Размещено на http://www.allbest.ru/

Лузгарева Н.В.

построениЕ кривых с помощью биквадратичного преобразования Г₄

Аннотация

В данной статье рассматривается способ формообразования кривых с помощью биквадратичного преобразования Г₄, где прообразом задается окружность. Для получения кривых различной формы соответственно будет изменяться расположение прообраза-окружности на плоскости.

Айтылмыш ма?алада ?исы?ты? формообразования ?июы мен к?мек Г4 биквадратичного ?згерісіні? ?арастырылады, ?айда прообразом ше?бер кісімсінеді. Т?рлі пішінні? ?ис?ыны? ал ?шін с?йкесінше прообраза-окружности жайлауы жазы?ты?та ?згеру болады.

формообразование кривые биквадратичный окружность

In this article the method of формообразования of curves is examined by means of biquadratic transformation of G₄, where a prototype is set a circumference. For the receipt of curves of different form accordingly the location of prototype-circumference will change on a plane.

Точечные геометрические преобразования в начертательной геометрии могут быть разделены на следующие виды:

a. Одно-однозначные точечные преобразования;

b. Одно-двузначные точечные преобразования;

c. Одно-четырехзначные точечные преобразования;

d. Одно-многозначные точечные преобразования.

Квадратичные преобразования плоскости достаточно полно исследованы в работах Локтева О.В., Фролова С.А., Нгуена Ван Дьема, Нурмаханова Б.Н. и других.

Исследованию и применению биквадатичных преобразований плоскости посвящены научные труды Нурмаханова Б.Н., Байдабекова А.К., Усупова М.М.

Рассмотрим способ формообразования кривых с помощью биквадратичного преобразования Г4, где прообразом задается окружность. Для получения кривых различной формы соответственно будет изменяться расположение прообраза-окружности на плоскости. Графическая модель и уравнение биквадратичного преобразования Г4 было определено в работе [5].

Для получения новых кривых окружность-прообраз (р) подвергаем биквадратичному преобразованию Г4. Каждая точка-прообраз преобразуется в четыре точки-образы. Последовательно соединяя полученные точки-образы, построим кривую и обозначим её символом р'. Прообраз преобразуется в общем случае в кривую 4-го порядка. На рисунке 1 показано преобразование точки-прообраза 1 окружности (р) в четыре точки-образы 1ґ1, 1ґ2, 1ґ3 и 1ґ4 с использованием графической модели биквадратичного преобразования Г4. Где прообраз-окружность задается радиусом r=15 мм., а центр окружности расположим на оси ОХ1, на расстоянии равное t (t>R) относительно начало координат. Для построения образа-кривой используем графическую модель биквадратичного преобразования Г4. На графической модели указываем область существования биквадратичного преобразования для более точного построения образа. Обозначим несколько точек на прообразе-окружности цифрами 1, 2, 3 и т.д. Заданную точку-прообраз 1 подвергнем биквадратичному преобразованию Г4 и построим точки 11, 12, 13, 14. Через точки 11, 12 проводим вертикальные линии параллельные оси ОХ2, а через точки 13 и 14- горизонтальные линии параллельные оси ОХ1. Таким образом, пересечение этих линий определяет образы точек 1ґ1, 1ґ2, 1ґ3 и 1ґ4 прообраза точки 1.

Рис. 1. Определение кривой с использованием бивадратичного преобразования Г4

Рис. 2. Определение кривой с использованием бивадратичного преобразования Г4

Следующие образы заданных точек находим согласно выше изложенному алгоритму. Затем, последовательно соединяя полученные точки-образы, строим кривую (р'). В результате прообраз-окружность (р) преобразуется в кривую 4-го порядка (р), которая распадается на две кривые второго порядка (рис.1).

Используя уравнение обратного биквадратичного преобразования Г?4, определим уравнение для данной кривой:

(1)

где Х1, Х2 - координаты точек-образов,

Х?1, Х?2 - координаты точек - прообразов,

R -коэффициент преобразования.

Значения Х1 и Х2 подставляются в уравнение прообраза-окружности

(2)

где a, b- координаты центра окружности-прообраза;

r - радиус прообраза-окружности

Определяем уравнение кривой (рис. 1):

(3)

Таким образом, показана возможность использования биквадратичного преобразования Г4 в моделировании кривых четвертого и восьмого порядка (рис.2), что дает возможность его практического применения в прикладной и начертательной геометрии.

Разработка биквадратичного преобразования г₄, порождаемого отображением поверхностей вращения однополостного гиперболоида и конуса

Для получения биквадратичного преобразования Г₄, рассмотрим пространственную схему, где используются две пересекающиеся поверхности: однополостный гиперболоид и конус вращения. Заданные поверхности располагаются в пространстве согласно рисунку 3 и обозначаются символами Q⁰₁ и Q⁰₂.

Из точки В проводится вертикальный луч m, который пересекает поверхности Q⁰₁ и Q⁰₂ в точках Вє₁, Вє₂, Вє₃ и Вє₄ (рисунок 1.1.1). Данные точки бинарно (г,ф) отображаем на совмещенные плоскости ННґ.

Первое отображение (г) точек Вє₁ и Вє₂ поверхности Q⁰₁ на плоскость Н' задается как сумма преобразования (в₁) и ортогонального проецирования (б) (рисунок 4).

Преобразование (в₁) вращает точки Вє₁ и Вє₂ вокруг оси ОХ₂. В результате преобразования(в₁) точки Вє₁ и Вє₂переходят в новое положение и образуют точки Вєґ₁ и Вєґ₂. При проецировании точек Вєґ₁ и Вєґ₂, на плоскость Нґ получаются точки В₁ и В₂ (рисунок 1.1.2).

Второе отображение (ф) точек Вє₃ и Вє₄ поверхности Q⁰₂ на плоскость Н' задается как сумма преобразования (в₂) и ортогонального проецирования (б) (рисунок 5).

Рис. 3. Схема расположения поверхностей в пространстве

Рис. 4. Отображение г точек Вє₁, Вє₂ на плоскость Н'

Рис. 5. Отображение ф точек Вє₃, Вє₄ на плоскость Н'

Преобразование (в₂) вращает точки Вє₃ и Вє₄ вокруг оси ОХ₁. В результате преобразования(в₂) образуются точки Вєґ₃ и Вєґ₄,которые соответствуют точкам Вє₃ и Вє₄в новом положении. При проецировании которых на плоскость Нґ получаются точки В₃ и В₄ (рисунок 5).

Через полученные точки В₁ и В₂ проводятся линии, параллельные оси ОХ₂, а через точки В₃ и В₄ - линии параллельные оси ОХ₁. На пересечении этих линий образуются четыре точки: Вґ₁, Вґ₂, Вґ₃ и Вґ₄, которые соответствуют точке В (рисунок 6).

Таким образом, согласно выше изложенной схеме, каждой точке В плоскости Н соответствуют четыре точки Вґ₁, Вґ₂, Вґ₃ и Вґ₄ плоскости Н?. Другими словами, на совмещенной плоскости ННґ устанавливается биквадратичное отображение плоскости Г₄.

Преобразование можно выполнить в обратном порядке, где каждой точке D? плоскости Н? будут соответствовать четыре точки D₁, D₂, D₃ и D₄ плоскости Н.

Рис. 6. Построение точек Вґ₁, Вґ₂, Вґ₃ и Вґ₄ по известным точка м В₁,В₂, В₃ и В₄

Определение уравнения биквадратичного преобразования Г₄

Для получения уравнения биквадратичного преобразования плоскости Г₄ используются уравнения поверхностей вращения второго порядка однополостного гиперболоида Q⁰₁ и конуса Q⁰₂:

. (1.2.1)

. (1.2.2)

Поверхность второго порядка Q⁰₁ подвергается преобразованию (рисунки 1.1.3, 1.1.4) вращением вокруг оси ординаты. Таким образом, положительное направление оси аппликаты совпадает с положительным направлением оси абсциссы. В результате преобразования координата zточки В перемещается на ось абсциссы и принимается как xґ.

Соответственно уравнение (1.2.2) записывается следующим образом:

или

. (1.2.3)

Поверхность второго порядка Qє₂ подвергается преобразованию вращением вокруг оси абсциссы на 90є (рисунки 1.1.3, 1.1.5), положительное направление оси аппликаты совпадает с положительным направлением оси ординаты. Значит координата zточки В перемещается на ось ординаты и принимается как yґ.

Учитывая z? yґ уравнение (1.2.2) записывается как:

. (1.2.4)

При объединении в одну систему уравнений (1.2.3) и (1.2.4), образуется искомое уравнение биквадратичного преобразования Г₄:

, (1.2.5)

где x, y- координаты точек-прообразов;

x?, y? - координаты точек-образов;

R - коэффициент преобразования.

Рассмотрим определение уравнения обратного биквадратичного преобразования обозначаемого в дальнейшем символом Гґ₄.

Для этого определяется значение x из первого уравнения системы (1.2.5):

. (1.2.6)

Из формулы (1.2.6) значение x подставляется во второе уравнение системы (1.2.5):

или:

. (1.2.7)

Отсюда определяется значение величины y:

. (1.2.8)

Значение yподставляется в формулу (1.2.6) и определяется значение x:

или:

. (1.2.9)

В результате объединения уравнений (1.2.8) и (1.2.9) в одну систему, образуется уравнение обратного биквадратичного преобразования Гґ₄:

. (1.2.10)

Определениеграфическоймоделибиквадратичного преобразования Г₄

Рассмотрим построение графической модели биквадратичного преобразования Г₄, порождаемого отображением поверхностей вращения однополостного гиперболоида и конуса.

Для этого разложим биквадратичное преобразование Г₄ на два квадратичных преобразования и обозначим их F₁ и F₂ соответственно:

F_1. (1.3.1)

F_2. (1.3.2)

Анализируя аналитическую модель квадратичного преобразования F₁, видим, что точке В (x, y) на плоскости Н соответствуют две точки В₁ (; y?) и В₂ (; y?) плоскости Н?. При этом из первого уравнения системы (1.3.1) видно, что эти точки симметричны относительно оси ОХ₂, так как их абсциссы равны и имеют разные знаки. Из второго уравнения видно, что точки В₁ и В₂ располагаются на одном перпендикуляре к си ОХ₂, проходящем через точку В.

Для графического нахождения точек В₁ и В₂ выполним следующие построения. Через точку В проводятся прямые m и n параллельные осям ОХ₁ и ОХ₂ соответственно. Проводится прямая h параллельно оси ОХ₁ на расстоянии R (коэффициент преобразования). На пересечении прямых n и h получается точка 1. Проводится окружность t радиусом О1 с центром в точке О. При пересечении прямой m и окружности t получается точка В₁. Строится точка В₂ симметрично точке В₁ относительно прямой ОХ₂ (рисунок 7).

Рис. 7. Графическая модель квадратичного преобразования F₁

Проанализировав аналитическую модель квадратичного преобразования F₂, видим, что точке В (x, y) плоскости Н соответствуют две точки В₁ (;) и В₂ (;) плоскости Н?. При этом из первого уравнения системы (8) видно, что точки В₁и В₂ располагаются на одном перпендикуляре к оси ОХ₁, проходящем через точку В. Из второго уравнения системы видно, что эти точки симметричны относительно оси ОХ₁, т.к. их ординаты равны и имеют разные знаки.

В уравнении системы (8) величины xи y известные, y?- искомая. Второму уравнению системы соответствует на чертеже прямоугольный треугольник. В данном случае это прямоугольный треугольник 0В1, который строим следующим образом. Через точку В проводится прямая n параллельно ОХ₂. При пересечении прямой n и оси ОХ₁ получается точка 1. Проводится окружность t радиусом ОВ с центром в точке О. При пересечении окружности t с осью ОХ₂ получается точка 2. Через точку 2 проводится прямая m параллельно оси ОХ₁. На пересечении прямых m и n получается точка В₁. Строится точка В₂ симметрично точке В₁ относительно прямой ОХ₁ (рисунок 8).

Рис. 8. Графическая модель квадратичного преобразования F₂

Для того, чтобы получить графическую модель биквадратичного преобразования Г₄, объединяются в один чертеж графические модели квадратичных преобразований F₁ и F₂, что и приведено на рисунке 1.3.3. Точка В подвергаясь квадратичному преобразованию F₁ преобразуется в точки В₁ и В₂.

Точка В подвергаясь квадратичному преобразованию F₂ преобразуется в точки В₃ и В₄. Из точек В₁ и В₂ проводятся вертикальные линии, а из точек В₃ и В₄ - горизонтальные линии. Пересечения этих линий определяют четыре точки - образы В?₁, В?₂, В?₃ и В?₄, которые соответствуют точке В (рисунок 1.3.4).

Таким образом определена графическая модель биквадратичного преобразования Г₄.

Биквадратичные преобразования Г₄, Гґ₄ задаваемые уравнениями (7), (1.12) дополняют известные в начертательной геометрии геометрические преобразования 4^-го порядка.

Рис. 9. Объединение графических моделей преобразований F₁ и F₂

Рис. 10. Графическая модель биквадратичного преобразования Г₄

Областьсуществованиябиквадратичногопреобразования Г₄

Для дальнейшего использования биквадратичного преобразования Г₄ на практике, необходимо определить область его существования.

Система уравнений (1.2.5) показывает, что рассматриваемое биквадратичное преобразование Г₄ имеет решение при выполнении следующего условия:

. (1.4.1)

Графическое изображение выражения (11) будет выглядеть следующим образом:

Рис. 11.

Рассмотрим первое уравнение системы (11).

Случай, когда подкоренное выражение больше нуля . Область существования преобразования Г₄ расположена между двумя ветвями гиперболы. Графически это означает, что точка А лежит между граничными кривыми (рисунок 12). Поэтому точке А соответствуют четыре точки А?₁, А?₂, А?₃ и А?₄.

Случай, когда подкоренное выражение равно нулю . Точка В лежит на самой граничной кривой. Поэтому точке В соответствуют точки В?₁?В?₂, В?₃?В?₄ (рисунок 1.4.2).

Случай, когда подкоренное выражение меньше нуля . Точка С лежит за пределами граничной кривой. Поэтому точке С соответствуют мнимые точки (рисунок 12).

Рис. 12.

Таким образом, граничная кривая делит плоскость на две области: первая область действительных решений, вторая область мнимых решений.

Второе уравнение системы (11) изображает начало системы координат.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фролов А.С. Методы преобразования ортогональных проекций. -М.: Изд. Машиностроение, 1970, 160 с.

2. Нурмаханов Б.Н. Разработка алгоритмов моделирования нелинейных точечных соответствий плоскости, порождаемых установлением бинарных моделей поверхностей, и их практическое применение: автореф.... канд. техн. наук: 05.01.01. -Киев: КИСИ, 1978.

3. Байдабеков А.К. Теория нелинейного преобразования и их применение в науке и технике. - Автореф. дисс. докт. техн. наук. Алматы, 2006 г.

4. Усупов М.М. Разработка и применение (1-4) - значных геометрических преобразований специального вида. - Автореф. дисс. канд. техн. наук. Алматы, 2004 г.

5. Нурмаханов Б.Н., Кубентаева Г.К. Моделирование одного вида биквадратичного преобразования и его применение в науке и технике //Тезисы докл. Международной научной конференции «Состояние и перспективы развития механики и машиностроения в Казахстане», Алматы, 2007 г.

Размещено на Allbest.ru