Необходимые и достаточные условия в свойствах геометрических фигур
Проблема нахождения необходимых и достаточных условий в свойствах геометрических фигур, которая является актуальной в работе учителя математики. Методические рекомендации для преподавания темы "Необходимые и достаточные условия" из курса "Геометрия".
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.02.2019 |
| Размер файла | 76,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1
1
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ В СВОЙСТВАХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
Константинова Ю.К.,
Саркисян Т.А.
Проблема нахождения необходимых и достаточных условий в свойствах геометрических фигур была и остается достаточно актуальной в работе учителя математики. К примеру, данными понятиями приходится оперировать в сложных задачах с параметрами. Следует отметить, что учитель готовит детей к восприятию курса высшей математики, ведь необходимые и достаточные условия встречаются там на каждом шагу. С большим трудом обучающиеся усваивают тему «Необходимые и достаточные условия». Они легко запоминают определения этих понятий, но не могут применить их на практике, т.е. в решении задач. [2]
Рассмотрим какую-либо теорему. В большинстве случаев можно в ней выделить условие и заключение. При этом и условие и заключение теоремы являются некоторыми неопределенными высказываниями.
Обозначим условие теоремы через A, заключение ? В. Тогда теорему можно выразить так: «Если есть A, то есть В, иначе: из А следует В (записывают: А > В)».
Определение 1. Если А > В, то Aназывается достаточным условием для В, а В ? необходимым условием для А. [1]
Рассмотрим такой пример: диагонали параллелограмма перпендикулярны. Каждый скажет, что эта теорема неверна. Но что это значит? Запишем сформулированную теорему в виде A>В, для чего рассмотрим следующие неопределенные высказывания:
A(Q) ? {четырехугольник Q? параллелограмм},
В(Q) ? {диагонали четырехугольника Q - перпендикулярны}.
Тогда сформулированная «теорема» принимает вид A(Q) > B (Q). В действительности же это вовсе еще не теорема, а лишь неопределенное высказывание (иногда верное, иногда ј нет). Если мы добавим знак общности или существования, мы получим высказывание, о котором уже можно будет говорить, верно оно или нет. Так, добавляя знак существования, получаем высказывание
(Q) (A (Q)) > В (Q))
(т. е. существует параллелограмм с перпендикулярными диагоналями). В истинности этого высказывания никто не усомнится ј такими параллелограммами являются ромбы. Однако знак общности дает высказывание
(?Q) (A (Q) > В (Q)), [1]
являющееся ложным. Именно в этом смысле мы говорим о неверности теоремы «диагонали параллелограмма перпендикулярны». Иными словами, встречаются (существуют) параллелограммы с перпендикулярными диагоналями. Но сформулированную теорему неявно все воспринимают в форме: диагонали любого параллелограмма перпендикулярны, т.е. в форме [1]. Эта теорема действительно неверна.
По Определению 1 составим таблицу перевода терминов «необходимо» и «достаточно» на язык логики:
Таблица 1
|
На русском языке |
На логическом языке |
|
|
A достаточное условие для В |
A>В истинно |
|
|
А необходимое условие для В |
В > А истинно |
|
|
А необходимое, но недостаточное условие для В |
В > А истинно, но А > В ложно |
|
|
А достаточное, но не необходимое условие для А |
А>В истинно, но В>Аложно |
|
|
А необходимое и достаточное условие для А |
А>В и В>А истинны, или истинна эквиваленция А- В |
Рассмотрим следующие неопределенные высказывания:
А(F) ? {четырехугольник Fј квадрат},
В(F) ?{углы четырехугольникаF равны}. Теорема (F) (А(F) >В(F)) имеет следующий вид:
если четырехугольник F является квадратом, то его углы равны.
Эта теорема верна. Обратная же теорема (F) (В(F) >А(F):
если углы четырехугольника F равны, то он является квадратом, неверна. Для того, чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы его углы были равны. Некоторые математические утверждения имеют вид необходимых и достаточных условий одновременно. Например: для того чтобы окружность можно было вписать в четырехугольник, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны.
Когда истинны обе теоремы A>B и B>A, мы называем высказывания A и B равносильными или эквивалентными. В таком случае верно утверждение A-B, то есть оба высказывания A и B следуют друг из друга.
Эквивалентность высказываний описывается выражениями: необходимо и достаточно; тогда и только тогда; если и только если; в том и только в том случае, если.
Рассмотрим задачу на необходимые и достаточные условия:
Задача 1. Чтобы параллелограмм был ромбом (В), необходимо и достаточно, чтобы диагонали его были взаимно перпендикулярны (А). [2]
I. Достаточность
1. А > В. (Если диагонали параллелограмм взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.)
2. ((AC) ? (BK)) > (BOC = СOK) (рис. 1).
(ABCK - параллелограмм) > (BO = OK)
(ДВOC = ДCOK (по двум катетам)) > (ВС = СК).
Рис. 1
Следовательно, параллелограмм ABCK является ромбом.
3. A - достаточное условие для В.
I I. Необходимость
1. В > А. (Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.)
2. Эта теорема ранее доказана. Высказывание истинно.
3. А - необходимое для В.
А является достаточным и необходимым условием для В. Исходя из этого следует, что В необходимое и достаточное условие для А.
Таким образом, мы стараемся получить как можно более «узкие» необходимые условия и как можно более «широкие» достаточные. Хочется отметить, что необходимые и достаточные условия играют важную роль в профессиональной деятельности учителя математики. Они являются большой познавательной ценностью и для учителя, которую он передаст своим ученикам.
геометрический фигура учитель математика
Список использованной литературы
1. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике - М. Изд. «Наука», 1974.
2. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 95 с.
3. Стойлова Л.П. Математика: учебник для студ. учреждений высш. проф. образования.- М.: Издательский центр «Академия», 2013. - 464 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Цепочка теорем, которая охватывает весь курс геометрии. Средняя линия фигур как отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Свойства средних линий. Построение различных планиметрических и стереометрических фигур, рациональное решение задач.
научная работа [2,0 M], добавлен 29.01.2010Использование геометрических форм и линий в практической деятельности человека. Геометрия у древних людей. Природные творения в виде геометрических фигур, их распространение в животном мире. Геометрические комбинации в архитектуре, сфере транспорта, быту.
реферат [21,5 K], добавлен 06.09.2012Начальные геометрические сведения и формирования представлений учеников о понятиях точки, прямой, отрезка, треугольника, параллельных прямых, их расположение относительно друг друга. Задачи на вычисление геометрических величин и изображение фигур.
презентация [222,5 K], добавлен 15.09.2010Система Ляпунова - случай одной степени свободы. Необходимые и достаточные условия существования периодических решений. Применение алгоритма Ляпунова для построения приближенного периодического решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [243,8 K], добавлен 11.05.2012Основные понятия, связанные с графом. Решение задачи Эйлера о семи кёнигсбергских мостах. Необходимые и достаточные условия для эйлеровых и полуэйлеровых графов. Применение теории графов к решению задач по математике; степени вершин и подсчёт рёбер.
курсовая работа [713,8 K], добавлен 16.05.2016Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Общее понятие теоремы Эйлера, этапы ее доказательства. Необходимые и достаточные условия существования эйлерова цикла. Сущность задачи о построении каркаса куба. Алгоритм Флери построения эйлерова цикла. Обход полуэйлерова графа с нечетной вершины.
презентация [27,1 K], добавлен 12.04.2014Максимум и минимум, их необходимые, первое и второе достаточные условия. Разыскание наибольших и наименьших значений функции. Правило разыскания экстремума. Теорема Чевы. Задачи о треугольнике наименьшего периметра, вписанного в остроугольный треугольник.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 11.01.2011Элементы алгебры, логические операции над высказываниями. Получение логических следствий из данных формул и посылок для данных логических следствий. Необходимые и достаточные условия. Анализ и синтез релейно-контактных схем. Логические следствия и формы.
дипломная работа [295,2 K], добавлен 11.12.2010Особенности использования метода секущих плоскостей для создания проекции и разветки пересечения поверхностей фигур. Порядок построения изометрии взаимного пересечения поверхностей фигур. Характеристика процесса создания фигуры с вырезом, опоры и стойки.
реферат [21,3 K], добавлен 27.07.2010Геометрия как раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения. Планиметрия, стереометрия, проективная геометрия. История развития науки. Исследование свойств плоских фигур. Сущность понятий "полупрямая", "треугольник".
презентация [1,1 M], добавлен 16.10.2014Построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами. Выражение коэффициентов интегралов через коэффициенты системы, связь последних между собой тремя соотношениями. Необходимые и достаточные условия существования у системы.
дипломная работа [480,0 K], добавлен 07.09.2009Из истории геометрии, науки об измерении треугольников. Замечательные точки треугольника. Использование геометрических фигур в орнаментах древних народов. Бильярдная рамка, расстановка кеглей в боулинге. Бермудский треугольник. Построения прямых углов.
презентация [9,2 M], добавлен 02.10.2011Методика нахождения различных решений геометрических задач на построение. Выбор и применение методов геометрических преобразований: параллельного переноса, симметрии, поворота (вращения), подобия, инверсии в зависимости от формы и свойств базовой фигуры.
курсовая работа [6,4 M], добавлен 13.08.2011Изучение проявлений геометрических законов в живой природе и использования их в образовательной практической деятельности. Описание геометрических законов и сущность геометрических построений. Графическое образование и его место в современном мире.
дипломная работа [2,3 M], добавлен 24.06.2010Построение квадратичной двумерной стационарной системы, нахождение состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости. Необходимые и достаточные условия существования у системы двух частных интегралов. Построение траектории в круге.
дипломная работа [118,3 K], добавлен 07.09.2009Основные условия симметричности фигуры. Примеры геометрических фигур, обладающих центральной симметрией. Центральная симметрия плодов растений и некоторых цветов, живых существ. Центральная симметрия в транспорте. Анализ аксиом стереометрии и планиметрии.
презентация [207,7 K], добавлен 30.10.2013Развитие вычислительных умений и навыков при решении задач. Закрепление формул для вычисления площадей геометрических фигур. Доказательства условий равенства пары треугольников. Определение соотношения прямых, заключающих равные углы у треугольников.
презентация [214,6 K], добавлен 04.12.2014Истоки, понятие аналитической геометрии. Метод координат на плоскости. Аффинная и Декартова система координат на плоскости, прямая и окружность. Аналитическое задание геометрических фигур. Применение аналитического метода к решению планиметрических задач.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 12.05.2009Основные понятия числового и знакопеременного ряда. Необходимые и достаточные признаки сходимости. Признак Лейбница. Исследование на абсолютную и условную сходимость ряда. Действия с суммой бесконечного числа слагаемых, расстановка скобок. Формула Эйлера.
курсовая работа [501,8 K], добавлен 12.06.2014
