Операторозначная логика

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Операторозначная логика

Мануилов Н. Ф.

В статье рассматривается логическая система, в которой множеством истинности является множество самосопряженных положительных операторов в гильбертовом пространстве. Полученные результаты могут быть полезными для представления нечеткой информации, в частности информации о квантовых системах, а также в теории нечеткого логического вывода и в теории нечетких нейронных сетей.

Ключевые слова: гильбертово пространство, положительный оператор, логика со значениями истинности во множестве операторов, логические операции, логическое следование.

операторозначный логика гильбертовый

1. Некоторые сведения о гильбертовых пространствах

Определение 1.1. Комплексное векторное пространство H называется пространством с внутренним произведением, если существует комплекснозначная функция (* , *) на H H удовлетворяющая следующим четырем условиям при всех х, у, z H и C (C--поле комплексных чисел):

(a) (х, х) 0, причем (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

(b) (х, у + z) = (х, у) + (х, z);

(c) (x, у) = (х, у);

(d)

Функция (*, *) называется внутренним произведением.

Пространство с внутренним произведением становится нормированным, если норму определить по формуле (1)

||x|| = .

Определение 1.2 Полное (в топологии, задаваемой нормой (1)) пространство с внутренним произведением называется гильбертовым пространством.

Линейный оператор A в гильбертовом пространстве H называется ограниченным, если существует константа k такая, что для всех x H выполняется неравенство

||Ax|| k||x||.

Наименьшая из таких констант называется нормой оператора и обозначается ||A||.

Норму самосопряженного (см. далее) оператора можно определить по любой из формул:

||A|| = sup ||Ax||, при ||x||=1; ||A|| = sup |(Ax,x)|, при ||x||=1.

Если A ограниченный оператор, то существует единственный оператор A* , удовлетворяющий ( при любых x, y H ) равенству:

(Ax, y) = (x, A*y).

Оператор A* называется сопряженным оператору A. Пусть L(H) -банахово пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом прстранстве H. Справедлива

Теорема 1.1

(а) A A*--сопряженно-линейный изометрический изоморфизм L(H) на себя.

(AB)* = B*A*.

(A*)* = A.

Если A обладает ограниченным обратным A-1, то A* обладает ограниченным обратным и (A*)-1 = (A-1)*.

|| A*A || = ||A ||2

Доказательство (см.2,стр.209).

Определение 1.3 Ограниченный оператор A называется самосопряженным, если A= A*.

Определение1.4 Пусть A L(H) . Говорят, что комплексное число л лежит в резольвентном множестве (A) оператора A, если оператор лI---A есть биекция с ограниченным обратным. Резольвентой A в точке л называют оператор Rл (T)= (л I-- A)-1. Если л не принадлежит (A) , то говорят, что л лежит в спектре (A) оператора A;

вектор х H, удовлетворяющий условию Aх= лх при некотором л С, называется собственным вектором A; число л называется соответствующим собственным значением. Если л -- собственное значение, то лI--A не инъективен, так что л лежит в спектре A. Множество всех собственных значений называется точечным спектром оператора A.

Теорема 1.2. Пусть A--самосопряженный оператор .Тогда

спектр (A) равен (в смысле теории множеств) точечному спектру оператора A;

(A) --подмножество в R (R - поле действительных чисел);

собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям A, ортогональны.

Доказательство (см.2,стр217).

Определение 1.5 Величина

r(A) = sup (|л|) при л (A)

называется спектральным радиусом оператора A.

Теорема 1.3. Если A - самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве, то r(A)=||A||.

Доказательство (см.2,стр.215).

Определение1.6 Пусть H -- гильбертово пространство. Оператор A L(H) называется положительным, если (Aх, х) 0 для всех х H. Мы пишем A 0, если A положителен, и А В, если А -- В 0.

Теорема 1.4 (характеризация положительных операторов)

(a) положительность самосопряженного оператора равносильна представимости его в виде

A = B2,

где B = B*; если A положителен, то существует единственный положительный оператор B (его называют квадратным корнем из A) , для которого

A = B2;

(b) самосопряженный оператор A положителен тогда и только тогда, когда ||I-A/||A|||| 1;

если A самосопряжен, ||A|| 1 и ||I-A|| 1, то A - положительный оператор;

(c) пусть A L(H) . Тогда (Ax,x) 0 для каждого х H в том и только в том случае когда A самосопряжен и (A) [0,?).

Доказательство (см.1, стр43, 3, стр.352).

Введенное выше отношение « » является частичным порядком на множестве самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Ряд его дополнительных свойств представлен в следующем предложении.

Теорема 1.5 Пусть A,B,C - самосопряженные операторы. Справедливы следующие утверждения:

(a) Если A B 0, то ||A|| ||B||;

(b) Если A 0, то A||A|| A2;

(c) Если A B 0, то C*AC C*BC 0;

(d) Если A B 0 и л>0, то (B+ лI)-1 (A+ лI)-1;

(e) Если A B 0 и операторы A,B обратимы, то B-1 A-1.

Доказательство. (a-d см.1,стр.45).

Докажем (e). По теореме 1.4 и из (c)

B-1/2 A B-1/2 I

Спектр оператора правой части этого неравенства включается в промежуток [1,?), а спектр обратного ему оператора включается в промежуток [0,1] (см. Теорему1.6).Поэтому

B1/2 A-1 B1/2 I.

Умножая обе части этого неравенства справа и слева на B-1/2, получаем: B-1 A-1.

В следующем предложении используются обозначения: (А) - спектр оператора А,

С ( (А)) - алгебра непрерывных на спектре А функций, L (H) - банахово пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H, ||f||?-- sup - норма функции f, л - комплексное число, -- элемент комплексно сопряженный f .

Теорема1.6 ( функциональное исчисление непрерывных функций).

Пусть A -- самосопряженный ограниченный оператор на гильбертовом пространстве H. Тогда существует единственное отображение (зависящее от A)

F: С ( (А)) L (H)

со следующими свойствами:

(а) отображение F есть алгебраический * -гомоморфизм, т. е.

F(fg) = F(f)F(g), F(лf) = лF(f), F(1) = I, F() = ;

отображение F непрерывно, т. е. || F (f) ||L(H) k ||f||?;

если f(х) = х, то F (f) = А.

если вектор ш ( ш H) таков, что A ш =л ш , то F (f) ш = f (л) ш;

[F(f)] = {f(л)| л (А)};

F(f) 0 тогда и только тогда когда f0 ;

||F (f) || = ||f||? (усиление свойства (b)).

Доказательство (см. 2, стр.247-249).

2. Определение операторозначной логической алгебры OP и некоторые ее свойства

Пусть P - множество самосопряженных ограниченных положительных обратимых операторов в гильбертовом пространстве H. Несложно доказывается, что P замкнуто относительно операций:

-отрицания”-“ ,заданного формулой для A U , c>0

=c2A-1;

-конъюнкции “”: A, B U

AB =A+B;

-дизъюнкции””: A, B U

AB = (A-1+B-1)-1.

Переменные A, B, … с областью значений P будем называть операторозначными логическими переменными, а конкретные элементы множества P- их значениями истинности.

Определение 2.1. Алгебру OP, заданную формулой

OP = (P , , -, ),

где Р, указанное выше множество положительных операторов в гильбертовом пространстве H, является носителем алгебры, а (, -, ) ее сигнатурой, будем называть операторозначной логической алгеброй .

В следующем предложении перечисляются простейшие свойства операций алгебры OP, непосредственно следующие из их определений.

Теорема 2.1. В алгебре OP выполняются равенства

( a) = A;

(b) AB = BA , AB = BA ;

(c) A(BC) = (AB)C, A(BC) =( AB)C;

(d) =, = .

Доказательство опускаем.

Как видно из этой теоремы, операция отрицания является инволюцией, операции конъюнкция и дизъюнкция коммутативны, ассоциативны и связаны законами де Моргана.

Определение 2.2. Импликацию A B в алгебре OP определяем по формуле

A B = B.

Учитывая определение отрицания и дизъюнкции, можно написать

A B =(с-2A + B-1)-1.

Теорема 2.2.Для (0; c) из неравенства

A ( A B ) I

следует неравенство B I, где I - единичный оператор.

Доказательство. Неравенство

A ( A B ) I

запишем в равносильном виде

A +( с-2A + B-1)-1 I.

Из определения частичного порядка “ ” в множестве P и его транзитивности следуют положительность оператора I - A и неравенство

( с-2A + B-1)-1 I-A.

Оба оператора в последнем неравенстве (его правая и левая части) обратимы, поэтому

с-2A + B-1 (I-A)-1

Операторной функции f(A) = (I-A)-1 - с-2A сопоставим числовую функцию

f(t) = (-t)-1 - с-2t , t [0; ) .

Так как

= (-t)-2 - с-2 >0 ,

то функция f(t) возрастает в промежутке [0; ) и поэтому в нем f(t) > f(0)>0. Отсюда на основании теоремы 1.6 следует положительность операторной функции f(A). Обратимость оператора f(A) влечет из неравенства

B-1 (I-A)-1 - с-2A

Неравенство

B ((I-A)-1 - с-2A)-1.

Сопоставим операторной функции g(A) = ((I-A)-1 - с-2A)-1 числовую функцию

g(t) = ((-t)-1 - с-2t)-1.

Ее производная отрицательна в рассматриваемом промежутке, следовательно, при t [0;), g(t) g(0)= . Но тогда g(A) I.

Теорема 2.2 доказана.

Введенная импликация и теорема 2.2 служат основанием для определения понятия логического вывода в системе высказываний представленных формулами алгебры OP.

Определение 2.2. Формула Ф называется логическим следствием формул Ф1, Ф2, … ,Фk на уровне , если из системы неравенств

Фi I, i=1,2, … , k ,

следует неравенство Ф I.

С учетом этого определения утверждение теоремы 2.2. можно сформулировать так.

Для (0; c) формула B является логическим следствием на уровне формулы

A ( A B ) .

Отметим, что введенная импликация не позволяет применять правило modus ponens (на выбранном уровне ) в классическом варианте: из A и A B следует B и требует его «усиленного» варианта: из A ( A B ) следует B. Положение исправляется, если иначе определить импликацию.

Определение 2.3. Импликацию A B определим по формуле

A B =( A B).

Теорема 2.3Для (0;c ) из неравенств

A I, A B I

следует неравенство B I, где I - единичный оператор.

Доказательство опускаем.

В заключение отметим, что получены операторные неравенства, соответствующие некоторым тождественно истинным формулам классической логики высказываний, которые позволяют выбирать естественную границу для уровня логического вывода - числа . Отметим также, что алгебра OP может быть модифицирована так, что ее носителем будет P1- множество самосопряженных положительных операторов, спектральный радиус которых не превосходит 1.

Литература

1. У. Браттели, Д. Робинсон. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика.М.: «Мир», 1982,512с.

2.М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Функциональный анализ.М.: «Мир», 1977,358с.

3.У. Рудин. Функциональный анализ. М.: «Мир»,1975,445с.

4. Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин. Математическая логика. М.: «Лань», 2005,336с.

5. Мануилов Н.Ф. Операторозначная логика: определения и простейшие свойства. Материалы конференции «12 Кирилло-Мефодиевские чтения», Смоленск, СГУ,2006.

Размещено на Allbest.ru

...