Система линейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РООССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЧЕЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Курсовая работа

по теме: «Системы линейных уравнений»

Грозный - 2018

Содержание

Введение

1. Системы линейных алгебраических уравнений

1.1 Основные понятия

1.2 Свойства СЛАУ

1.3 Определители

2. Методы решения СЛАУ

2.1 Правило Крамера

2.2 Метод Гаусса

2.3 Обратная матрица и ее применение для решения линейных систем

3. Практическая часть

Заключение

Список литературы

Введение

Задачи, соответствующие современным задачам на составление и решение систем уравнений с несколькими неизвестными, встречаются еще в вавилонских и египетских рукописях II века до н.э., а также в трудах древнегреческих, индийских и китайских мудрецов. В китайском трактате «Математика в девяти книгах» словесно изложены правила решения систем уравнений, были замечены некоторые закономерности при решении.

Способы решения систем линейных уравнений - очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. Они широко используются в задачах экономики, физики, химии и других науках. Для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, нужно ознакомиться с темой матриц и определителей. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.

Объект исследования: процесс решения систем линейных уравнений.

Предмет исследования: методы решения систем линейных уравнений.

Цель исследования заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Исходя из цели, были сформулированы следующие задачи исследования:

* Рассмотреть матрицы и действия над ними;

* Ознакомиться с системами линейных уравнений;

* Рассмотреть методы решения линейных уравнений.

* Изучить современное состояние данного вопроса;

* Отобрать и классифицировать исследуемый материал;

* Привести примеры решения систем линейных уравнений разными способами.

1. Системы линейных алгебраических уравнений

1.1 Основные понятия

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, у которой число уравнений равно числу неизвестных, т.е. систему вида:

где коэффициенты при неизвестных , а свободные члены. Данную систему еще называют системой линейных уравнений с n неизвестными. Решением системы линейных уравнений называется такая система n чисел , что каждое из уравнений обращается в тождество после замены в нем неизвестных соответствующими значениями неизвестных . Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную таблицу

называемую матрицей системы. Диагональ, составленная из элементов , называется главной диагональю.

Система линейных уравнений может не иметь ни одного решения и тогда она называется несовместной. Если же система линейных уравнений обладает решениями, то называется совместной. Совместная система называется определенной, если она обладает одним единственным решением, и неопределенной, если решений больше, чем одно.

1.2 Свойства линейных систем алгебраических уравнений

Две системы уравнений называются равносильными, если множество решений первой системы равно множеству решений второй системы уравнений. Если к системе линейных алгебраических уравнений применить следующие преобразования:

ь перестановка уравнений системы;

ь умножение левой и правой частей одного из уравнений на некоторое ненулевое число л;

ь замена одного из уравнений системы суммой этого уравнения с линейной комбинацией других уравнений;

ь исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю;

то мы получим систему эквивалентную исходной.

Может случиться так, что после выполнения таких преобразований в нашей системе появится уравнение, все коэффициенты левой части которого равны нулю. Если и свободный член этого уравнения равен нулю, то уравнения удовлетворяется при любых значениях неизвестных, и поэтому, отбрасывая это уравнение, мы придем к системе уравнений, эквивалентной исходной системе. Если же свободный член рассматриваемого уравнения отличен от нуля, то это уравнение не может удовлетворяться ни при каких значениях неизвестных, а поэтому, и полученная нами система уравнений, ровно, как и эквивалентная ей исходная система, будут несовместными.

1.3 Определители

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число detA , называемое ее определителем, следующим образом:

Вычисление определителя 3-го порядка иллюстрируется схемой

Определитель матрицы также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высших порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда. [1, стр. 20].

Свойства определителей

1. Определитель не изменится при замене строк столбцами (и наоборот).

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно

4. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

5. Если все элементы некоторого ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

6. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

7. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Минором элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель n-1-го порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Обозначается . Например, если то минором элемента будет определитель

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется минор , взятый со знаком «плюс», если сумма четное число, и со знаком «минус» если нечетная. Обозначается .

Например, если то алгебраическим дополнением элемента будет .

8. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

2. Методы решения СЛАУ

2.1 Правило Крамера

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений

Предположим, что определитель из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля:

Разложим определитель ? по его j-тому столбцу:

а затем заменим в этом разложении элементы j-того столбца системой n - произвольных чисел . Выражение которое мы получим, будет, очевидно, служить разложением по тому столбцу для определителя

получающегося из определителя заменой его j-того столбца столбцом из чисел . В самом деле, замена j-того столбца определителя не влияет на миноры элементов этого столбца, а поэтому и на их алгебраические дополнения. Применим это к случаю, когда в качестве чисел берутся элементы k-того столбца определителя при . Определитель, который мы получим после такой замены, будет содержать два одинаковых столбца и поэтому будет равен нулю. Равно нулю, следовательно, и разложение этого определителя по j-тому столбцу, т.е.

Таким образом, сумма произведений всех элементов некоторого столбца определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов другого столбца равна нулю.

Пусть система совместна и одно из ее решений. Следовательно, справедливы равенства

Умножим обе части равенства на , т.е. на алгебраическое дополнение элемента в определителе ; обе части второго равенства умножим на и т.д., наконец, обе части последнего на . Складывая затем отдельно левые и отдельно правые части всех равенств, мы придем к следующему равенству:

Коэффициентом при в этом равенстве служит , коэффициенты при всех остальных , ввиду сделанного выше замечания, равны нулю, а свободный член будет определителем, получающимся из определителя после замены в нем того столбца столбцом из свободных членов системы. Если этот последний определитель мы обозначим через , то наше равенство примет вид откуда ввиду

Этим доказано, что если система совместна, то она обладает единственным решением

Полученные формулы называются формулами Крамера.

2.2 Метод Гаусса

Пусть дана произвольная система линейных уравнений:

(2.1)

Положим для определенности, что коэффициент , хотя на самом деле он может, конечно, оказаться равным нулю, и мы должны будем начать с какого-либо другого, отличного от нуля, коэффициента из первого уравнения системы.

Преобразуем систему (2.1), исключая неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения умножим на число и вычтем из соответствующих частей второго уравнения, затем обе части первого уравнения, умноженные на число , вычтем из соответствующих частей третьего уравнения, и т.д.

Мы придем этим путем к новой системе из S линейных уравнений с n неизвестными:

(2.2)

Нет необходимости явно записывать выражения новых коэффициентов новых свободных членов через коэффициенты и свободные члены исходной системы (2.1). Как мы знаем, система уравнений (2.2) эквивалентна системе (2.1). Будем преобразовывать теперь систему (2). Первое уравнение больше трогать не будем, и подлежащей преобразованиям будем считать лишь часть системы (2.2), состоящую из всех уравнений, кроме первого. При этом мы считаем, конечно, что среди этих уравнений нет таких, все коэффициенты левых частей которых равны нулю, - такие уравнения мы выбросили бы, если бы и их свободные члены были равны нулю, а в противном случае мы уже доказали бы несовместимость нашей системы. Таким образом, среди коэффициентов есть отличные от нуля; для определенности примем, что . Преобразуем теперь систему (3.2), вычитая из обеих частей третьего и каждого из следующих уравнений обе части второго уравнения, умноженные соответственно на числа



Этим будет исключено неизвестное из всех уравнений, кроме первого и второго, и мы придем к следующей системе уравнений, эквивалентной системе (2.2), а поэтому и системе (2.1):

(2.3)

Наша система содержит теперь уравнений, так как некоторые уравнения оказались, возможно, отброшенными. Понятно, что число уравнений системы могло уменьшиться уже после исключения неизвестного . В дальнейшем подлежит преобразованиям лишь часть полученной системы, содержащая все уравнения, кроме двух первых.

Возникает закономерный вопрос: когда остановится этот процесс последовательного исключения неизвестных?

Если мы придем к такой системе, одно из уравнений которой имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой части равны нулю, то, как мы знаем, наша исходная система несовместна. В противном случае мы получим следующую систему уравнений, эквивалентную системе (2.1):

(2.4)

Здесь . Отметим также, что и, очевидно,

В таком случае система (1) совместная. Она будет определенной при и неопределенной при

Действительно, если , то система (2.4) имеет вид

(2.5)

Из последнего уравнения мы получаем вполне определенное значение для неизвестного . Подставляя его в последнее уравнение, мы найдем однозначно определенное значения для неизвестного . Продолжая так далее, мы найдем, что система (2.5), а поэтому и система (2.1), обладают единственным решением, т.е. совместны и определенны.

Если же , то для «свободных» неизвестных мы возьмем произвольные числовые значения, после чего, двигаясь по системе (2.4) снизу вверх, мы, как и выше, найдем для неизвестных вполне определенные значения. Так как значения для свободных неизвестных можно выбрать бесконечным числом различных способов, то наша система (2.5) и, следовательно, система (2.1) будут совместными, но неопределенными. Легко проверить, что указанным методом (при всевозможных выборах значений для свободных неизвестных) будут найдены все решения системы (2.1).

В первый момент кажется возможным еще один вид, к которому может приводиться система линейных уравнений методом Гаусса, а именно вид, получающийся приписыванием к системе (2.5) еще нескольких уравнений, содержащих лишь неизвестное . В действительности, однако, в этом случае преобразования просто не доведены до конца: так как , то из все уравнений, начиная с го, неизвестное может быть исключено.

Следует заметить, что «треугольная» форма системы уравнений (2.5) или «трапецоидальная» форма системы уравнений (2.4) (при получилась ввиду предположения, что коэффициенты и т.д. отличны от нуля. В общем случае та система уравнений, к которой мы придем после доведения до конца процесса исключения неизвестных, приобретет треугольную или трапецоидальную форму лишь после надлежащего изменения нумерации неизвестных.

Суммируя все изложенное выше, мы получаем, что метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, если в процессе преобразований мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же мы такого уравнения не встретим, то система будет совместной. Совместная система будет определенной, если она приводится к треугольному виду (2.5), и неопределенной, если приводится к трапецоидальному виду (2.4) при .

2.3 Обратная матрица и ее применение для решения линейных систем

Матрица называется обратной к матрице A, если .

союзная матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам матрицы A, причем алгебраическое дополнение к элементу стоит на пересечении j-й строки и i-того столбца.

Пусть дана матрица



и присоединенная матрица

Найдем произведения . Использую формулу разложения по строке или столбцу, а также свойство о сумме произведений элементов любого ряда определителя на алгебраические дополнения к соответственным элементам другой строки (столбца), и, обозначив через определитель матрицы , получим:

Отсюда вытекает, что если матрица A невырожденная, то ее присоединенная матрица также будет невырожденной, причем определитель матрицы равен й степени определителя ? матрицы A.

Действительно, переходя от равенства к равенству между определителями, получим откуда ввиду

Теперь докажем существование обратной матрицы для всякой невырожденной матрицы A и найдем ее вид. Заметим, что если мы рассмотрим произведение двух матриц AB и все элементы одного из множителей, например B, разделим на одно и то же число ?, то все элементы произведения AB также разделятся на это число. Для доказательства вспомним определение умножения матриц. Таким образом, если из равенств (3.3) вытекает, что обратной матрицей для A будет служить матрица, получающаяся из присоединенной матрицы делением всех ее элементов на число ?:

В самом деле, из (3.3) вытекают равенства

Легко доказать, что матрица является единственной матрицей, удовлетворяющей условию (3.5) для данной невырожденной матрицы A. Действительно, если матрица такова, что

то

откуда

Из теоремы об умножении определителей, которая гласит, что произведение двух определителей го порядка и равно определителю



и равенства (3.5), вытекает, что определитель матрицы равен , так что эта матрица также будет невырожденной; обратной для нее служит матрица A.

Если теперь даны квадратные матрицы n-го порядка A и B, из которых A - невырожденная, а B - произвольная, то мы можем выполнить правое и левое деления B на A, т.е. решить матричные уравнения

Для этого в виду ассоциативности умножения матриц, достаточно положить

причем эти решения уравнений (3.6) будут, ввиду некоммутативности умножения матриц, в общем случае различными.

3. Практическая часть

Пример 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

а) Найдем определитель матрицы системы:

, то решение системы существует и единственно.

б) Найдем определитель , подставив столбец свободных членов вместо первого столбца определителя .

.

в) Аналогично, подставляя столбец свободных членов вместо второго столбца определителя , получим

.

Решение системы уравнений имеет вид:

Ответ:

Пример 2. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера:

Определители третьего порядка будем вычислять методом треугольников, схема которого приведена на стр.4.

Выполним проверку:

Пример 3. Решить систему 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными методом Гаусса:

Выпишем расширенную матрицу системы

Теперь запишем систему, соответствующую полученной матрице

Найденное значение неизвестного подставим в 1-е уравнение

Пример 4. Решить систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными методом Гаусса:

а)

Запишем расширенную матрицу системы уравнений и приведем ее к ступенчатому виду:

Проверка

Ответ: Система несовместна.

Пример 5. Решить систему 4-х линейных уравнений 4-мя неизвестными методом Гаусса:

Ответ:

Отбросим нулевую строку и запишем систему, соответствующую полученной эквивалентной матрице:

Ответ:

Пример 6. Решить систему 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными матричным методом:

Т.к. , то существует.

Найдем решение системы уравнений:

Ответ: (1; 3).

Пример 7. Решить систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными матричным методом:

=8•1•(-3)+3•(-1)•4+1•1•(-6)-(-6)•1•4-1•(-1)•8-1•3•(-3)=-24-12-6+24+8+9=-1?0

Находим алгебраические дополнения:

4. Найдем

Ответ: (1; 6; 5).

уравнение крамер гаусс матрица

Заключение

Данная курсовая работа состоит из двух частей: теоретической и практической. В теоретической части изложены основные понятия систем линейных уравнений, способы вычисления определителей, приведены свойства определителей. Описаны следующие методы решения СЛАУ:

ь метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных);

ь метод Крамера (метод определителей);

ь матричный метод (решение матричного уравнения ).

В практической части приводятся решения систем двух, трех, четырех линейных уравнений с двумя, тремя, четырьмя неизвестными соответственно. Мы пришли к выводу, что метод Гаусса обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

ь во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

ь во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

ь в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.

Список литературы

1. Д.Т. Письменный Конспект лекций по высшей математике/ Полный курс, 4-е изд. - М: Айрис-пресс, 2006г.

2. А. Курош Курс высшей алгебры М., изд. «Наука», 1971, 432 стр.

3. А.П. Рябушко Сборник индивидуальных заданий по высшей математике Часть I Минск, «Вышэйшая школа», 1990г.

4. Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справочное пособие по решению задач. Минск: ТетраСистемс, 2001. 288 с.

5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: ГИФМЛ, 1984.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1999.

Размещено на Allbest.ru

...