Об одной некорректной задаче для параболического уравнения второго порядка
Исследование для параболического уравнения второго порядка (специального вида) краевой задачи, когда каждое равенство граничного условия однородно относительно параметра при замене производных. Последовательность решения некорректных краевых задач.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.02.2019 |
| Размер файла | 48,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
ОБ ОДНОЙ НЕКОРРЕКТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Н.А. Оршубеков
докт.физ.- мат. наук
Казахский Национальный университет
им Аль-Фараби, г. Алматы
В данной работе для параболического уравнения второго порядка (специального вида)
(1)
в области исследуется краевая задача, когда каждое равенство граничного условия однородно относительно параметра при замене производных на и на . Кроме того при этом имеет смысл условия дополнительности.
Задача. Найти решения уравнения (1), удовлетворяющие нулевому начальному условию
(2)
и неоднородному граничному условию
, (3)
где
Решаем задачу по методике из /1/.
1. Применив преобразование Лапласа имеем
, (4)
где - ограниченное общее решение уравнения имеет вид
, (5)
с произвольными величинами .
Задачу (4) приводим к задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка
, (6)
здесь и далее, матрица соответствующая граничному условию;
вектор , такой что ,, .
Найдем собственные значения матрицы : . Далее определим собственный и присоединенный вектора, отвечающие значению .
.
.
Общее ограниченное решение задачи (6) представим в виде
(7)
где , , .
Уточним граничное условие (3), пусть , тогда имеем
. (3')
Нетрудно убедиться, что матрица соответствующая граничным условиям будет иметь вид
.
Теперь согласно (7) из (3') придем к системе линейных алгебраических уравнении
(8)
некорректная задача параболическое уравнение
Распишем систему (8)
.
Очевидно, когда система вырождена и соответствующая задача является некорректной. Данное требование имеет место, если . Не нарушая общности будем считать, что .
Согласно определению нормального решения из [3] находим точное решение системы линейных алгебраических уравнении (8)
Это решение существует, когда выполняется следующее условие разрешимости
(У.Р.)
С помощью найденных величин и восстановим точное решение задачи (4) для ОДУ по формуле (5)
.
2. Теперь займемся обратным преобразованием (У.Р.)
(У.Р.)
где интегрирование степени .
Данное условие можно переписать по другому
где - дифференцирование степени .
Займемся переводом решения. В силу известной формулы для интегральных преобразований свертки двух функций
Воспользуемся формулой обращения из /2/
Тогда, искомое решение рассматриваемой задачи будет иметь вид
.
Литература
Темирболат С.Е. Новый способ решения некорректных краевых задач. // Доклады НАН РК, 2001, №4, с. 11-15.
Бейтмен Г.И., Эрдейн А. Таблица интегральных преобразований. Том 1. - Москва: Наука, 1969. - 344 с.
Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач Москва: - Наука, 1986. - 288 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.
дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.
презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013Приведение к системе уравнений первого порядка. Разностное представление систем дифференциальных уравнений. Сеточные методы для нестационарных задач. Особенность краевых задач второго порядка. Разностные схемы для уравнений в частных производных.
реферат [308,6 K], добавлен 13.08.2009Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.
презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013Метод планирования второго порядка на примере В3-плана. Получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка. Статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика. Расчет коэффициентов регрессии.
курсовая работа [128,4 K], добавлен 18.11.2010Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Теория инвариантов уравнения линии второго порядка от трех переменных, определение канонического уравнения. Общий пример решения задачи на определение вида и расположения поверхности, заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 02.06.2013Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.
курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019Рассмотрение общих сведений обратных задач математической физики. Ознакомление с методами решения граничных обратных задач уравнений параболического типа. Описание численного решения данных задач для линейно упруго-пластического режима фильтрации.
диссертация [2,8 M], добавлен 19.06.2015Арифметическая теория квадратичных форм, их практическое применение в приведении уравнения кривой и поверхности второго порядка к каноническому виду. Самосопряженный оператор, его характеристика, использование и функции. Собственные числа и вектора.
курсовая работа [277,9 K], добавлен 28.11.2012Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014Особенности решения обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями методом конечной разности. Составление трехдиагональной матрицы. Реализация решения в программе Microsoft Office Excel.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 23.12.2013Решение краевой задачи. Методы конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метод прогонки. Приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации, сравнение результов.
курсовая работа [596,2 K], добавлен 27.04.2011Банаховы функциональные пространства. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина. Признаки существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения.
курсовая работа [440,4 K], добавлен 27.05.2015Метод разделения переменных в задаче Штурма-Лиувилля. Единственность решения смешанной краевой задачи, реализуемая методом априорных оценок. Постановка и решение смешанной краевой задачи для нелокального волнового уравнения с дробной производной.
курсовая работа [1003,8 K], добавлен 29.11.2014Уравнения параболического типа. Разностные схемы для уравнения теплопроводности, задача Коши. Явная и неявная разностные схемы. Применение двухслойных разностных шаблонов. Устойчивость двухслойных разностных схем. Решение задач методом прогонки.
лекция [494,0 K], добавлен 28.06.2009Правила вычисления коэффициентов n-образов. Рассмотрение алгоритмов решения линейных ОДУ с переменными коэффициентами второго и произвольного порядков. Общепринятые способы определения частного решения неоднородного дифференциального уравнения.
книга [1,7 M], добавлен 03.10.2011
