Исследование графического метода решения трансцендентных уравнений
Общая характеристика основных функций уравнения. Знакомство с графическим методом решения трансцендентных уравнений, анализ особенностей. График функции как множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.02.2019 |
| Размер файла | 1,0 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Исследование графического метода решения трансцендентных уравнений
Цель работы заключается в исследовании графического метода решения трансцендентных уравнений.
Трансцендентным уравнением называется уравнение f(x)=0, не являющееся алгебраическим. Как правило, это уравнение содержит показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции. Можно сформулировать более строгое определение. Трансцендентное уравнение - это уравнение вида m(x) = k(x), где функции m и k являются аналитическими функциями от некоторого независимого аргумента x, и только одна из них возможно является алгебраической.
Задача нахождения корней трансцендентных уравнений вида f(x)=0 встречается в различных областях научных исследований. Как известно, не всякое уравнение может быть решено точно. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Однако точное решение уравнения не всегда является необходимым. Задачу отыскания корней уравнения можно считать практически решенной, если мы сумеем найти корни уравнения с заданной степенью точности. Для этого используются численные методы решения уравнений.
Пусть дано уравнение f(x)=0, где функция f(x) определена и непрерывна в конечном или бесконечном интервале a < x < b. Нахождение корней с заданной точностью необходимо проводить в два этапа:
1) отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых промежутков, в которых содержится один и только один корень данного уравнения;
2) уточнение приближенных корней, т.е. нахождение корней с заданной точностью [4, с. 34].
Процесс отделения корней можно проводить различными методами. Широко используются графический и аналитический методы. Они базируются на свойствах гладкости функции.
График функции - это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты - соответствующим значениям функции. Уравнение - выражение, содержащее неизвестную переменную. Решить уравнение - это значит найти все его корни, или доказать, что их нет. Решение уравнений графическим методом позволяет определить количество корней уравнения, а также найти точное или приближенное значение корней.
Графический метод основан на построении графика функции y = f(x). Если построить график данной функции, то искомым отрезком [a;b], содержащим корень уравнения f(x)=0, будет отрезок оси абсцисс, содержащий точку пересечения графика функции с этой осью. На присутствие корня уравнение f(x)=0 на отрезке [a;b] указывает различие знаков функции на концах отрезка. Разновидность применения графического метода локализации корней: уравнение f(x)=0 представляют в виде f1(x)=f2(x), где функции y1=f1(x), y2=f2(x) таковы, что можно без особого труда построить их графики. Тогда абсциссы точек пересечения этих графиков и будут точными корнями исходного уравнения [2, с. 43].
Вычислим с точностью до 0,001 корень трансцендентного уравнения cos7x + x2 - 3 = 0, принадлежащий отрезку [0; 10].
Шаг 1. Для отделения корня графическим методом строим график функции по таблице значений функции, где аргумент изменяется с фиксированным шагом. Визуально определяем точку пересечения графика с осью OX. На выделенном отрезке функция меняет отрицательный знак на положительный.
Построим таблицу значений функции у=cos7x+x2-3 на отрезке [0; 10] с шагом изменения аргумента h=1 (рис. 1).
Рис. 1. Таблица значений функции на [0; 10] с h=1 и график функции
На графике функции на рис. 1 мы видим, что на отрезке от 1 до 2 уравнение у=cos7x+x2-3 имеет 1 корень.
Шаг 2. Проделаем те же действия с функцией у=cos7x+x2-3, только уже на уточненном отрезке [1; 2] (рис. 2).
Рис. 2. Таблица значений функции на [1; 2] с h=0,1 и график функции
Функция меняет знак на отрезке от 1,6 до 1,7. На данном этапе точность наших вычислений равна 0,1. Т.к. нам нужна уточнить значение до тысячных, то продолжаем отделять корень.
Шаг 3. Рассмотрим, как поведет себя наша функция на отрезке [1,6; 1,7] (рис. 3).
Рис. 3. Таблица значений функции на [1,6; 1,7] с h=0,01 и график функции
уравнение графический трансцендентный
Проделав шаг 3, получаем уточненный отрезок локализации корня, т.е. отрезок [1,62; 1,63].
Шаг 4. Аналогично проведем отделение корня на отрезке от 1,62 до 1,63.
Рис. 4. Таблица значений функции на [1,62; 1,63] с h=0,001 и график функции
Получаем корень, который находится на отрезке 1,623 до 1,624. Длина данного интервала 0,001 и любое число из этого интервала можно принять за приближенное значение корня с погрешностью 0,001 (например, середину отрезка). По графику видно, что данный корень ближе к правому концу найденного интервала, поэтому уравнение cos7x + x2 - 3 = 0 имеет на отрезке [0; 10] корень x ? 1,624.
Мы исследовали графический метод решения трансцендентных уравнений. Преимущества данного метода заключаются в том, что он очень удобен, нагляден и легок в понимании. Недостатком является его длительная пошаговая трудоемкость, если нужно отделить и уточнить корни с достаточно большой степенью точности.
Список литературы
уравнение графический трансцендентный
1.Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. материалы: Кн. Для учащихся. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.
2.Пантина И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс]: учебник / И. В. Пантина, А. В. Синчуков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: МФПУ Синергия, 2012. - 176 с. - Режим доступа:
http://znanium.com/catalog/product/451160 (дата обращения 11.12.2018)
3.Численные методы и программирование: Учебное пособие / В.Д. Колдаев; под ред. Л.Г. Гагариной. - М.: ИД ФОРУМ: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 336 с.
4.Шевченко А.С. Лабораторный практикум по численным методам: Практикум / - М.:НИЦ ИНФРА-М, 2018. - 199 с.: 60x90 1/16. - (Высшее образование) [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/966104 (дата обращения 10.12.2018).
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
График функции как множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции. Исследование графиков функций и графическое решение уравнений, их разновидности и особенности.
контрольная работа [15,5 K], добавлен 10.11.2010Трансцендентное уравнение: понятие и характеристика. Метод половинного деления (дихотомии), его сущность. Применение метода простой итерации для решения уравнения. Геометрический смысл метода Ньютона. Уравнение хорды и касательной, проходящей через точку.
курсовая работа [515,8 K], добавлен 28.06.2013Методика отделения корней от заданных уравнений графическим методом и табулированием, а также половинным делением. Содержание, а также оценка преимуществ и недостатков использования метода итерации и касательных, условия их практического применения.
лабораторная работа [284,8 K], добавлен 24.09.2014Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010Анализ особенностей разработки вычислительной программы. Общая характеристика метода простых итераций. Знакомство с основными способами решения нелинейного алгебраического уравнения. Рассмотрение этапов решения уравнения методом половинного деления.
лабораторная работа [463,7 K], добавлен 28.06.2013Содержание понятия, исследование свойств и применение различных методов решения функциональных уравнений. Порядок решения функциональных уравнений Коши на множестве Q рациональных чисел, на оси R, полуоси R. Измеримые функции и гиперболические косинусы.
дипломная работа [211,8 K], добавлен 01.10.2011Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур.
курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011Изучение способов приближенного решения уравнений с помощью графического изображения функций. Исследование метода определения действительных корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки для приведенных семи уравнений, построение их графиков.
творческая работа [12,5 M], добавлен 04.09.2010Разложение многочлена на множители. Область допустимых значений уравнения как множество всех действительных чисел. Утверждения, полезные при решении уравнений. Примеры упражнений, связанных с понятием обратной функции, нестандартные методы решения.
контрольная работа [47,7 K], добавлен 22.12.2011Вычисление приближенных величин и погрешностей. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений, интерполяция функций и методы численного интегрирования. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических функциональных зависимостей.
курсовая работа [378,5 K], добавлен 08.01.2013Выведение формулы решения квадратного уравнения в истории математики. Сравнительный анализ технологий различных способов решения уравнений второй степени, примеры их применения. Краткая теория решения квадратных уравнений, составление задачника.
реферат [7,5 M], добавлен 18.12.2012Основные понятия теории погрешностей. Приближенное решение некоторых алгебраических трансцендентных уравнений. Приближенное решение систем линейных уравнений. Интерполирование функций и вычисление определенных интегралов, дифференциальных уравнений.
методичка [899,4 K], добавлен 01.12.2009Гиперкомплексные числа: общее понятие и основные свойства. Нахождение корней трансцендентного уравнения в комплексных числах на примере уравнения классической задачи теории флаттера в математическом виде. Программная реализация решения в среде Maple.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 28.06.2013Исследование сущности и сфер применения метода итераций. Нелинейные уравнения. Разработка вычислительный алгоритм метода итераций. Геометрический смысл. Составление программы решения систем нелинейных уравнений методом итераций в среде Turbo Pascal.
реферат [183,7 K], добавлен 11.04.2014Характеристика видов математических уравнений - алгебраических и трансцендентных, их сравнение и отличительные особенности. Возможности метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений, применение в стандартных и нестандартных ситуациях.
контрольная работа [246,3 K], добавлен 21.09.2010Общая характеристика параболических дифференциальных уравнений на примере уравнения теплопроводности. Основные определения и конечно-разностные схемы. Решение дифференциальных уравнений параболического типа методом сеток или методом конечных разностей.
контрольная работа [835,6 K], добавлен 27.04.2011Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.
контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010Уравнения, системы линейных, квадратных и третьей степени уравнений. Уравнения высших степеней сводящиеся к квадратным. Системы уравнений, три переменные. График квадратичной функции, пределы, производные. Интегральное счисление и примеры решения задач.
шпаргалка [129,6 K], добавлен 22.06.2008
