О некоторых парадоксах теории вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

1

О некоторых парадоксах теории вероятностей

Быкова О.Л., Сафонова Ю.В.

Орловский филиал Финансового университета при правительстве Российской Федерации

Орёл, Россия

Как известно, царица наук математика давно закрепила за собой статус самой точной науки. В ней, как ни в какой другой науке, особое внимание уделяется строгости и логической последовательности доказательств. Однако даже в математике возникают ситуации, в которых разные подходы к исследованию одного и того же объекта не приводят к очевидным противоречиям.

Так, например, замена пятого постулата Евклида его отрицанием привела к возникновению новой геометрии - геометрии Лобачевского. Кажущаяся, на первый взгляд, абсурдной аксиома о том, что «через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её» по словам самого Лобачевского «…позволяет построить геометрию столь же содержательную и свободную от противоречий, как и евклидова» [2].

Возникновение неевклидовой геометрии, как и множество других подобных примеров, свидетельствует о том, что два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы, могут одновременно сосуществовать друг с другом. Такие утверждения получили название «парадокс».

В настоящей работе рассмотрено несколько наиболее интересных, на взгляд авторов, парадоксов теории вероятноcтей.

Задача трех узников. Парадокс трех узников описывает довольно драматическую ситуацию. Трое заключенных (А, Б и В) приговорены к смертной казни, причем каждый из них помещен в одиночную камеру. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и дает ему помилование. Надзирателю известно, кто из троих помилован, но ему приказано держать это в тайне. Узник A обращается к стражнику с просьбой сказать ему имя второго заключенного (кроме него самого), который точно будет казнен: «если Б помилован, скажи мне, что казнен будет В. Если помилован В, скажи мне, что казнен будет Б. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи любое из этих двух имен». Надзиратель говорит, что будет казнен узник Б. Стоит ли радоваться узнику А?

На первый взгляд, стоит. До получения этой информации вероятность смерти узника А составляла ?, а теперь он знает, что один из двух других узников будет казнен -- значит, вероятность его казни снизилась до Ѕ. Но на самом деле узник А не узнал ничего нового: если помилован не он, ему назовут имя другого узника, а он и так знал, что кого-то из двоих оставшихся казнят. Если же ему повезло, и казнь отменили, он услышит случайное имя Б или В.

Поэтому его шансы на спасение никак не изменились.

А теперь представим, что кто-то из оставшихся узников узнает о вопросе узника А и полученном ответе. Это изменит его представления о вероятности помилования.

Если разговор подслушал узник Б, он узнает, что его точно казнят. А если узник В, то вероятность его помилования будет составлять ?. Почему так произошло? Узник А не получил никакой информации, и его шансы на помилование по-прежнему ?. Узник Б точно не будет помилован, и его шансы равны нулю. Значит, вероятность того, что на свободу выйдет третий узник, равна ?. парадокс теория вероятность математика

Парадокс двух конвертов. Этот парадокс стал известен благодаря математику Мартину Гарднеру, и формулируется следующим образом [3]: «Предположим, вам с другом предложили два конверта, в одном из которых лежит некая сумма денег X, а в другом -- сумма вдвое больше. Вы независимо друг от друга вскрываете конверты, пересчитываете деньги, после чего можете обменяться ими. Конверты одинаковые, поэтому вероятность того, что вам достанется конверт с меньшей суммой, составляет Ѕ. Допустим, вы открыли конверт и обнаружили в нем $10. Следовательно, в конверте вашего друга может быть равновероятно $5 или $20. Если вы решаетесь на обмен, то можно подсчитать математическое ожидание итоговой суммы -- то есть, ее среднее значение. Она составляет 1/2х$5+1/2Ч$20=$12,5. Таким образом, обмен вам выгоден. И, скорее всего, ваш друг будет рассуждать точно так же. Но очевидно, что обмен не может быть выгоден вам обоим. В чем же ошибка?»

Парадокс заключается в том, что пока вы не вскрыли свой конверт, вероятности ведут себя добропорядочно: у вас действительно 50-процентный шанс обнаружить в своем конверте сумму X и 50-процентный -- сумму 2X. И здравый смысл подсказывает, что информация об имеющейся у вас сумме не может повлиять на содержимое второго конверта.

Тем не менее, как только вы вскрываете конверт, ситуация кардинально меняется (этот парадокс чем-то похож на историю с котом Шредингера, где само наличие наблюдателя влияет на положение дел). Дело в том, что для соблюдения условий парадокса вероятность нахождения во втором конверте большей или меньшей суммы, чем у вас, должна быть одинаковой. Но тогда равновероятно любое значение этой суммы от нуля до бесконечности. А если равновероятно бесконечное число возможностей, в сумме они дают бесконечность. А это невозможно.

Для наглядности можно представить, что вы обнаруживаете в своем конверте один цент. Очевидно, что во втором конверте не может быть суммы вдвое меньше.

Любопытно, что дискуссии относительно разрешения парадокса продолжаются и в настоящее время. При этом предпринимаются попытки как объяснить парадокс изнутри, так и выработать наилучшую стратегию поведения в подобной ситуации. В частности, профессор Томас Кавер предложил оригинальный подход к формированию стратегии -- менять или не менять конверт, руководствуясь неким интуитивным ожиданием. Скажем, если вы открыли конверт и обнаружили в нем $10 -- небольшую сумму по вашим прикидкам -- стоит его обменять. А если в конверте, скажем, $1 000, что превосходит ваши самые смелые ожидания, то меняться не надо. Эта интуитивная стратегия в случае, если вам регулярно предлагают выбирать два конверта, дает возможность увеличить суммарный выигрыш больше, чем стратегия постоянной смены конвертов.

Парадокс мальчика и девочки. Этот парадокс был также предложен Мартином Гарднером. Его первая формулировка была предложена математиком в 1959 году, когда он опубликовал один из самых ранних вариантов этого парадокса в журнале «Scientific American» [4] под названием «The Two Children Problem». Парадокс заключается в следующем. У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребенок -- мальчик. Какова вероятность того, что и второй -- тоже мальчик?

Казалось бы, задача проста. Однако если начать разбираться, обнаруживается любопытное обстоятельство: правильный ответ будет отличаться в зависимости от того, каким образом мы будем подсчитывать вероятность пола другого ребенка.

Первый подход

Рассмотрим все возможные комбинации в семьях с двумя детьми:

-- Девочка/Девочка

-- Девочка/Мальчик -- Мальчик/Девочка

-- Мальчик/Мальчик

Вариант девочка/девочка нам не подходит по условиям задачи. Поэтому для семьи мистера Смита возможны три равновероятных варианта -- а значит, вероятность того, что другой ребенок тоже окажется мальчиком, составляет ?.

Именно такой ответ и давал сам Гарднер первоначально.

Второй подход

Представим, что мы встречаем мистера Смита на улице, когда он гуляет с сыном. Какова вероятность того, что второй ребенок -- тоже мальчик?

Поскольку пол второго ребенка никак не зависит от пола первого, очевидным (и правильным) ответом является Ѕ.

Почему так происходит, ведь, казалось бы, ничего не изменилось?

Все зависит от того, как мы подходим к вопросу подсчета вероятности. В первом случае мы рассматривали все возможные варианты семьи Смита. Во втором -- мы рассматривали все семьи, подпадающие под обязательное условие «должен быть один мальчик». Расчет вероятности пола второго ребенка велся с этим условием (в теории вероятностей это называется «условная вероятность»), что и привело к результату, отличному от первого.

Библиографический список

1. Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь: Основные термины. М.: Рус. яз., 1989. - 244 с.

2. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. М.: Гостехиздат, 1956, С.119--120.

3. Гарднер М. А ну-ка, догадайся! -- М.: Мир, 1984. -- С. 139. -- 214 с.

4. Martin Gardner. The Two Children Problem. Scientific American, 1959.

Размещено на Allbest.ru