Размещено на http://www.allbest.ru/

2

НЕРАВЕНСТВА И ОЦЕНКА В ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧАХ

Голицева Д.С.,

Суханова Н.В.



Одним из главных вопросов в математике является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач. Задачи являются материалом для ознакомления учащихся с новыми понятиями, для развития логического мышления, формирования межпредметных связей. Задачи позволяют применять знания, полученные при изучении математики, при решении вопросов, которые возникают в жизни человека. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности обучающихся [5, С. 112].

Умение решать текстовые задачи свидетельствует об одной из самых важных способностей человека - способности понимать текст. Критерием понимания задачи является факт решения задачи. Поэтому решение текстовых задач - это деятельность, весьма важная для общего развития. Обучая решать текстовые задачи, мы приучаем ориентироваться в ситуациях, делаем человека более компетентным. Конечно, для этого нужно резко расширить тематику задач, давать детям задачи, разнообразные по тематике, а не только «на скорость», «на работу», «на покупки» [9, С. 57].

Решение текстовых задач способствует, с одной стороны, закреплению на практике приобретённых умений и навыков, с другой стороны, развитию логического мышления учащихся.

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач. [12, С. 15].

Наблюдается активизация их мыслительной деятельности работы. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, развивается абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач [12, С. 17].

Рукописи XVI - XVII веков послужили основой для создания учебной литературы XVIII века. Многие задачи перешли в учебники по арифметики и алгебре в XVIII век из старых рукописей, некоторые задачи сохранились до наших дней [21, С. 134].

Немаловажную роль играло приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов.

Подтверждением тому служит фрагмент из книги И. Бёшенштейна (1514 г.), в котором сначала дается «определение» тройного правила, формулируется правило, потом приводится задача и рецепт ее решения по правилу. [21, С. 141].

Это была обычная практика. По-другому в те времена учить не умели. Не случайно в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого (1703 г.), вобравшей в себя переводы лучших иностранных авторов того времени, мы находим аналогично построенный учебный текст. Обучение «по правилам» было обычным и для России.

В 1923 г. В. Беллюстин описывал старинную практику обучения решению текстовых задач.

К середине XX века в СССР сложилась развитая типология задач. В процессе обучения решению текстовых задач школьников учили способами действий, которые не применяются или почти не применяются в жизни. [21, С. 147].

На сегодняшний день данный тип текстовых задач применяется при ОГЭ и ЕГЭ, а большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения таких задач. Поэтому данная тема имеет важнейшее значение в обучении математике.

Объект исследования: текстовые задачи в курсе элементарной математики. Предмет исследования: методы и приёмы решения задач с неравенствами и оценкой.

Цель: систематизация теоретического материала по теме «Неравенства и оценка в текстовых задачах» и его применение к решению задач.

Задачи:

1. рассмотреть основные определения и теоремы по данной теме;

2. изложить основные методы и приемы решений задач на неравенства и оценку, подобрать примеры задач, продемонстрировать применение основных методов и приемов решений;

3. рассмотреть примеры задач, используя изложенный материал.

Работа состоит из введения, двух частей и заключения. Список использованной литературы включает 25 наименований.

Теоретические часть

Основные понятия и определения

Текстовая задача - описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий [2, С. 7].

Математическая задача - это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии [16, С. 66].

Требования задачи - это указание того, что нужно найти [19, С. 80].

Неравенство - это выражение вида a<b, b>a, a?b, a?b, где a и b могут быть числами (числовыми выражениями) или функциями [15, С. 59].

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство [17, С. 287].

Оценка неравенства - это оценка положения неравенства, при определенных условиях [15, С. 62].

Классификация и методы решения задач

Различают два вида неравенств: числовые и неравенства с переменными.

Математик Жерофски говорил: «Утверждение, что текстовые задачи дают практику в решении проблем реальной жизни, малоубедительны, поскольку истории эти гипотетичны, практической ценности не представляют и, в отличии от реальных ситуаций, дополнительную информацию привлечь нельзя. Тем не менее, они имеют долгую и непрерывную традицию в математическом образовании и эта традиция значима [1, С.56].

Основными методами решения задач являются арифметический и алгебраический.

Решение любой задачи - процесс сложной умственной деятельности. Чтобы овладеть им. Нужно знать основные этапы решения задачи и некоторые приемы их выполнения [8, С. 213].

Основные этапы для решения задачи:

1. Восприятие и анализ содержания задачи.

2. Поиск и составление плана решения задачи.

3. Выполнение плана решения. Формулировки вывода о выполнении требования задачи (ответа на вопрос задачи).

4. Проверка решения и устранение ошибок, если они есть. Формулировка окончательного вывода о выполнении требования задачи или ответа на вопрос задачи [4, С. 49].

Задачи на составление неравенств занимают важное место в курсе математики. Решение их способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, развивает умение самостоятельно осуществлять небольшие исследования.

Задачи, связанные с неравенствами, бывают двух видов:

- задачи на сравнение двух выражений;

- задачи, которые решаются с помощью неравенств, систем неравенств. Оценка одной из частей неравенств может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственным видом этой части; тогда следует получать противоположную оценку для другой части неравенства, используя базовые неравенства.

Оценка позволяет определить единственное значение, при котором истинное равенство обеих частей неравенства возможно, выбрать наиболее простую часть неравенства приравнять её найденному числу и решить стандартным способом [10, С. 17].

Для оценки чисел в неравенствах используются различные свойства числовых неравенств. Обычно в таких заданиях даются одно или несколько исходных неравенств, в которых присутствуют переменные[10, С. 21].

Практическая часть

Рассмотренные нами теоретические аспекты текстовых задач с неравенствами и оценкой применяются в школьном курсе математики. Существует разные типы решения данных задач. Рассмотрим некоторые варианты.

Неравенства первой степени с одним неизвестным

Неравенство вида ax+b<0 (знак также может быть >, ? или ?), где a и b - действительные числа, называется неравенством первой степени с одним неизвестным x.

Основной способ решения неравенств 1-й степени с одним неизвестным сводится к преобразованию данного неравенства к виду x<c (знак также может быть >, ? или ?), где некоторое число c и является искомым решением [18].

Задача 1.

От деревни до железнодорожной станции 20 км. Поезд уходит со станции в 11 часов. В каком часу человеку, живущему в деревне, надо выйти из дома, чтобы успеть на поезд, если он будет идти со скоростью 5 км/ч?

Решение. Если пешеход выйдет из дома в х ч. Утра, то до 11 ч. он шёл бы (11 - х) ч. За это время он прошёл бы 5(11 - х) км. Чтобы он успел на поезд, надо, чтобы это расстояние было не меньше 20 км, т. е. должно выполняться неравенство 5(11 - х) > 20. Рассуждаем так. Найдём, в каком часу человек должен выйти, чтобы в точности успеть на поезд. Для этого должно выполняться равенство 5(11 - х) = 20. Решая это уравнение, получаем (11 - х) = 4 и потому х = 7. Значит, выйдя из дома в 7 часов утра, пешеход успеет на поезд. Тем более он успеет на него, выйдя из дома ещё раньше. А если он выйдет из дома позднее, то опоздает на поезд. Значит, чтобы успеть на поезд нужно выйти не позднее чем в 7 часов утра. На языке математики это значит, что решение неравенства 5(11 - х) > 20 имеет вид х < 7.

Ответ: в 7 часов утра [6, С. 8].

Задача 2.

В одном бассейне налито 100 литров воды, а во втором - 150 литров воды. Каждый час в первый бассейн вливается 15 литров воды, а во второй - 5 литров. В какие моменты времени в первом бассейне будет больше воды, чем во втором?

Решение: За х часов в первый бассейн вольётся 15х л. воды и в нём станет (100 + 15х) л. воды. Так же находим, что через х ч. во втором бассейне будет (150 + 5х)л. воды. Надо найти такие значения х, для которого выполняется неравенство (100 + 15х) > (150 + 5х), т.е. решить неравенство с переменной х. Это неравенство решается так (15х - 5х) > (150 - 100), Т.е. 10х > 50. Но если 10х > 50, то х > 5. Итак в первом бассейне окажется больше воды, чем во втором, при х > 5, т.е. после 5 ч. с начала вливания воды.

Ответ: после 5 ч. с начала вливания воды [7 С. 148].

Системы неравенств с одним неизвестным

Система неравенств с одним неизвестным - это совокупность двух или большего числа неравенств, которые содержат одну и ту же неизвестную величину.

Для решения системы неравенств необходимо отыскать все значения неизвестной величины, для которых будет правильным каждое из неравенств системы. С этой целью необходимо отдельно найти все возможные решения каждого из неравенств системы, а после отыскать общее решение, которое состоит из общей части всех найденных решений, т. е. все значения, входящие в каждое из этих решений. При решении любого вида системы из двух неравенств с одним неизвестным каждое неравенство сводится к виду xc (переменная переносится в левую часть неравенства, а свободный член - в правую). Результатом такого преобразования является получение простейших систем [18].

Задача 1.

Человек выехал в 6 ч. утра на автомашине из города А в город В, через город С. В городе С он должен взять по дороге пакет, привезённый на поезде, проходящем через город С в 10 ч, и отвезти его в город В, чтобы успеть на поезд, отходящий в 17 часов. С какой скоростью он должен ехать, если расстояние от А до С равно 400 КМ., а от С до В - 480 км?

Решение. Т.к. в город С автомобилист должен приехать не ранее 10 часов (до этого времени пакет ещё не привезён в С), а 10 - 6 = 4, то скорость х км/ч должна быть такой, что 4х < 400. С другой стороны, за 17 - 6 = 11 ч, он должен приехать в В, т.е. покрыть путь в 400 + 480 = 880 (км). Поэтому должно выполняться неравенство 11х > 880. Итак надо найти значение х, для которого выполняются оба неравенства 4х < 400 и 11х > 880. Эту задачу записывают в виде системы неравенств:

Из первого неравенства находим, что х < 100, а из второго, что х > 80. Значит, должно выполнятся двойное неравенство 80 < х < 100.

Ответ: 80 < х < 100, т.е. х принадлежит отрезку [80;100] [13, С. 7].

Задача 2.

Производительность первого автомобильного завода не превышает 950 машин в сутки. Производительность второго завода первоначально составляла 95% от производительности первого завода. После ввода дополнительной линии второй завод увеличил производство машин в сутки на 23% от числа машин, выпускаемых в сутки на первом заводе, и стал их выпускать более 1000 штук в сутки. Сколько автомобилей за сутки выпускал каждый завод до реконструкции второго завода? Предполагается, что каждый завод в сутки выпускает целое число машин.

Решение: Обозначим через х количество машин, производимых в сутки первым заводом. Тогда второй завод до реконструкции производил в сутки машин, а после ввода дополнительной линии стал выпускать машин. Из условия задачи следует система неравенств:



Множество решений этой системы есть промежуток , т. к. числа и должны быть целыми, то х должно делиться на 100 и быть из указанного промежутка, поэтому х= 900. Следовательно I завод выпускает в сутки 900 автомобилей, а II завод до реконструкции выпускал автомобилей.

Ответ: 900 и 885 [11, С. 319].

Задача 3.

Партию деталей решили поровну разложить по ящикам, сначала в каждый ящик положили по 12 деталей, но при этом осталась одна деталь. Тогда из одного ящика вынули все детали, и в оставшиеся ящики удалось разложить все детали поровну. Сколько деталей было в партии, если в каждый ящик помещается не более 20 деталей.

Решение. Пусть n - число ящиков, в каждый из которых первоначально положили по 12 деталей. Тогда общее число деталей равно (12n + 1). Так как из одного ящика все детали изъяли, а затем поровну разложили их в оставшиеся (n - 1) ящики, то в каждый ящик было положено (12n + 1) / (n - 1) деталей. Отношение (12n + 1) / (n - 1) должно удовлетворять двум условиям:

1) оно должно быть целым положительным числом,

2) оно не должно превосходить 20.

Поскольку , последнее выражение может быть натуральным при n = 2 и n = 14.Но при , и это значение не является подходящим. При n = 14 условия 1) и 2) выполняются. Таким образом, в партии было 12·14 + 1 = 169 деталей.

Ответ: 169 [14 С. 49].



Неравенства и системы неравенств с двумя неизвестными

Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f (x; y)>0, где f-функция двух переменных х и у.

Если мы рассмотрим уравнение f (x; y)=0, то множество точек (х, у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению, образует, как правило, некоторую кривую, которая разобьет плоскость на две или несколько областей. В каждой из этих областей функция f сохраняет знак.

Остаётся выбрать те из них, в которых f (x; y)>0 [18].

Задача 1.

Цена 1 м сатина 2000р., а цена 1 м капрона 4000 р. Сколько метров сатина и сколько метров капрона можно купить, чтобы общая цена покупки была не более 20000 рублей?

Решение. Обозначим число метров сатина через х, а число метров капрона через у, тогда общая стоимость покупки равна (2000х + 4000у) рублей. По условию задачи должно выполняться неравенство 2000х + 4000у = 20000. При этом числа х и у должны быть неотрицательными. Обе части данного неравенства можно разделить на 2000. Таким образом, чтобы решить задачу, нужно сначала решить неравенство х + 2у < 10, а потом отобрать из этих решений неотрицательное. Неравенство х + 2у < 10 имеет бесконечно много решение. Например, можно взять х = 0, у = 0, или х = 1, у = 2, или х = 5, у = 2 и, конечно, х = 6, у = -9. При всех этих значениях х и у выполняется неравенство х +2у < 10.

Итак, из неравенства двумя неизвестными (как и из одного уравнения с двумя неизвестными) нельзя найти значения этих неизвестных. Можно только дать наглядное представление о совокупности всех решений этого неравенства. С этой целью заметим, что неравенства х + 2у <10 имеет те же решения, что и неравенство у < 5 - 0, 5х (перенесли х в правую часть с переменной знака и разделили обе части неравенства на 2). Уравнение у = 5 - 0, 5х задаёт прямую АВ (рис. 1). Выше этой прямой выполняется неравенство у < 5 - 0, 5х, поэтому нестрогое неравенство у < 5 - 0, 5х изображается множеством, состоящим из всех точек прямой АВ и всех точек, лежащих ниже этой прямой. Это множество на рисунке 1 заштриховано. Мы отмечали, что числа х и у должны быть неотрицательными. Но неотрицательные координаты имеют точки первой четверти, поэтому решение задач изображается найденного множества и первой четверти, т.е. треугольником АОВ (рис. 2). Вообще, чтобы изобразить наглядно решение какого-нибудь неравенства знаком равенства и начертить линию, имеющую полученное уравнение. Эта линия делит плоскость. С каждой части следует выбрать пробную точку и подставить её координаты в неравенство. Если получится верное числовое неравенство, то вся часть, содержащая данную точку, принадлежит решению (граница части - лишь в случае, когда неравенство нестрогое!). Объединяя все такие части, получаем наглядное изображение решения неравенства.

Ответ: 5 и 2 [23 С. 115].

Задача 2.

Найдите все двузначные числа, удовлетворяющие следующим условиям: сумма цифр числа не менее 7; сумма квадратов цифр не более 30; число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, по крайней мере, вдвое меньше данного.

Решение. Запишем искомое число в виде 10х + у, где х - цифра в разряде десятков, у - цифра в разряде единиц. По условию задачи



х + y > 7, (1)

х² + у² < 30, (2)

10х + y > 2(10у + х). или 8х > 19у. (3)

Из (3) следует, что у может принимать значения 0, 1, 2, 3 (так как х < 9).Если у = 0, то из (1) следует, что х > 7. Эти числа не удовлетворяют неравенству (2). Если у = l, то из (1) следует, что х > 6. Эти числа не удовлетворяют неравенству (2). Если у = 2, то х > 5. Числа х = 5, у = 2 удовлетворяют всем неравенствам. При у = 2, х > 5 неравенство (2) не выполняется. Пусть у = 3. Из (3) следует х > 8, такие числа не удовлетворяют неравенству (2). Таким образом, больше решений нет.

Ответ: 52 [25, С. 262].

Задача 3.

В двух ящиках находится более 29 одинаковых деталей. Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в три раза превышает число деталей во втором ящике. Утроенное число деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во втором ящике менее чем на 60.

Сколько деталей в каждом ящике?

Решение: Обозначим через х число деталей в первом ящике, а через у число деталей во втором ящике. Тогда согласно условию имеет место система неравенств:

Перепишем эту систему в виде



Отсюда следуют, справедливые неравенства:

Неравенство (2) можно переписать в виде , а неравенство (3) в виде

Т. к. и у - натуральное число, то у может быть равен либо 6, либо 7.

Если у равен 6, то система неравенств (1) перепишется в виде

Ясно, что нет натуральных чисел х, удовлетворяющих ей. Пусть у = 7, тогда система (1) примет вид:

Откуда следует, что существует единственное натуральное число х = 24, удовлетворяющее ей. Следовательно, в первом ящике 24 детали, а во втором ящике 7 деталей.

Ответ: в I ящике 24 детали, а во II - 7 деталей [6, С. 9].

Задача 4.

Пункты А и В расположены на одному реке так, что плот плывущий от А до В со скоростью течения реки, проходит путь от А до В за 24 часа. Весь путь от А до В и обратно катер проходит не менее чем за 10 часов. Если бы собственная скорость (скорость в стоячей воде) катера увеличилась на 40 %, то тот же путь (от А до В и обратно) занял у катера не более 7 часов. Найдите время, за которое катер проходит путь из В в А, когда его собственная скорость не увеличена.

Решение. Пусть s - расстояние между пунктами А и В, u - собственная скорость катера, v - скорость течения. Имеем следующую систему уравнений и неравенств:

Надо определить и полагая (по смыслу задачи, х > 1), преобразуем неравенства:

Так как и х > 1, то после преобразования получим систему неравенств, эквивалентную исходной: 5х² - 24х - 5 < 0, 1, 96х² - 9, 6х - 1 > 0. Эта система совместна при х = 5. Далее, получаем:

Ответ: 6 [11, С. 378].

Общие задачи

Задача 1.

Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 тонн, но один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью 60 тонн, однако понадобилось на восемь вагонов больше, и при этом всё равно один вагон остался не полностью загруженным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось ещё на пять вагонов больше, при этом все такие вагоны были загружены полностью. Сколько тонн груза было?

Решение. Обозначим через n количество вагонов вместимостью 50 тонн, в которые был загружен весь груз, тогда вес груза = 50п тонн. Вагонов вместимостью 60 тонн было использовано (n - 5). Так как в них был помещён весь груз и один вагон оказался не полностью загруженным, то 60 * (п - 5) > 50п и 60 · (п - 6) < 50п. Из этих неравенств следует, что 300 < 10п< 360 или 30 < n < 36. Поскольку n - целое число, то 31 < n < 35. Вагонов вместимостью 80 тонн при погрузке было использовано(n - 13). Подобно предыдущему получаем, что 80 · (п - 13) > 50п и 80 * (п - 14) < 50n или . Так как , а n - целое число, то 35 < n < 37. Из 31 < n < 35 и 35 < n < 37 следует, что n = 35. Значит, вес груза = 50 * 35 = 1750 тонн.

Ответ: 1750 тонн [20, С. 228].

Задача 2.

В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших успеваемость во II полугодии, заключён в пределах от 2, 9% до 3, 1%. Определить минимальное число учеников в таком классе.

Решение. Пусть n - число учеников в таком классе, о котором сообщают в газете, m - число учеников этого класса, повысивших успеваемость, тогда

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

про цент учеников, повысивших успеваемость, равен

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

100. По условию задачи

(1)

Из равенства (1) следует, что т m =/= 0 (т.е. m > 1) и. Поскольку очевидно, что , то n > 33. Итак, в классе о котором сообщается в газете, учеников не меньше, чем 33. Теперь надо выяснить, какое минимальное количество учеников всё-таки может быть в классе. Легко видеть, что если в классе будет 33 ученика и один из них повысит успеваемость, т.е. если n = 33 и m = 1, то такая пара чисел удовлетворяет неравенство (1). Значит, в классе, о котором сообщается в газете, минимально возможное число учеников 33.

Ответ: 33 учеников [20, С. 65].

Задача 3.

Все коробки какие есть на базе, имеют одинаковые площади оснований. Грузчики хотят поместить в один контейнер с той же площадью основания 20 коробок. Какой высоты должен быть контейнер. Если высоты коробок оцениваются неравенствами 29 см < h < 32 см?

Решение. 29·20 < 20h < 31·20, т. е. 580 < 20h < 620. Допустим, все плоские коробки имеют минимальную высоту 29 мм. Тогда все они поместятся в коробке высотой 580 см. но если найдётся хоть одна коробка большей высоты, то затея грузчиков провалится. В реальности очень часто бывает, что минимальный и максимальный размеры колеблются в заданных допусках. А если мы хотим быть уверенным, что 20 коробок действительно всегда поместятся в контейнер, то надо считать, будто все коробки имеют максимальную высоту, т. е. выбрать контейнер высотой 620 см. Это и будет убедительным доводом в пользу затеи грузчиков.

Ответ: 620 см [24, С. 7].

Задача 4.

Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на лист, то, по крайней мере один лист окажется пустым. Если школьнику подарить такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?

Решение: Пусть в альбоме m листов, а у школьника имеется N марок. Тогда уравнение и неравенства этой задачи составляются следующим образом.

Условие задачи	Уравнение, неравенство
Если школьник наклеит по 20 марок на лист, то ему не хватит альбома	20m<N
Если школьник наклеит по 23 марки на один лист, то по крайней мере один лист окажется пустым	23(m-1)?N
Если школьнику пожарить такой же альбом, в котором на каждом листе по 21 марке, то всего у него будет 500 марок	21m+N=500

Таким образом, в этой задаче имеется одно уравнение и два неравенства. Выразим N из уравнения этой системы и подставим его в каждое из неравенств:

20m<500 - 21m

23(m-1)?500-21m

Учитывая, что m - целое число, из первого неравенства этой системы находим, что m?12, а из второго неравенства - что m?12. Сравнивая между собой эти результаты, получаем m=12.

Ответ: в альбоме 12 листов [3, С. 45].

Рассмотренные нами методы и способы решения задач имеют широкое применение в решении текстовых задач при помощи оценки и неравенств. Данные методы и способы помогают решить множество задач школьного курса, которые в свою очередь входят в выпускные экзамены.



Заключение

В данной работе изложены вопросы, касающиеся неравенств и оценки в текстовых задачах.

Разработана типология задач, в решении которых используется неравенства и оценка текстовых задач:

- задачи решаемые неравенствами первой степени с одним неизвестным;

- задачи решаемые системой неравенств с одним неизвестным;

- задачи решаемые неравенствами и системой неравенств с двумя переменными [22, С. 39].

Приведенная типология задач, а так же описанные приёмы и методы могут быть использованы при проведении подготовительных занятий к экзаменам, а так же на уроках математики при изучении текстовых задач с неравенствами и оценкой.

задача неравенство текстовый



Список использованной литературы

1. Шевкин, А.В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах [Текст]:метод. пособие для учителя / А.В. Шевкин. - М.: ООО ТИД «Русское слово - РС», 2001 - 208с.

2. Демидова, Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач [Текст]:учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких - М.: Издательский центр «Академия», 2002. - 288с

3. Лурье, М.В.. Задачи на составление уравнений [Текст]: уч. руководство /М.В. Лурье, Б.И. Александров - М.: «Наука», 2005 - 95с.

4. Стойлова, Л.П. Основы начального курса математики [Текст]: учеб. пос. для учащихся пед. училищ по спец. / Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало М.: Просвещение, 2002 - 319.

5. Стойлова, Л.П. Математика [Текст]: учебник для студ. высш. пед. Учеб.заведений / Л.П. Стойлова - М.: Издательский центр «Академия», 2000 - 424с.

6. Говоров, В.М. Сборник конкурсных задач по математике (с методическими указаниями и решениями) [Текст]: В.М. Говоров, П.Т. Дыбов, Н.В. Мирошин, С.Ф. Смирнова - М.: Наука, Главная редакция Физико-математической литературы, 2003. с 8-9.

7. Дорофеев, Г.В. Пособие по математике для поступающих ВУЗы [Текст]: / Г.В. Дорофеев, Н.К. Потапов, Н.Х. Розов - Издательство «Наука» главная редакция Физико-математической литературы 2006. с 146-150.

8. Савин, А.П. Энциклопедический словарь юного математика [Текст]: / А.П. Савин - 3 издание Москва: Педагогика-Пресс, 2009. с 213-214.

9. Фролова, И.Л. Методика изучения приложений неравенств в курсе математики средней школы [Текст]: / И.Л. Савин - Автореферат канд. дис.. М., 2002. с 125.

10. Фирсов, В.В. О прикладной ориентации курса математики [Текст]: В кн.: Углубленное изучение алгебры и анализа: Пособие для учителей / В.В. Фирсов, С.И. Шварцбурд, О.А. Боковнев. - М.: Просвещение, 2007.

11. Потапов, М.К. Конкурсные задачи по математике [Текст]: справочное пособие / М.К. Потапов, С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко - М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 2002 480 с.

12. Петухова, Л.И. О решении текстовых задач по математике [Текст]: /фестиваль педагогических идей «Открытый урок» / Л.И. Петухова - М.: Первое сентября, 2004.

13. Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики» [Текст]: Лекции 1-4. / А.В. Шевкин - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.

14. Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 кл. [Текст]: / А.М.Гольдман, Л.И.Звавич.- М.: Просвещение, 2009.

15. Савин, А.П.Энциклопедический словарь юного математика [Текст]: / Сост. Э-68 А. П. Савин. - М.: Педагогика, 2009. - 352 с

16. Микиша, А.М. Толковый математический словарь. 2500 терминов [Текст]: / В.Б Орлов. - М.: Просвещение, 2010.

17. Прохоров Ю.В. Математический энциклопедический словарь [Текст]: Mathematical-Encyclopedia-cover / Ю. В. Прохоров -- М.: Сов. энциклопедия, 2008.-- 847 с.

18. Алексеев, Р.Б. Неравенства [Текст]: / Р.Б. Алексеев, Л.Д. Курляндчич // Математика в школе. - 2013. - № 3.

19. Виноградов, И.М. Математическая энциклопедия [Текст]: / И.М. Виноградов. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

20. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: Наука, 2012. - 416 с.

21. Глейзер, Г.И. История математики в школе [Текст] / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение, 2001. - 287 с.

22. Коровкин, П.П. Неравенства [Текст] / П.П. Коровкин. - М., 2010. - 56 с.

23. Сивашинский, И.Х. Неравенства в задачах [Текст]: / И.Х. Сивашинский. - М.: Наука, 2010. - 216 с.

24. Супрун, В.П. Математика для старшеклассников: учебное пособие [Текст]: / В.П. Супрун. - М.: ЛКИ, 2008. - 200 с.

25. Иванов, О.А. Элементарная математика для школьников, студентов, преподавателей [Текст]: / О.А. Иванов. - М.: МЦНМО, 2009. - 384 с.

Размещено на Allbest.ru

...