Элементы дифференциальной геометрии поверхностей

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математический анализ»

Элементы дифференциальной геометрии поверхностей

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ3

Глава I. СВЕДЕНИЯ ИЗ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ5

1.1Криволинейные координаты и радиус вектор, параметризация поверхности5

1.2Длина дуги, первая квадратичная форма7

1.3Вторая квадратичная форма8

1.4Нормальные кривизны, гауссова кривизна11

Глава II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРНЫХ ВЕЛИЧИН ДЛЯ ПРОСТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ13

2.1Сфера13

2.2Цилиндр16

2.3Конус18

Глава III. ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ХАРАКТЕРНЫХ ВЕЛИЧИН ДЛЯ СЛОЖНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ21

3.1Тор21

3.2Геликоид24

ЗАКЛЮЧЕНИЕ27

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ28

ПРИЛОЖЕНИЯ30

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальная геометрия поверхностей - это раздел математики, который изучает поверхности методами дифференциальной геометрии. При этом поверхности, которые исследуются, обычно подчинены условиям, связанным существованием в каждой точке поверхности определенных кривизн, внутренних точек и т.д.

Тема «Элементы дифференциальной геометрии поверхностей» уникальна тем, что в настоящее время поверхности играют особую роль в жизни человека. Большинство окружающих нас предметов можно представить в виде поверхностей. Трудно представить себе область науки или производства, где не используют поверхности. Поверхности используются во многих сферах человеческой деятельности: строительстве, судостроении, ракетостроении и т.д. Сложные поверхности представляют собой арки мостов, корпуса кораблей, крыши зданий. Все вышеперечисленное требует знания различных свойств этих поверхностей, чтобы упростить работу с ними и, например, сделать поверхности более крепкими и устойчивыми. Поэтому изучение элементов теории дифференциальной геометрии поверхности является актуальным для профессиональной подготовки по специальности «прикладная математика и информатика».

Основная цель данной курсовой работы состоит в исследовании некоторых свойств поверхностей средствами дифференциальной геометрии. Объектом курсовой работы являются элементы дифференциальной геометрии поверхностей.

Предмет курсовой работы - параметризация поверхностей с помощью внутренних криволинейных координат, первая и вторая квадратичные формы поверхности, нормальная и Гауссова кривизна.

Для достижения цели курсовой работы были решены следующие задачи: проведены поиск, изучение и систематизация основных теоретических фактов, связанных с дифференциальной геометрией поверхности: параметризация поверхностей с помощью внутренних криволинейных координат, первая и вторая квадратичные формы поверхности, средняя и гауссова кривизна; рассмотрены приложения изученных теоретических фактов к следующим поверхностям: сфера, конус, цилиндр, тор, геликоид.

Данная курсовая работа содержит: введение, три главы, заключение, список использованных источников, три приложения.

Глава I. СВЕДЕНИЯ ИЗ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

1.1 Криволинейные координаты и радиус вектор, параметризация поверхности

Пусть на поверхности задано некоторое семейство линий, зависящих от одного параметра. Семейство называется правильным [5] в некоторой области точек поверхности, если через каждую точку этой области проходит одна и только одна линия семейства.

Если на поверхности заданы два семейства линий, то они образуют сеть в той области, в которой оба семейства правильны, причем в этой области линии различных семейств пересекаются только в одной точке, не совпадают между собою и не касаются друг друга.

Пусть на поверхности задана сеть, удовлетворяющая всем этим условиям (см. рис.1). Линия одного семейства этой сети определяется значением параметра u, а линия другого семейства значением параметра v.

Рисунок 1 - Сеть на поверхности

Положение точки определит задание этих параметров, соответствующих кривым, пересекающимся в точке области. Так как через каждую точку области проходят определенные линии каждого семейства, то всякой фиксированной точке соответствуют определенные значения параметров u и v.

Криволинейные координаты [8] точки - это значения параметров u и v, определяющих кривые сети и пересекающиеся в данной точке поверхности. Эти линии и образованная ими сеть называются координатными линиями и координатной сетью. Вдоль одной координатной линии изменяется только одна криволинейная координата, а другая остается постоянной. На рисунке 2 приведен пример криволинейных координат на поверхности сферы.

Рисунок 2 - Криволинейные координаты сферы

Если на поверхности введены криволинейные координаты, то говорят, что поверхность параметризована. Параметризация является наиболее удобным заданием поверхности. Задать поверхность параметризацией - значит задать поверхность, как график двумерной вектор-функции. Обозначим через радиус-вектор точки на поверхности, он определяется независимыми u, v, функция является функцией двух скалярных аргументов (u,v), т.е. .

Пусть поверхность задана параметрическим уравнением , а принадлежащая ей кривая параметризована [2] с помощью параметра t. Таким образом, криволинейные координаты точек кривой, расположенных на поверхности являются функциями от t, т.е. каждому t соответствует (u,v)

(). Параметризация кривой в трехмерном пространстве будет выглядеть следующим образом:

(1)

Например, поверхности вращения [10] задаются следующим образом: пусть дана кривая, которая задана в плоскости xoz и будет вращаться вокруг оси oz:

(2)

Тогда поверхность будет задана:

(3)

1.2 Длина дуги, первая квадратичная форма

Вычислим длину дуги [3] L, заданной системой (1) на поверхности:

(4)

Здесь скобками обозначено скалярное произведение векторов. Далее для простоты будем записывать , как , а - .

В линейном пространстве квадратичная форма [6] - функция, которая вектору ставит в соответствие число. Предположим, что рассматривается . Тогда квадратичная форма - это функция Q, которую можно представить в следующем виде:

(5)

Также квадратичную форму можно представить в матричном виде:

(6)

Таким образом, смысл E,F,G - получить подкоренное выражение в формуле (4), как матричное выражение:

(7)

где E, F, G - коэффициенты первой квадратичной формы, .

Таким образом, первая квадратичная форма вычисляется по формуле:

(8)

Первая квадратичная форма играет основную роль во всей теории поверхностей. Т.o, если заданы E, F, G, u(t), v(t), то длину дуги можно вычислить даже если уравнение поверхности неизвестно.

1.3 Вторая квадратичная форма

Пусть дана поверхность . Тогда необходимо посмотреть соотношение с нормалью поверхности:

(9)

При этом векторы , вычисляются следующим образом:

(10)

Вторая производная радиус-вектора [4]:

(11)

Введем коэффициенты:

(12)

где - это единичный вектор нормали к поверхности.

Эти коэффициенты показывают, какую часть производных по касательному вектору в соответствующих направлениях составляет нормальная часть векторов.

Рассмотрим скалярное произведение проекции вектора от параметра на нормаль:

(13)

Таким образом, вторая квадратичная форма вычисляется по формуле:

(14)

Пусть у поверхности задана натуральная параметризация, а не произвольная ( - натуральный параметр, например, элемент длины):

по одному из уравнений Френе [9]:

Вторая производная радиус-вектора по натуральному параметру равна произведению кривизны кривой на нормаль к данной кривой.

(15)

где - нормаль к кривой, k - кривизна кривой, точками обозначены соответственно первая и вторая производная по натуральному параметру.

(16)

Вспомним, что

(17)

Подставив формулу (17) в (16), снова переходим к параметру t и, учитывая, что - натуральный параметр длины, переобозначим его на l:

(18)

Раскрывая скалярное произведение и подставляя формулу (15), получим, что произведение кривизны на угол между нормалью кривой и касательной к поверхности равно отношению второй и первой квадратичной форм:

(19)

где k - кривизна в точке поверхности.

1.4 Нормальные кривизны, гауссова кривизна

Для того, чтобы понять кривизну поверхности, наиболее удобным приемом является использование нормальных сечений поверхности. Тогда, нормальные кривизны [7] для нормальных сечений задаются функцией:

.(20)

У функции есть два экстремальных значения:

(21)

где - главные кривизны поверхности в точке.

Перемножив главные кривизны формулы (21), получим гауссову кривизну:

.(22)

Гауссова кривизна имеет несколько замечательных свойств [1]:

Если гауссова кривизна положительная (К>0), то поверхность является двояковыпуклой.

Если гауссова кривизна нулевой кривизны (К=0), то поверхность является цилиндрической или конической.

Если гауссова кривизна отрицательна (К<0), то поверхность является выпукло-вогнутой.

не изменяется при изометрических изгибаниях.

Найдя среднее арифметическое главных кривизн формулы (21), получим среднюю кривизну:

.(23)

Таким образом, основными характерными элементами дифференциальной геометрии поверхностей являются: первая и вторая квадратичные формы поверхности, средняя и гауссова кривизна

Глава II. ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРНЫХ ВЕЛИЧИН ДЛЯ ПРОСТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

2.1 Сфера

Сфера задана вращением окружности радиуса R в плоскости xoz вокруг оси OZ: Реализацию программы построения сферы в криволинейных координатах можно увидеть в приложении А.

Тогда используя формулу (2) и (3) получим параметризацию сферы (см. рис.3):

Рисунок 3 - Криволинейные координаты сферы

Найдем координатные векторы и по формуле (10):

Далее найдем коэффициенты E, F, G первой квадратичной формы:

Таким образом, первая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:

Найдем координатные векторы по формуле (10):

Для нахождения коэффициентов L, M, N второй квадратичной формы необходимо найти единичный вектор нормали :

Найдем коэффициенты L, M, N второй квадратичной формы:

Таким образом, вторая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:

Найдем среднюю кривизну:

Найдем гауссову кривизну:

В данном случае, гауссова кривизна всегда больше 0, поэтому можно сделать вывод по одному из свойств гауссовой кривизны, что поверхность является двояковыпуклой, что является верным утверждением по отношению к сфере.

2.2 Цилиндр

Параметризация (см. рис.4) цилиндра с окружностью радиуса а в основании:Реализацию программы построения цилиндра в криволинейных координатах можно увидеть в приложении B.

Рисунок 4 - Криволинейные координаты цилиндра

Найдем координатные векторы и по формуле (10):

Далее найдем коэффициенты E, F, G первой квадратичной формы:

Таким образом, первая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:

Если выбрать значение а=1, то матрица превратится в единичную. Это указывает на то, что цилиндр можно разрезать и аккуратно разложить на плоскости (длины на цилиндре ведут себя точно также, как на плоскости).

Найдем координатные векторы по формуле (10):

Для нахождения коэффициентов L, M, N второй квадратичной формы необходимо найти единичный вектор нормали :



Найдем коэффициенты L, M, N второй квадратичной формы:

Таким образом, вторая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:

Найдем среднюю кривизну:

Найдем гауссову кривизну:

В данном случае (K=0) можно сделать вывод, что перед нами цилиндрическая поверхность и гауссова кривизна цилиндра всегда равна 0.

2.3 Конус

Параметризация конуса (см. рис.5) выглядит следующим образом: Реализацию программы построения цилиндра в параметрических координатах можно увидеть в приложении C.

Рисунок 5 - Криволинейные координаты конуса

Найдем координатные векторы и по формуле (10):

Далее найдем коэффициенты E, F, G первой квадратичной формы:

Таким образом, первая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:

Найдем координатные векторы по формуле (10):

Для нахождения коэффициентов L, M, N второй квадратичной формы необходимо найти единичный вектор нормали :

Найдем коэффициенты L, M, N второй квадратичной формы:

Таким образом, вторая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:

Найдем среднюю кривизну:

Найдем гауссову кривизну:

Так как перед нами представлен конус, то его гауссова кривизна будет всегда равна 0.

Глава III. ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ХАРАКТЕРНЫХ ВЕЛИЧИН ДЛЯ СЛОЖНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

3.1Тор

Тор - поверхность, которая получается при вращении окружности вокруг оси oz. Тогда используя формулу (2) и (3) получим параметризацию сферы (см. рис.6):

Рисунок 6 - Криволинейные координаты тора

Найдем координатные векторы и по формуле (10):

Далее найдем коэффициенты E, F, G первой квадратичной формы:

Таким образом, первая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:

Найдем координатные векторы по формуле (10):

Для нахождения коэффициентов L, M, N второй квадратичной формы необходимо найти единичный вектор нормали :

Найдем коэффициенты L, M, N второй квадратичной формы:

Таким образом, вторая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:

Найдем гауссову кривизну:

Найдем среднюю кривизну:

Таким образом, если сравнить матрицы первых квадратичных форм тора - и сферы - , можно сделать вывод, что при a=0, матрица тора вырождается в матрицу сферы, т.е. сфера является частным случаем тора.

3.2Геликоид

Геликоид - поверхность, образованная движением прямой, вращающейся вокруг оси и перпендикулярной к ней и одновременно поступательно движущейся в направлении этой оси, причем скорости этих движений пропорциональны. Параметризация Геликоида выглядит следующим образом (см. рис.7):

Рисунок 7 - Криволинейные координаты геликоида

поверхность квадратичный кривизна цилиндр

Найдем координатные векторы и по формуле (10):

Далее найдем коэффициенты E, F, G первой квадратичной формы:

поверхность квадратичный кривизна цилиндр параметризация

Таким образом, первая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:



Найдем координатные векторы по формуле (10):

Для нахождения коэффициентов L, M, N второй квадратичной формы необходимо найти единичный вектор нормали :

Найдем коэффициенты L, M, N второй квадратичной формы:



Таким образом, вторая квадратичная форма будет выглядеть следующим образом:

Найдем среднюю кривизну:

Найдем гауссову кривизну:

В данном случае гауссова кривизна отрицательна (K<0), поэтому поверхность является выпукло-вогнутой, что является верным утверждением по отношению к геликоиду, а средняя кривизна всегда равна 0.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в ходе исследования элементов дифференциальной геометрии поверхностей, были выполнены следующие задачи:

изучены все сведения из предметной области, которые были необходимы для решения задачи;

проведен подробный анализ простых поверхностей - сферы, цилиндра, конуса; и более сложных - тора и геликоида;

проведена параметризация поверхностей с помощью внутренних криволинейных координат, были найдены первая и вторая квадратичные формы поверхности, средняя и Гауссова кривизна;

выявлено, что матрицы первой квадратичной формы сложных и простых поверхностей отличаются только элементами на главной диагонали матрицы, а элементы на побочной диагонали всех поверхностей - равны 0;

подтверждены свойства гауссовой кривизны на конкретных примерах;

найдена связь между сложной поверхности - тора, и простой поверхности - сферы, при помощи первой квадратичной формы;

при работе со всеми формулами использовался математический редактор формул MathType 6;

разработана программа визуализации поверхностей заданных параметрически, с помощью математической программы MATLAB [11].

Таким образом, цель данной курсовой работы была достигнута. В процессе изучения был получен опыт исследования некоторых характерных величин для поверхностей средствами дифференциальной геометрии.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Абрамов, А.В. Исследование свойств кривизны кривых и поверхностей в процессе изучения дифференциальной геометрии [Текст]: статья в сборнике трудов конференции - Н: Нижневартовский государственный университет, 2016. - 144-147 с.

Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа [Текст]: учебник для вузов / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. - 12-е изд. - СПб.: Лань, 2005. - 735 с.

Готман, А.Ш. Дифференциальная геометрия и её использование в проектировании обводов судов [Текст]: учебное пособие для вузов / А.Ш. Готман - Новосибирск: Новосиб. гос. акад. вод. трансп., 2011. - 44 с.

Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики [Текст]: учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. - М.: АСТ: Астрель, 2005. - 654 с.

Игнатьев, Ю.Г. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей в евклидовом пространстве [Текст]: учебное пособие для вузов. - Казань: Казанский университет, 2013. - 204 с

Лобкова Н.И. Высшая математика. Том 1 [Текст]: учебное пособие. - СПбГПУ: Издательство «Просвет», 2014. - 582 с.

Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов: Учеб. пособие для вузов [Текст] / Н.С. Пискунов. - 13-е изд. -М.: Наука, 1985. - 560 с.

Письменный, Д.Т. Конспект лекций по вышей математике: полный курс [Текст]: учеб. пособие для вузов / Д.Т. Письменный. - 4-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2006. - 608 с.

Топоногов, В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей [Текст]: учебное пособие для вузов/ В.А. Топоногов. - М.: Физматкнига, 2012. - 223 с.

Хорькова, Н.Г. Элементы дифференциальной геометрии и топологии поверхности в пространстве [Текст]: учеб. пособие для вузов / Н.Г. Хорькова. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017. - 100 с.

MATLAB.Exponenta [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://matlab.exponenta.ru/gui/book1/new7_3.php (Дата обращения: 05.05.18).

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Листинг функции параметризации сферы

Рисунок А - параметризация сферы

clear ALL

clc;

a=1;

u=(0:0.05*pi:2*pi)';

v=[0:0.05*pi:2*pi];

X=a*cos(u)*cos(v);

Y=a*cos(u)*sin(v);

Z=a*sin(u)*ones(size(v));

figure('Color','w')

hS=mesh(X,Y,Z);

xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');

ПРИЛОЖЕНИЕ B

Листинг функции параметризации цилиндра

Рисунок В - параметризация цилиндра

clear ALL

clc;

a=3;

v=(-2:0.5:2)';

u=[0:0.05*pi:2*pi];

X=a*ones(size(v))*cos(u);

Y=a*ones(size(v))*sin(u);

Z=v*ones(size(u));

figure('Color','w')

hS=mesh(X,Y,Z);

xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');

ПРИЛОЖЕНИЕ C

Листинг функции параметризации конуса

Рисунок С - параметризация конуса

clear ALL

clc;

a=1;

u=(-2:1:0)';

v=[0:0.05*pi:2*pi];

X=u*cos(v);

Y=u*sin(v);

Z=u*ones(size(v));

figure('Color','w')

hS=mesh(X,Y,Z);

xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');

Размещено на Allbest.ru

...