Параллельные технологии в реализации методов решения дифференциальных уравнений

Две технологии программной реализации (параллельная, последовательная) алгоритмов приближенных решений краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Сравнение последовательных и параллельных вычислений. Метод Галеркина и конечной разности.

Рубрика Математика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 02.02.2019
Размер файла 197,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статья по теме:

Параллельные технологии в реализации методов решения дифференциальных уравнений

А.А. Акилов Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

Аннотация

В работе рассмотрены две технологии программной реализации (параллельная, последовательная) алгоритмов приближенных решений краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе проводились теоретические и практические исследования методов приближенного решения ДУ, осуществлена программная реализация и проведено сравнение последовательных и параллельных вычислений. Реализованы следующие методы решения: метод Галеркина, метод конечной разности. Проведен анализ быстродействия реализованных методов.

В результате работы были выявлены особенности каждого из способов реализованных методов решения ДУ. Решены тестовые задачи.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод Галеркина, метод конечной разницы, параллельное программирование

Введение

При исследовании многих прикладных и теоретических задач современного естествознания и при инженерных расчетах часто требуется находить решение дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным краевым условиям.

Современная вычислительная техника и накопленный вычислительный опыт позволяют приближенно рассчитывать решения больших и сложных задач для дифференциальных уравнений. Особую важность при численных расчетах имеет гарантированная точность вычисленного решения. Она зависит от характеристик используемой ЭВМ и влияния на решение неизбежных ошибок входных данных и ошибок округления.

Существуют мощные пакеты, позволяющие решать как аналитически, так и численно многие задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Уверенному использованию таких пакетов помогают знания вычислительных методов решения ОДУ и их особенностей. Встречаются также задачи, для которых требуется модифицировать старые или создавать новые методы и алгоритмы.

Постановка задачи.

Для исследования выбраны несколько методов приближенных решений ДУ:

метод конечной разности;

метод Галеркина.

Метод конечной разности численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных.

Практическое применение этого метода было тогда весьма ограничено из-за огромного объема ручных вычислений, связанных с размерностью получаемых.

Основная часть

последовательный вычисление разность метод

Основная идея метода конечных разностей (метода сеток) для приближенного численного решения краевой задачи для двумерного дифференциального уравнения в частных производных состоит в том, что

1) на плоскости в области А, в которой ищется решение, строится сеточная область Аs (рис.1), состоящая из одинаковых ячеек размером s(s- шаг сетки) и являющаяся приближением данной области А;

2) заданное дифференциальное уравнение в частных производных заменяется в узлах сетки Аs соответствующим конечно-разностным уравнением;

3) с учетом граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области Аs.

Рис. 1 - Построение сеточной области

Решая полученную систему конечно-разностных алгебраических уравнений, получим значения искомой функции в узлах сетки Аs, т.е. приближенное численное решение краевой задачи. Выбор сеточной области Аs зависит от конкретной задачи, но всегда надо стремиться к тому, чтобы контур сеточной области Аs наилучшим образом аппроксимировал контур области А.

Метод БубноваГалеркина не относится к вариационным, хотя в некоторых вариантах может интерпретироваться как принцип возможных перемещений. Но этот метод является одним из наиболее часто ис-пользуемых методов расчета в инженерной практике, в частности при расчете пластин.

В методе Галеркина решение граничной задачи аппроксимируется конечной линейной комбинацией базисных функций. Другими словами мы рассматриваем решение как лежащее в некотором бесконечномерном функциональном пространстве и пытаемся построить приближенное решение, которое лежит в конечномерном подпространстве, определяемом конечным набором базисных функций. «Проекция» точного решения на это подпространство и есть приближенное решение. Поэтому метод Галеркина относят к группе «проекционных» метод, поэтому он представляет собой аналитический метод, дающий возможность найти приближенное решение линейной граничной задачи в виде аналитического выражения. Это выгодно отличает метод Галеркина от метода конечной разности (метод сеток), в котором приближенное решение определяется только в заданных узлах.

Данные методы обладают как положительными, так и отрицательными качествами.

Широкое использование и развитие численных методов началось с методов конечных разностей (МКР) (или методов сеток). Этот метод основан на замене дифференциальных операторов в уравнениях конечно-разностными операторами. Путем такой замены дифференциальные уравнения в частных производных преобразуются в систему алгебраических уравнений относительно узловых величин. В случае однородной среды переход к разностным уравнениям осуществляется путем простого применения конечно-разностных операторов. В случае кусочно-неоднородной среды к узлам, принадлежащим поверхностям раздела сред, вместо обычных разностных операторов применяются условия сопряжения, отражающие скачкообразные изменения частных производных. Главным недостатком МКР является трудность в анализе непрямолинейных границ (которые имеют место в пакетах программ специализированного применения) [12].

Помимо конечно-разностных методов решения задач, существуют методы, обладающие свойствами как численных, так и аналитических: методы интегральных уравнений, вариационные и проекционные методы (методы взвешенных невязок и связанные с ними методы конечных (МКЭ) и граничных элементов).

Метод конечных элементов основан на интегральной формулировке граничной задачи [13]. Вместо дифференциальных уравнений с частными производными устанавливаются соответствующие функционалы. Исследуемая область в зависимости от размерности задачи делится на плоские или объемные элементы. Использование метода Рэлея-Ритца позволяет затем получить систему линейных алгебраических уравнений. Поскольку некоторые из выделенных элементов включают границы исследуемой области, полученная система уравнений может быть решена для внутренних точек. Метод конечных элементов имеет некоторое преимущество перед методом конечных разностей в гибкости, так как с его помощью легко учитываются сложные границы.

Таким образом, эти разноплановые методы выбраны для численной реализации решения обыкновенного дифференциального уравнение второго порядка.

Анализ численной реализации методов. Анализируя методы приближенных решений ДУ (метод Галеркина, метод конечной разности), и реализовав программу для решения ДУ этими способами с помощью параллельных вычислений. Результаты программы представлены на рисунке 2 и рисунке 3.

Рис. 2 - Время работы и результат при параллельном вычислении

Таких тестов было проведено 10 для каждого способа программирования, чтобы можно было судить о среднем приросте времени и количестве результата, где среднее время для параллельного способа составило 1.027 сек., что по сравнению с результатом последовательного вычисления на 0,134 секунды (Рисунок 3).

Рис. 3 - Время работы и результат при последовательном вычислении

Как мы видим по двум результатам, наша максимальная погрешность не превышает заданной. Что свидетельствует о том, приближенное значение для данного ДУ найдено верно. Что касается метода Галеркина, то он более громоздкий, но более точный. Для его вычислений и для вывода количества решений с учетом погрешностей, нужно решать систему уравнений, что уже затрудняет хранение информации.

Рис. 4 - Результат работы вычисления методом Галеркина без использования параллельных технологий

Время выполнения работы для данного примера составило 0.00103 секунд, что существенно сказывается на скорости решения данной задачи этим методом Галеркина.

При вычислении той же самой задачи, но уже при помощи параллельных технологий, скорость работы программы возросла примерно в 6 раз, как с параллельными, так и без параллельных технологий, возросли примерно в 9.8 раз, по сравнению с методом конечной разности.

Рис. 5 - Время работы и результат программы при параллельном вычислении

В результате работы программы, листинг которой приведен в, точность была достигнута при количестве базисных функций равным 5, максимальная погрешность 4.7Ч10-6 как видно из рисунка3 или5, при n = 1. Так как максимальная погрешность 4.7Ч10-6меньше нашей точности 10-4, следовательно полученная точность, удовлетворяет заданной.

Выводы

Изучение большого круга задач естествознания, техники и механики, биологии, математики, медицины и других отраслей научных знаний показывает, что решение многих из них сводится к математическому моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости. Так, например, некоторые процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью уравнений, в которых кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержатся производные неизвестных функций или дифференциалы.

Поэтому возможности применения дифференциальных уравнений и их решения, могут быть найдены в любой сфере.

В представленной работе:

- описаны теоретические основы дифференциальных уравнений;

- описаны методы приближенных решений дифференциальных уравнений;

- приведена реализация двух алгоритмов приближенных решений дифференциальных уравнений;

- выявлены положительные и отрицательные стороны исследованных методов приближенных решений;

- сравнительный анализ и эффективность методов.

В результатах работы программы, решения удовлетворяют заданной точности, что свидетельствуют о том, что приближенное значение для данного дифференциального уравнения, рассмотренного в примере, было найдено верно, как для метода конечной разности, так и для метода Галеркина.

Библиографический список

1. Шипачев, В. С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев. - М.: Высшая школа, 2001. - 191 с.

2. Петровский, И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. - М.:МГУ, 1984. - 296 с.

3. Киндерлерер, Д.Введение в вариационные неравенство и их приложения. Пер. с англ./Д. Киндерлерер, Г. М. Стампаккья. - М.: Мир, 1983. - 256 с.

4. Геворкян, П. С. Высшая математика. Интегралы, ряды, ТФКП, дифференциальные уравнения. Часть 2: учеб. пособие / П. С. Геворкян. - М.: Физмалит, 2007. - 272 с.

5. Киреев, В. И. Численные методы в примерах и задачах: учебное пособие. - 3-е изд., стер./ В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. - М.: Высш.шк.,2008. - 479 с.

6. Вержбитский, В. М. Основы численных методов: учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбитский. - М.: Высш. шк., 2002. - 840 с.

7. Демидович, Б. П. Численные методы анализа. /Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова. - М.: Физматлиб, 1983. - 384 с.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши.

    дипломная работа [1,2 M], добавлен 16.12.2008

  • Определение и анализ многошаговых методов, основы их построения, устойчивость и сходимость. Постановка задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса, значение квадратурных коэффициентов. Применение методов прогноза и коррекции.

    контрольная работа [320,8 K], добавлен 13.03.2013

  • Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.

    курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011

  • Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.

    методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010

  • Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные - элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников.

    контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016

  • Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.

    курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010

  • Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений. Основные примеры построения фундаментальных решений линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, метод преобразования Фурье. Преимущества использования методов спуска.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 10.04.2014

  • Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.

    лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012

  • Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.

    дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010

  • Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.

    дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013

  • Система двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, порождённая прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Аналитические свойства решения, наличие у системы четырёхпараметрических семейств решений.

    реферат [104,0 K], добавлен 28.06.2009

  • Математическое объяснение метода Эйлера, исправленный и модифицированный методы. Блок-схемы алгоритмов, описание, текст и результаты работы программы. Решение обыкновенных дифференциальных (нелинейных) уравнений первого порядка с начальными данными.

    курсовая работа [78,1 K], добавлен 12.06.2010

  • Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.

    курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013

  • Существование и единственность решений дифференциальных уравнений. Геометрическая интерпретация решений. Линейные и нелинейные системы. Дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций конкурирующих видов, их решения и фазовые портреты.

    дипломная работа [2,5 M], добавлен 27.06.2012

  • Сущность понятия "дифференциальное уравнение". Главные этапы математического моделирования. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений. Решение задач поиска. Точность маятниковых часов. Решение задачи на определение закона движения шара.

    курсовая работа [918,7 K], добавлен 06.12.2013

  • Приведение к системе уравнений первого порядка. Разностное представление систем дифференциальных уравнений. Сеточные методы для нестационарных задач. Особенность краевых задач второго порядка. Разностные схемы для уравнений в частных производных.

    реферат [308,6 K], добавлен 13.08.2009

  • Представления линейных дифференциальных уравнений как средств математического решения практических задач в естествознании. Простейшая модель однородных популяций на примере определения роста численности карасей. Отлов с постоянной и относительной квотой.

    курсовая работа [413,2 K], добавлен 11.07.2011

  • Общая характеристика параболических дифференциальных уравнений на примере уравнения теплопроводности. Основные определения и конечно-разностные схемы. Решение дифференциальных уравнений параболического типа методом сеток или методом конечных разностей.

    контрольная работа [835,6 K], добавлен 27.04.2011

  • Понятия и термины вариационного исчисления. Понятие функционала, его первой вариации. Задачи, приводящие к экстремуму функционала, условия его минимума. Прямые методы вариационного исчисления. Практическое применение метода Ритца для решения задач.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 08.04.2015

  • Методы оценки погрешности интерполирования. Интерполирование алгебраическими многочленами. Построение алгебраических многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

    лабораторная работа [265,6 K], добавлен 14.08.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.