Свойства функций в задачах с параметром

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пензенский государственный университет»

«Педагогический институт имени В. Г. Белинского»

Факультет физико-математических и естественных наук

Курсовая работа

Свойства функций в задачах с параметром

Выполнила

студентка ФМФ

группы 13ЗФПМ51

Алексеева Е.А.

Проверил:

доцент кафедры «ГиМА»

Никитина О.Г.

Пенза - 2016



Оглавление

Введение

Глава 1. Общие свойства функций

1.1 Область определения и множество значений функции

1.2 Экстремальные свойства функций

1.3 Монотонные функции

1.4 Чётность, периодичность, обратимость

Глава 2. Свойства функций в задачах с параметром

Заключение

Список литературы



Введение

Считается, что впервые термин «функция» ввёл Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он также ввёл термины «переменная» и «константа».

Только во второй половине XIX века благодаря развитию идей, которые были заложены в трудах Эйлера, Д. Бернулли, Лобачевского, Даламбера, Фурье, Дирихле, и созданию теории множеств сложилось современное понятие функции.

Методологический аппарат данной курсовой работы включает в себя объект, предмет, цель исследования и задачи.

Объектом данной работы являются функции и их свойства.

Предметом работы является свойства функций в задачах с параметром.

Целью курсовой работы является изучение и систематизация теоретического материала по теме: «Свойства функций в задачах с параметром».

В рамках достижения цели были поставлены следующие задачи:

изучить литературу по данной теме;

рассмотреть основные свойства функций:

область определения и множество значений функций;

экстремальные свойства функций;

монотонные функции;

чётность, периодичность, обратимость;

самостоятельно подобрать и решить задачи по исследованной теме.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.



Глава 1. Общие свойства функций

1.1 Область определения и множество значений функции

Введём определение однозначной функции одной действительной переменной. Пусть непустые числовые множества, а соответственно их элементы, действительные числа. Если каждому элементу ставится в соответствие по некоторому закону единственное значение

то говорят, что на множестве X определена функция y = f (x) , причём x называют аргументом функции (или независимой переменной), а значением функции, отвечающим аргументу x (или зависимой переменной). В данном определении существенна единственность значения функции для каждого из значений аргумента. Множество X при этом называют областью определения функции и обозначают а множество всех значений отвечающих каждому областью значений, или областью изменения, функции и обозначают Хорошилова Е.В. Математика: Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов и абитуриентов МГУ им. М.В. Ломоносова: В 2-х частях. Часть 2. - М.: Изд-во ЗАО «ПСТМ», 2008.

Символ f называется характеристикой функции.

1.2 Экстремальные свойства функций

Пусть функция f (x) определена на множестве X , и принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью.

Точка называется точкой локального максимума (локального минимума) функции f (x) , если существует интервал , содержащийся в X и такой, что для каждого x из этого интервала имеет место неравенство

Заметим, что интервал вида обычно называют - окрестностью точки , а такой же интервал, из которого удалена (выколота) середина (точка ), - проколотой ? - окрестностью точки .

Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума данной функции, а значения функции в этих точках называются экстремальными значениями функции, или локальными экстремумами.

Если вместо последних нестрогих неравенств в приведённых определениях взять строгие, то получим соответственно определения строгих локального максимума и минимума. Так, точка ? X называется точкой строгого локального максимума функции f(x), если существует окрестность точки , целиком содержащаяся в X и такая, что для каждого x из этой окрестности, отличного от , имеет место неравенство

В частности, справедлива следующая теорема.

Теорема (достаточное условие локального экстремума). Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке , и убывает (возрастает) на некотором промежутке то точка является точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (x) . Хорошилова Е.В. Математика: Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов и абитуриентов МГУ им. М.В. Ломоносова: В 2-х частях. Часть 2. - М.: Изд-во ЗАО «ПСТМ», 2008.

1.3 Монотонные функции

Функция , определённая на множестве называется возрастающей на этом множестве, если для любой пары чисел этого множества из неравенства следует, что

Иными словами, большему значению аргумента у возрастающей функции соответствует большее значение

Функция определённая на множестве X, называется убывающей на этом множестве, если для любой пары чисел этого множества из неравенства следует справедливость неравенства

Функция , определённая на множестве X, называется невозрастающей на этом множестве, если для любой пары чисел этого множества из неравенства следует, что

Функция определённая на множестве X, называется неубывающей на этом множестве, если для любой пары чисел этого множества из неравенства следует, что

Функции возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие называются монотонными функциями. При этом возрастающие и убывающие функции принято называть строго монотонными функциями, а невозрастающие и неубывающие - монотонными в нестрогом смысле слова.

Рассмотрим некоторые свойства монотонных функций [8].

Свойства монотонных функций

Пусть функции f (x) и g(x) заданы на одном и том же множестве X .

1. Если функция f (x) возрастает (убывает) на X и C - произвольное

действительное число, то:

а) функция f (x) +C возрастает (убывает) на X;

б) функция C ? f (x) , C > 0 , возрастает (убывает) на X;

в) функция C ? f (x) , C < 0 , убывает (возрастает) на X . В частности, если функция f (x) возрастает (убывает) на X , то функция ( ? f (x)) - убывает (возрастает) на X .

2. Если функции f (x) и g(x) возрастают (убывают) на X , то функция f (x) + g(x) также возрастает (убывает) на X.

3. Если функции f (x) и g(x) неотрицательны и обе возрастают (убывают) на X , то их произведение f (x) ? g(x) также возрастает (убывает) на X . Если же функции f (x) и g(x) отрицательны и обе возрастают (убывают) на

X , то их произведение f (x) ? g(x) убывает (возрастает) на X .

В частности, если f (x) >0 и функция f (x) возрастает (убывает) на X , то также возрастает (убывает) на X; если же f (x) < 0 и функция f (x) возрастает (убывает) на X , то убывает (возрастает) на X .

4. Пусть функция f (x) возрастающая, а g(x) - убывающая. Тогда:

1) если f (x) >0, g(x) < 0, то произведение f (x)?g(x) - убывающая функция;

2) если f (x) < 0, g(x) > 0, то произведение f (x) ? g(x) - возрастающая функция.

5. Суперпозиция f (g(x)) двух возрастающих функций f (x) и g(x) - возрастающая функция. Суперпозиция двух убывающих функций - возрастающая функция. Суперпозиция возрастающей и убывающей функций или убывающей и возрастающей функций - убывающая функция.

В частности, если f (x) - возрастающая (убывающая) функция, то f (? x) - убывающая (возрастающая) функция. А также если функция f (x) возрастает (убывает) на X и сохраняет на X постоянный знак (не обращается в нуль), то функция убывает (возрастает) на X .

6. Если функция f (x) возрастает (убывает) на каждом из двух смежных промежутков (a,b] и [b,c), то она возрастает (убывает) на их объединении (a,c). Хорошилова Е.В. Математика: Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов и абитуриентов МГУ им. М.В. Ломоносова: В 2-х частях. Часть 2. - М.: Изд-во ЗАО «ПСТМ», 2008.

1.4 Чётность, периодичность, обратимость

Пусть функция y = f (x) определена на множестве X таком, что для любого значения аргумента x?X значение (?x) также принадлежит множеству X . Тогда функция y = f (x) называется чётной (на этом множестве), если для любого x ? X выполняется равенство

(это равенство называют условием чётности).

Свойства четных функций.

Если f (x) и g(x) есть чётные функции, заданные на одном и том же

множестве X , то функции f (x) ± g(x) , f (x) ? g(x) и f (x) g(x) ( g(x) ? 0) тоже чётны на множестве X .

Если функции y = f (x) и x =? (t) - чётны, то сложная функция

- чётна.

Функция y = f (x) , определённая на множестве X , называется периодической, если существует действительное число T ? 0 , называемое периодом функции, такое, что при любом x? X :

1) числа x ? T и x + T также принадлежат множеству X ;

2) выполняется равенство f (x + T ) = f (x).

Заметим, что если для данной функции f (x) существует хотя бы одно число T ? 0 , удовлетворяющее определению периодической функции, то существуют сразу бесконечно много периодов, поскольку, например, любое число nT , кратное периоду T (n? Z ), также будет периодом функции. Из определения периодической функции следует, что если - её периоды, причём, то число также является периодом этой функции.

Наименьший из положительных периодов данной функции, если он существует, называется её главным (основным) периодом. Не всякая периодическая функция имеет главный период.

Перечислим важнейшие свойства периодических функций, вытекающие из определения периодичности.

Свойства периодических функций

1. Если функция y = f (x) периодическая с периодом T , то для любого x из области определения функции число x + nT , n? Z , также принадлежит области определения функции, и при этом выполняется равенство

f (x + nT) = f (x) .

Следовательно, периодическая функция любое свое значение принимает бесконечное число раз. При этом если периодическая функция не определена в некоторой точке, то она не определена сразу во всех точках вида

2. График периодической функции представляет собой последовательность одинаковых повторяющихся участков длиной .

3. Если функция y = g(x) периодична с периодом T , то сложная функция y = f (g(x)) , если она определена хотя бы в одной точке, также периодична с периодом T . Заметим, что главный период сложной функции y= f (g(x)) может уменьшиться по сравнению с главным периодом функции g(x) . Например, главный период функции равен , а главный период сложной функции равен .

4. Если функция f (x) периодична с периодом T , A - любое действительное число, не равное нулю, то функции f (x) ± A, A? f (x) , f (x ± A) также периодичны с периодом T . То есть такие преобразования графиков функций, как параллельный перенос вдоль координатных осей и растяжение (сжатие) графика вдоль оси ординат не влияют на периодичность функции и не меняют её периода.

5. Если функция f (x) периодична с периодом T , A - любое действительное число, не равное нулю, то функция f (Ax) также периодична, причём с периодом, равным . То есть преобразования графиков функций, связанные с растяжением (сжатием) вдоль оси абсцисс, изменяют в соответствующее число раз период этих функций. Таким образом, если функция f (x) периодична с периодом T , то функция y = A? f (Bx + C) + D , где B ? 0 , будет периодической с периодом, равным. .

6. Если функция f (x) периодична с периодом , а функция g(x) периодична с периодом , причём отношение является рациональным числом (периоды в этом случае называются соизмеримыми), то функции f (x) ± g(x) , f (x) ? g(x) будут периодическими, и их период равен наименьшему числу T , при делении которого на в результате получаются целые числа.

Не всегда сумма периодических функций f (x) и g(x) является периодической функцией. Это имеет место в том случае, когда периоды функций несоизмеримы.

7. Никакая строго монотонная на всей области определения функция не может быть периодической, так как любая периодическая функция каждое своё значение принимает бесконечное число раз, а монотонная функция любое своё значение принимает только один раз.

Пусть задана функция y = f (x) с областью определения X и областью значений Y, которая разным значениям аргумента x ставит в соответствие разные числа y .

Обратной по отношению к y = f (x) называется такая функция , которая определена на множестве Y , и каждому ставит в соответствие такое x? X , что f (x) = y . Заметим, что символ в данном случае всего лишь обозначает обратную функцию. Хорошилова Е.В. Математика: Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов и абитуриентов МГУ им. М.В. Ломоносова: В 2-х частях. Часть 2. - М.: Изд-во ЗАО «ПСТМ», 2008.

Таким образом, для нахождения функции обратной к функции y = f (x) , надо решить уравнение f (x) = y относительно x .

Например, обратной функцией к линейной функции y = 3x ?1 является также линейная функция , обратной функцией к дробно-линейной функции является также дробно-линейная функция а обратной функцией к показательной функции является логарифмическая функция

Из определения обратной функции следует, что при любом x из множества X имеет место тождество

Заметим, что если функция является обратной к функции то функция является, в свою очередь, обратной к функции , и поэтому при любом y из множества Y имеет место тождество

То есть речь всегда идет о паре взаимно обратных функций . Функция, имеющая на множестве X обратную функцию, называется обратимой.

При изучении свойств взаимно обратных функций в курсе элементарной математики независимые переменные принято обозначать одной и той же буквой (обычно x ), а значения этих функций - также одной буквой (обычно y ). Другими словами, для функции y = f (x), x ? X , обратная функция часто записывается в виде Например, именно функции y = x +1, x ?R , и y = x ?1, x ?R , а также функции , и считаются в пособиях для школьников взаимно обратными.

Поэтому при решении задач на отыскание обратной функции для функции y = f (x) , заданной на множестве X , надо, решив уравнение f (x) = y относительно переменной затем поменять местами символы . Последняя операция приводит к тому, что графики взаимно обратных функций оказываются симметричными друг другу относительно прямой y = x . Это свойство позволяет, зная график одной из функций, быстро построить график обратной к ней, не проводя предварительных исследований её свойств.

Отметим, что в этих новых обозначениях имеют место следующие тождества:

Теорема (достаточное условие существования обратной функции).

Если функция y = f (x) определена и строго возрастает (убывает) на множестве X , то у неё существует обратная функция и она также строго возрастает (убывает) на множестве значений Y данной функции f (x) . Хорошилова Е.В. Математика: Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов и абитуриентов МГУ им. М.В. Ломоносова: В 2-х частях. Часть 2. - М.: Изд-во ЗАО «ПСТМ», 2008.

Условие строгой монотонности является и необходимым для существования обратной функции, если функция определена и непрерывна на числовом множестве X. При этом если функция y = f (x) имеет производную и f (x) ? 0 , то также имеет производную и .

Вообще, для того чтобы функция имела обратную (являлась обратимой), необходимо и достаточно, чтобы каждое своё значение она принимала ровно один раз, т.е. чтобы между областью определения функции и множеством её значений можно было установить взаимно однозначное соответствие.



Глава 2. Свойства функций в задачах с параметром

Область значений функции

Задача 1. При каких область значений функции не содержит ни одного целого четного числа?Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.. Задачи с параметрами. "Илекса". "Гимназия". Москва-Харьков, 1998 г.

Решение. Рассмотрим равенство как уравнение с параметрами и переменной Теперь поставим следующую задачу: найти все значения параметра при которых найдется такое что указанное уравнение имеет хотя бы одно решение.

Поскольку то переходим к равносильному уравнению

С помощью проверки, можно сделать вывод, что при это уравнение не имеет решений. Следовательно,

Ясно, что это уравнение имеет решение, если С учетом получаем Значит, область значений данной функции - промежуток Этот интервал не содержит ни одного четного числа, если он полностью «помещается» в отрезке где Для этого условия достаточно потребовать 

Перепишем систему в другом виде:

Ясно, что она имеет решения, если т.е. Отсюда возможны два случая: Значит, в первом случае во втором

Ответ:

Задача 2. При каких a неравенство имеет решения?

Решение. В данном неравенстве . Пусть , , тогда или . Но в данном неравенстве , так что можно записать . Отсюда . Это неравенство имеет решения, если a меньше наибольшего значения выражения . Так как , то наибольшее значение . Значит, исходное неравенство имеет решение при .

Ответ:

Задача 3. Решить систему



Решение. Сделаем замену где Имеем

Отсюда получаем

Тогда

Учитывая области значений функций записываем систему, определяющую область допустимых значений параметра

Отсюда При таких имеем



Ответ. Если то ; при других решений нет.

Задача 4. При каких значениях a найдутся такие b, что числа ;a; будут являться последовательными членами геометрической прогрессии?

Решение. По свойству членов геометрической прогрессии: .

Пусть , где t >0.

Рассмотрим функцию с областью определения .

Исследуя с помощью производной, найдем область значений функции при условии t >0. .

Следовательно, найдутся такие b, что . Отсюда .

Ответ:.

Экстремальные свойства функций

Задача 5. При каких значениях параметра система

имеет единственное решение?

Решение. Оценим левую и правую части первого неравенства системы. Квадратичная функция от расположенная в левой части неравенства, достигает своего наименьшего значения при Вместе с тем правая часть задает функцию вида где Для этой функции на отрезке наибольшее значение, равное 5, достигает лишь в одной точке (здесь существенно, что острый угол).

Условие единственности решения будет получено тогда и только тогда, когда Отсюда или

Ответ: или

Задача 6. Для всех действительных значений решить уравнение

Решение. Область определения уравнения найдем, решив систему

Отсюда Для получения значений имеем

Следовательно,

Таким образом, левая часть уравнения не положительна, в то время как правая - не отрицательна. Значит, для существования корней необходимо и достаточно, чтобы и правая, и левая части одновременно принимали нулевые значения. Итак, исходное уравнение равносильно системе

Поскольку то из второго уравнения системы получаем Подставляя найденное значение для в первое уравнение, устанавливаем, что

Ответ. Если то если то решений нет.

Монотонность

Задача 7. Решить систему уравнений

Решение. Вычтем из первого уравнения второе. Получим

Рассмотрим функцию Она возрастающая. Имеем Следовательно, Отсюда Это уравнение равносильно системе

Очевидно, что

Ответ. Если то если то решений нет.

Задача 8. Для решить уравнение

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

Пусть Отсюда Тогда исходное уравнение становится таким:

Необходимо рассмотреть функцию Очевидно эта функция монотонной не является. Однако она является возрастающей на промежутке Так как и то Таким образом, аргументы и принадлежат промежутку монотонности функции Следовательно, имея получаем

Отсюда

Сопоставив это уравнение с исходным, запишем Заметим, что в этом уравнении требование «обыграно». Для полученное уравнение имеет положительный дискриминант. Его корни

Ответ.

Четность.

Задача 9. Дана функция где . При каком значении функция является четной?

Решение. Так как область определения функции все действительные числа, то для ее четности достаточно потребовать выполнение равенства при всех Имеем

Решением последнего уравнения будет любое действительное число тогда и только тогда, когда т.е. при

Ответ.

Задача 10. Найти все значения a, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. Функции, входящие в левую и правую части уравнения являются чётными относительно x. Если является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если , то есть . Подставим значение x=0 в исходное уравнение:

; , откуда



При a=2 исходное уравнение принимает вид . Корнями этого уравнения являются числа -2;0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.

При уравнение принимает вид: и имеет единственный корень x=0.

Ответ: a=0; a=4.

Периодичность.

Задача 11. При каких число является периодом функции

?

Решение. Для того, чтобы число являлось периодом функции необходимо выполнение равенства при всех допустимых

Имеем

Последнее равенство становится тождеством только при Следовательно, функция приобретает вид

Перед тем как записать ответ, заметим, что если то

Ответ.

Обратимость.

Задача 12. Указать все значения параметра для которых уравнение имеет решения.

Решение. Запишем систему

Рассмотрим функцию при Отметим, что эта функция на рассматриваемом промежутке обратима. Обратной для нее будет функция Таким образом, в левой и правой частях уравнения системы стоят взаимно обратные на промежутке функции. Так как они возрастают на указанном промежутке, то общие точки их графиков (если они существуют) лежат на прямой .

Запишем систему

Заметим, что эта система учитывает требования Рассмотрим функцию Очевидно, на отрезке ее область значений - весь промежуток Отсюда

Ответ:



Заключение

Данная курсовая работа посвящена теме: «Свойства функций в задачах с параметром».

В процессе выполнения работы были решены следующие задачи:

изучена литература по данной теме;

рассмотрены основные свойства функций:

область определения и множество значений функций;

экстремальные свойства функций;

монотонные функции;

чётность, периодичность, обратимость;

самостоятельно подобраны и решены задачи по исследованной теме.

Таким образом, в данной работе были выполнены все поставленные задачи, значит, цель данной работы реализована полностью.

функция периодичность обратимость монотонный



Список литературы

1. Авилов Н.И., Войта Е.А., Дерезин С.В. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2015.Книга1: учебно-методическое пособие/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. - Ростов-на-Дону:Легион, 2014.

2. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справ. Пособие по математике. - 2-е изд. - Мн.:ООО «Асар», 2002.

3. Болгарский Б. В. Очерки по истории математики. - 2-е изд., испр. и доп. - Мн.: Выш. школа, 1979.

4. Бояркина Г.П., Пащенко Г.Я.. Задачи с параметрами. Учебное пособие. Иркутск, 2001 г.

5. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. Пер.с франц. - М., Изд. ин.лит., 1963.

6. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.. Задачи с параметрами. "Илекса". "Гимназия". Москва-Харьков, 1998 г.

7. Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решения. Москва, "ИНФРА-М., 1997 г.

8. Надежкина Н.В. Задачи с параметрами. Параметры в тригонометрии. Иркутск, 2001 г.

9. Сканави М. И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., М.:1974 г.

10. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства: Пособие для поступающих /А.И.Новиков; Рязан. гос. радиотехн. акад. Рязань, 2005.

11. Хорошилова Е.В. Математика: Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов и абитуриентов МГУ им. М.В. Ломоносова: В 2-х частях. Часть 2. - М.: Изд-во ЗАО «ПСТМ», 2008.

12. Шарыгин И.Ф.. Решение задач. Москва. "Просвещение", 1994 г.

13. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. Э-68 А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1989.

Размещено на Allbest.ru

...