Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

"Таганрогский государственный педагогический институт имени А.П. Чехова"

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Построение конечных колец и полей

курсовая работа по геометрии

по специальности 050201.2 Математика (бакалавр)

Выполнила: студентка II курса

Богданова Эмма Алексеевна

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры алгебры и геометрии

Сидорякина Валентина Владимировна

Содержание

Конечное поле или поле Галуа - поле, состоящее из конечного числа элементов.

Конечное поле обычно обозначается F_q или GF (q), где q - число элементов поля.

Простейшим примером конечного поля является Z_{p -} кольцо вычетов по модулю простого числа p.

Свойства

§ Характеристика конечного поля является простым числом.

§ Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: |F_q| = q = pⁿ.

§ Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле из q = pⁿ элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена x^q - x ? F_p [x].

§ Мультипликативная группа F^*_q конечного поля F_q является циклической группой порядка q ? 1.

§ В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент б, порядок которого равен q ? 1, то есть б^{q ? 1} = 1 и б^??1 для 0 < i < q ? 1.

§ Любой ненулевой элемент в является некоторой степенью примитивного элемента:

в=б^?,??{0,1,…,q-2}.

§ Поле F_pⁿ содержит в себе в качестве подполя F_p^k тогда и только тогда, когда k является делителем n.

Идеалом I кольца называется подгруппа аддитивной группы (подпространство), такая что если x? I, y? A, то xy? I и yx? I. Т.е. идеал выдерживает умножение слева и справа на все элементы кольца (алгебры).

Определение

Кольцо называется простым, если в нем всего два идеала: 0 и оно само.

Определение

Коммутативная ассоциативная область (без делителей нуля) с единицей называется кольцом главных идеалов, если в нем любой идеал главный.

Например в кольце целых чисел Z любой идеал всегда подгруппа, т.е. I=nZ, т.е. любой идеал главный и это кольцо главных идеалов.

Определение

Отображение называется гомоморфизмом алгебр, если

1) ,

2) ,

3) .

Изоморфизмом называется биективный гомоморфизм.

Автоморфизмом называется изоморфизм алгебры на себя.

Мономорфизмом называется инъективный гомоморфизм.

Эпиморфизмом называется сюръективный гомоморфизм.

Ядром гомоморфизма называется полный прообраз нуля

1. Хорошо известными примерами полей являются, конечно, поля R, Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел. Любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e. Этот “минимальный” запас элементов и достаточен для образования поля. Построенное поле из двух элементов обозначается GF (2). Напомним также, что если p - простое число, то все вычитаемые по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Значит, рассматривая группу Z, с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF (p).

2. Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа содержит всего 2 элемента 1 и - 1 и потому изоморфна . Элементы, не входящие в необратимы, хотя и не являются делителями нуля.

3. Пусть R - любое ассоциативное коммутативное кольцо. Множество - квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц. Кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит единицу , то матрица Е = diag (,,., ), будет единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы имеет смысл понятие определителя det (A) R, причем det (AB) =det (A) det (B). Если det (A) обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: , где - присоединенная к А матрица (то есть транспонированная матрица из алгебраических дополнений). Таким образом, = - группа матриц порядка n с обратимым определителем. В случае поля R это означает, что det (A) 0, то есть матрица невырождена. С другой стороны, в этом случае любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В самом деле, из det (A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: , причем не все коэффициенты нулевые. Построим ненулевую матрицу В, взяв в качестве ее первого столбца и считая прочие элементы В нулевыми. Тогда А*В = 0 и значит А - делитель нуля.

4. Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ. Формальная сумма вида p= , где называется многочленом над кольцом R. Если , то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg (p). Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам, и они образуют кольцо R [x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p=e будет единицей кольца R [x]. Если R не имеет делителей нуля, то deg (pq) =deg (p) + deg (q) и потому R [x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени. Отметим, что эта конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных: по определению, R [x,y] =R [x] [y] (=R [y] [x]).

Определение

Подмножество называется подкольцом, если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.

Это означает, что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: . Отметим, что если R обладает свойством ассоциативности, коммутативности или отсутствием делителей нуля, то и К обладает теми же свойствами. В то же время, подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2Z Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не равны друг другу. Так будет, например, для подкольца, состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом; = diag (1,1,., 1,0) =diag (1,1,., 1).

Определение

Гомоморфизмом колец называется отображение, сохраняющее обе кольцевые операции: и . Изоморфизм - это взаимно однозначный гомоморфизм.

Ядро гомоморфизма - это ядро группового гомоморфизма аддитивных групп, то есть множество всех элементов из R, которые отображаются в .

Пусть снова - некоторое подкольцо. Поскольку (К,+) - подгруппа коммутативной группы (R,+), можно образовать факторгруппу R/K, элементами которой являются смежные классы r+K. Поскольку К*К К, для произведения двух смежных классов имеет место включение:

(r+K) * (s+K) r*s+r*K+K*s+K.

Определение

Подкольцо К называется идеалом кольца R, если : x*K K и K*y K. Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов (r+K) * (s+K) содержится в смежном классе r*s+K. Значит в факторгруппе R/K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.

Примеры.

1. Подкольцо nZ является идеалом кольца Z, поскольку для любого целого m m (n Z) n Z. Факторкольцо Z /n Z - это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Отметим, что если число n не является простым, то Z /n Z имеет делители нуля.

2. Пусть I R [x] - множество всех многочленов , у которых =0. Удобно записать: I = x R [x]. Поскольку p*I = (p*x) R [x] I, мы имеем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q+I содержит элемент . Значит, (q+I) * (s+I) = (+I) * ( +I) = * +I.

3. Рассмотрим некоторое ассоциативное коммутативное кольцо S. Если любой его элемент, то множество I=x*S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x. Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x) =S.

4. Если кольцо S является полем, то всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем. В самом деле, если , x 0, то для всякого имеем: , откуда .

5. Пусть I идеал кольца R. Сопоставляя каждому элементу смежный класс r+I, получаем сюръективный гомоморфизм . Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.

Замечание. Свойства ассоциативности, коммутативности и наличия единицы очевидно сохраняются при переходе к факторкольцу. Напротив, отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце.

Кольцо многочленов над полем

Пусть p = некоторый многочлен над k и . Элемент поля k, равный, называется значением многочлена p в точке a и обозначается p (a). Соответствие является гомоморфизмом Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p (a) = 0, то есть a является их корнем. Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k [x] (x - a + ), а каждый идеал в k [x] - главный, то I = (x-a). Мы приходим таким образом к теореме Безу: элемент будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p. Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней.

Если | p, то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ; . Отсюда следует, что и потому наличие у многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие у его производной того же корня кратности не ниже (n-1). В частности, если p (a) = 0, но , то корень a - простой (то есть не кратный).

Если | p, но не делит p, то число n называется кратностью корня a. Пусть - множество всех корней многочлена p с указанными кратностями. Поскольку при a b НОД (, ) =1, многочлен p делится на и потому deg (p) . Итак, многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности.

построение конечное кольцо поле

Заключение