Решение трехмерной обратной задачи потенциала Вебера
Построение приближенного решения трехмерной обратной задачи потенциала Вебера. Применение метода регуляризации А.Н. Тихонова, получение оценки между регуляризованным и точным решениям. Определение параметра регуляризации трехмерного потенциала Вебера.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.02.2019 |
| Размер файла | 59,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ПОТЕНЦИАЛА ВЕБЕРА
А.Ш. Надырбекова
В данной работе построено приближенное решение трехмерной обратной задачи потенциала Вебера. Применяя метод регуляризации А.Н. Тихонова, получена оценка между регуляризованным и точным решениям. Так же получена оценка параметра регуляризации.
Постановка задачи
Рассмотрим трехмерный потенциал Вебера:
(1)
где ядро
,
- ограниченная, звездная область относительно начала координаты.
Рассматривается обратная задача об определении плотности (y) по значениям потенциала Вебера w(x). Эта задача является типичным примером «некорректных» задач, следовательно, в первую очередь надо рассматривать вопрос о единственности и устойчивости решения. В работе /1/ в классе непрерывных функции доказана теорема единственности и в множестве корректности получены оценки характеризующие устойчивости решения.
Пусть , где (, , ) - сферические координаты. Переходя к сферическим координатам в (1) имеем:
(2)
где . Разложим функцию
в ряд по степеням : ,
где - многочлен Гегенбауэра. Отсюда (2) имеет вид:
Таким образом, мы получаем интегральное уравнение первого рода в виде:
(3)
где .
Регуляризация
Пусть вместо точного значения w(x) задается приближенное значения w (x) с нормой уклонения, не превосходящей : w (x)- w (x) , >0.
В качестве приближения к точному решению, в методе регуляризации /2/, берется функция , доставляющая минимум сглаживающему функционалу:
где W2 и >0 - параметр регуляризации С0 и С1 - заданные неотрицательные числа (С0, >0, С1>0), .
По теореме А. Н. Тихонова, для любого w существует единственная функция , реализующая минимум сглаживающего функционал .
Необходимым условием минимум функционала является равенство нулю его первой вариации , где (, ) - произвольная функция класса С/(D), удовлетворяющая условиями (0, )=0, (2,)=0, (, 0)=0, (, )=0 и - малый параметр.
Выполняя первую вариацию M, получаем уравнения Эйлера для данного функционала и, учитывая, что функция = мы имеем:
(4)
Напишем разностный аналог уравнения (4). Область интегрирования есть прямоугольник R{02, 0} стороны которого параллельны осям координат. Стороны прямоугольника R мы разобьем соответственно на n и m равных частей; в результате получилось относительно крупная сеть nm прямоугольников. Каждый из этих прямоугольников в свою очередь разделим на четыре равные части. Вершины этой мелкой последней сети прямоугольников примем за узлы Мij кубатурной формулы.
Пусть .
Тогда сеть узлов будет иметь следующие координаты: i=0+ih1(0=0, i=0, 1, 2,…,2n) и j=0+jh2 (0=0, j=0, 1, 2,…,2m).
Для сокращения введем обозначение ( i, j)=()ij.
Заменив левую часть уравнения (4) кубатурной формулой Симпсона к каждому из прямоугольников крупной сети, а - соответствующим конечно-разностным отношением получим:
где и ij - коэффициенты формулы Симпсона.
Значение и получаем с помощью метода ячеек. Для этого используем теорему о среднем и получим:
трехмерный обратный потенциал вебер
где - есть точка области D1.
Таким образом, задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными ()ij.
Оценка погрешности
Пусть R является регуляризирующим оператором, который ставят в соответствие элементы w в элемент : =Rw и =Rw..
Поскольку функционал M[, w] достигает минимум на функции =(,), то M[, w] M[, w]. Поэтому A-w2+[ ]A-w2+[].
Так как A=w, w-w получаем
w-w2+[ ]2+[ ] (5)
Следовательно
(6)
Из неравенства треугольника для нормы следует, что
(7)
При =0 из (5) следует, что
w-w2[ ] (8)
Следовательно, последовательность {w} равномерно сходится к {w}, а тем самым {w} равномерно сходится {w} при 0. С другой стороны из (5)
Таким образом, является ограниченным сверху положительной величиной.
Для особых случаев рассмотрим, когда C0=1, C1=1 интегральное уравнение (4) имеет вид
и когда =0:
.
Пусть , где .
Используя формулы (6), (8) имеем:
(9)
где .
Учитывая что, когда C0=1, C1=1 получим:
.
Отсюда (9) имеет вид:
.
Неравенство (9) дает меру влияния погрешности в на решение регуляризации. Пусть - 1, 1 - известный. Учитывая уравнение (4) для особого случая C0=1, C1=1, =0 имеем
.
Берем нормы с обоих сторон, тогда
(10)
С другой стороны
(11)
(11) подставляя на (10), получаем
.
Пусть - 2, 2 - известный.
. (12)
Из неравенства треугольника следует, что --+-, отсюда
(13)
Полученная оценка между регуляризованным и точным решением показывает, что при , 0, .
Литература
Серикбаев А. У. Об устойчивости решении обратной задачи потенциала Вебера// Известия АН РК. Сер.физ.мат., 1992, №5, 41-44 с.
Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. - Москва: Наука, 1986. - 288 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Применение метода дискретной регуляризации Тихонова А.Н. для нахождения решения обратной задачи для однородного бигармонического уравнения в круге. Сведение дифференциальной задачи к интегральному уравнению; корректно и некорректно поставленные задачи.
курсовая работа [280,2 K], добавлен 20.10.2011Понятие обратной матрицы. Пошаговое определение обратной матрицы: проверка существования квадратной и обратной матрицы, расчет определителя и алгебраического дополнения, получение единичной матрицы. Пример расчета обратной матрицы согласно алгоритма.
презентация [54,8 K], добавлен 21.09.2013Описание методов решения системы линейного алгебраического уравнения: обратной матрицы, Якоби, Гаусса-Зейделя. Постановка и решение задачи интерполяции. Подбор полиномиальной зависимости методом наименьших квадратов. Особенности метода релаксации.
лабораторная работа [4,9 M], добавлен 06.12.2011Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Суть задачи коммивояжера, ее применение. Общая характеристика методов ее решения: метод полного перебора, "жадные" методы, генетические алгоритмы и их обобщения. Особенности метода ветвей и границ и определение наиболее оптимального решения задачи.
курсовая работа [393,2 K], добавлен 18.06.2011Задачи и методы линейной алгебры. Свойства определителей и порядок их вычисления. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Разработка вычислительного алгоритма в программе Pascal ABC для вычисления определителей и нахождения обратной матрицы.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 01.02.2013Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Базовые действия над матрицами. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью элементарных преобразований. Понятия обратной и транспонированной матриц. Решение матричных уравнений различных видов: АХ=В, ХА=В, АХВ=С, АХ+ХВ=С, АХ=ХА.
курсовая работа [172,0 K], добавлен 09.09.2013Структура текстовой задачи. Условия и требования задач и отношения между ними. Методы и способы решения задач. Основные этапы решения задач. Поиск и составление плана решения. Осуществление плана решения. Моделирование в процессе решения задачи.
презентация [247,7 K], добавлен 20.02.2015Применение метода дополнительного аргумента к решению характеристической системы. Доказательство существования решения задачи Коши. Постановка задачи численного расчёта. Дискретизация исходной задачи и её решение итерациями. Программа и её описание.
дипломная работа [5,7 M], добавлен 25.05.2014Постановка задачи аппроксимации методом наименьших квадратов, выбор аппроксимирующей функции. Общая методика решения данной задачи. Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом обратной матрицы.
курсовая работа [77,1 K], добавлен 02.06.2011Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Изучение формул Крамера и Гаусса для решения систем уравнений. Использование метода обратной матрицы. Составление уравнения медианы и высоты треугольника. Нахождение пределов выражений и производных заданных функций. Определение экстремумов функции.
контрольная работа [59,1 K], добавлен 15.01.2014Теория задач на отыскание наибольших и наименьших величин. Достаточные условия экстремума. Решение гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенств и неравенств. Конечномерная теорема об обратной функции. Доказательство теоремы Вейштрасса.
курсовая работа [148,9 K], добавлен 19.06.2012Математическое моделирование и особенности задачи распределения. Обоснование и выбор метода решения. Ручное решение задачи (венгерский метод), а также с использованием компьютера. Формулировка полученного результата в сопоставлении с условием задачи.
курсовая работа [383,9 K], добавлен 26.05.2010Система Ляпунова - случай одной степени свободы. Необходимые и достаточные условия существования периодических решений. Применение алгоритма Ляпунова для построения приближенного периодического решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [243,8 K], добавлен 11.05.2012Применение метода инверсии при решении задач на построение в геометрии. Решение задачи Аполлония, лемма об антипараллельных прямых. Инвариантные окружности и сохранение углов при инверсии. Недостатки применения инверсии и работа инверсора Гарта.
дипломная работа [790,0 K], добавлен 30.09.2009Понятие и основные свойства обратной функции. Нахождение функции, обратной данной. Область определения функции. Обратимость монотонной функции. Построение графиков функций и определение их свойств. Симметричность графиков функций относительно прямой у=х.
презентация [98,6 K], добавлен 18.01.2015Слабые асимптотики произведения функций Хевисайда. Решение задачи Коши методом прямого интегрирования. Оценка задачи со ступенчатой функцией в качестве начального условия. Предел на бесконечности, получаемый при неограниченном уменьшении малого параметра.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 23.09.2016Метод Эйлера: сущность и основное содержание, принципы и направления практического применения, определение погрешности. Примеры решения задачи в Excel. Метод разложения решения в степенной ряд. Понятие и погрешность, решение с помощью метода Пикара.
контрольная работа [129,0 K], добавлен 13.03.2012
