи, приводящие к определению дельта-функции Дирака. Математическое определение дельта-функции. Применение функции Дирака. Разрывные функции и их производные. Нахождение производных разрывных функций.
дипломная работа [231,6 K], добавлен 08.08.2007Понятие функции как одно из важнейших понятий математики. Сюръекции, инъекции и биекции. Композиция или сложная функция и ее иллюстрация. Зависимость множеств Х и У, их области, элементы и простейших операций над ними. История математической функции.
реферат [58,8 K], добавлен 11.03.2009Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016Разложение в ряд Фурье. Определение функции и нахождение коэффициентов разложения. Проведение замены в интеграле. Условия теоремы о разложении функции в ряд Фурье. Примеры взятия интеграла по частям. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
презентация [73,1 K], добавлен 18.09.2013Свойства множества Кантора. Исследование заданной функции на непрерывность. Выражение множества B (кладбище Серпинского) и D (гребёнка Кантора) через множество Кантора. Свойства и построение всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 24.06.2015Способы задавания функции: табличный, графический и аналитический. Область определения и область значений функции, промежутки ее знакопостоянства. Свойства постоянной функции. Множества значений функции y=arctgx. Основные свойства функции y=sinx.
реферат [799,4 K], добавлен 22.06.2019Свойства отражающей функции. Характеристика четной и нечетной вектор-функции, их отличительные черты. Семейства решений с постоянной четной частью. Примеры систем, решения которых имеют постоянную четную часть. Построение систем с заданной четной частью.
дипломная работа [180,7 K], добавлен 22.09.2009
