Динамика взаимодействия трех соосных оболочек, свободно опертых на концах, взаимодействующих с пульсирующими слоями вязкой жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамика взаимодействия трех соосных оболочек, свободно опертых на концах, взаимодействующих с пульсирующими слоями вязкой жидкости

Аннотации

Предложена математическая модель трубы, состоящая из трех соосных упругих цилиндрических оболочек, свободно опертых на концах, взаимодействующих с вязкими несжимаемыми жидкостями между ними при пульсации давления на концах. Постановка математической модели рассмотрена в осесимметричном случае. Выполнено при поддержке грантов РФФИ 13-01-00049-а, 15-01-01604-а.

Ключевые слова: гидроупругость, вязкая несжимаемая жидкость, соосные оболочки, пульсация давления

Elistratova Olga Vasilevna

Stolypin Volga Region Institute Russian Academy

of Public Administration under the President

of the Russian Federation

Russia, Saratov

graduate student

E-mail: olgaseregina@mail.ru

Kondratov Dmitry Vyacheslavovich

Stolypin Volga Region Institute Russian Academy

of Public Administration under the President

of the Russian Federation

Russia, Saratov

chief of The Department of Applied informatics

and information technology in management

E-mail: KondratovDV@yandex.ru

Plaksina Irina Vladimirovna

Stolypin Volga Region Institute Russian Academy

of Public Administration under the President

of the Russian Federation

Russia, Saratov

Docent of The Department of Applied informatics

and information technology in management

E-mail: chefirina@yandex.ru

Mogilevich Lev Ilich

Volga Region Branch of Moscow State

University of Means of Communication

Russia, Saratov

Professor of the Department of Higher and Applied Mathematics

E-mail: mogilevich@sgu.ru

DYNAMICS OF INTERACTION OF THREE COAXIAL SHELLS, FREELY SUPPORTED AT THE ENDS, INTERACTING WITH PULSATING LAYERS VISCOUS FLUID

A mathematical model of the pipe consisting of three coaxial cylindrical elastic shells simply supported at the ends of interacting with a viscous incompressible fluid between when pressure pulsations at the ends. Formulation of a mathematical model is considered in the axisymmetric case.The research was financially supported by the Russian Foundation of Basic Researches (Projects 13-01-00049-a and 15-01-01604-a).

Ключевые слова: hydroelasticity, a viscous incompressible liquid, coaxial shells, pressure pulsation.

В настоящее время в технике все чаще используются тонкостенные конструкции, взаимодействующие с вязкой несжимаемой жидкостью. Такие конструкций не только позволяют обеспечить необходимые прочностные характеристики при уменьшении веса и габаритов деталей, но и снизить и выровнять динамические воздействия. Однако, решение задач динамического взаимодействия тонкостенных конструкций является достаточно трудоемким, что и определяет актуальность исследования. Системы "оболочка -жидкость-оболочка" широко используется в авиационной и ракетно-космической отрасли, а также железнодорожном транспорте [1-9]. Вместе с тем, процесс создание математической модели, позволяющей исследовать динамические процессы в указанной системе с учетом воздействия различных источников вибрации и перепада давления, податливости оболочек, параметров жидкостей, является трудоемким и достаточно сложным, поэтому они представляют большой научный и практический интерес, что и определило актуальность нашего исследования. Ранее рассматривались задачи о двух соосных упругих цилиндрических оболочках жестко защемленных на концах или свободно опертых на концах в условиях вибрации [3, 4, 6-8], и в условиях гармонического перепада давления на концах [4, 5].

Рассмотрим механическую систему (рис. 1), состоящую из трех соосных упругих цилиндрических оболочек, свободно опертых по концам, взаимодействующих с вязкими несжимаемыми жидкостями, протекающих между ними, при наличии гармонического перепада давления на концах механической системы. Перемещения внутренней и средней оболочки относительно внешней, также перемещение внутренней и средней оболочки относительно друг друга, на концах механической системы отсутствует. Вязкие несжимаемые жидкости протекают между внешней и средней, и между средней и внутренней оболочками. Механическая система считается термостабилизированной.

Математическая модель рассматриваемой механической системы является связанная нелинейная система, состоящая из нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных - уравнений Навье - Стокса и уравнения неразрывности - для описания динамики каждой из двух вязких несжимаемых жидкостей, дифференциальных уравнений в частных производных для описания динамики каждой из трех упругих цилиндрических оболочек, полученных исходя из гипотез Кирхгофа-Лява и соответствующих граничные условий для жидкости и оболочек [9]. В данной постановке динамических воздействий можно упростить задачу, рассмотрев осесимметричный случай.

Рис.1. Механическая модель

В осесимметричном случае уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности, примут вид:

,

. (1)

Здесь или ; при , при ; - компоненты вектора скоростей жидкости; - плотность жидкости; - кинематический коэффициент вязкости; у - координата вдоль оси симметрии ; r - расстояние от оси ; t - время; - слой жидкости между оболочкой 1 и оболочкой 2; - слой жидкости между оболочкой 2 и оболочкой 3. математический труба модель

Граничные условия прилипания жидкости к поверхностям оболочек в осесимметричном случае примут вид:

, при ; ,

при ;

при , при

, (2).

Уравнения динамики оболочек, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява, в осесиметричном случае запишутся в следующем виде:

,, (3)

где верхний индекс 1 относится к внешней оболочке, а индекс 2 - к средней оболочке и индекс 3 - к внутренней оболочке; - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона, - плотность материала, - радиус срединной поверхности,

- толщина оболочки, q - напряжения на поверхностях оболочек со стороны слоя жидкости.

Граничные условия для перемещений оболочки состоят в условиях свободного опирания на торцах:

, , при . (4)

Кроме того, для обеих оболочек ставятся условия периодичности параметров по с периодом .

Таким образом, получили математическую модель механической системы, состоящей из трех соосных упругих цилиндрических оболочек, взаимодействующих через слой вязкой несжимаемой жидкости при пульсации давления. Математическая модель рассматриваемой системы: "оболочка - жидкость - оболочка - жидкость - оболочка" представляет собой связанную систему уравнений, включающую нелинейные уравнения в частных производных Навье-Стокса и уравнение неразрывности для описания динамики жидкостей, находящихся между упругими цилиндрическими оболочками, также уравнения в частных производных для описания динамики упругих цилиндрических оболочек, полученные исходя из гипотез Кирхгофа-Лява и соответствующие граничные условия. Решение получившейся задачи гидроупругости позволит определить амплитудные частотные характеристики каждой из оболочек. Амплитудные частотные характеристики, которые будут получены в результате исследования указанных моделей оболочек позволят выявить опасные режимы работы.

Литература

1. Башта Т.М. Машиностроительная гидравлика. - М.: Машгиз, 1963. - 696 с.

2. Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия цилиндропоршневой группы двигателя внутреннего сгорания и слоя охлаждающей жидкости // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2003. № 1. С. 79.

3. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И .Математическое моделирование процессов взаимодействия двух цилиндрических оболочек со слоем жидкости между ними при отсутствии торцевого истечения в условия вибрации// Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. Т. 3. № 2. С. 15-23.

4. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Упругогидродинамика машин и приборов на транспорте.- М.: РГОТУПС, 2007, 169 с.

5. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Могилевич Л.И. Исследование амплитудных частотных характеристик колебаний упругих стенок трубы кольцевого профиля при пульсирующем движении вязкой жидкости в условиях жесткого защемления по торцам// Проблемы машиностроения и надежности машин. 2009. № 3. С. 15-21

6. Епишкина И.Н., Могилевич Л.И., Попов В.С., Симдянкин А.А. Математическое моделирование вынужденных колебаний гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2001. № 4. С. 19-26

7. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом прибора на вибрирующем основании// Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2005. № 3. С. 11-21.

8. Кондратов Д.В., Калинина А.В. Исследование процессов гидроупругости ребристой трубы кольцевого профиля при воздействии вибрации// Труды МАИ. 2014. № 78. С. 4.

9. Барулина К.А., Кондратов Д.В., Кузнецова Ек. Л. Гидроупругость трех соосных оболочек, свободно опертых по концам, взаимодействующих с вязкими жидкостями в условиях вибрации //Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015, С. 25-36.

Размещено на Allbest.ru