Математическая гармония в природе, науке, культуре

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Размещено на http: //www. allbest. ru/

ГБПОУ Колледж легкой промышленности

Математическая гармония в природе, науке, культуре

Белицер Елизавета Андреевна, обучающаяся 10 класс

Руководители: Пименова Наталья Владимировна, преподаватель

Могуева Светлана Викторовна. преподаватель

e-mail: n.pimenova@klp5.ru, s.mogyeva@klp5.ru

Аннотация

в данной статье рассматривается практический смысл, закономерности и связи с различными аспектами жизнедеятельности человека понятия «Золотое Сечение».

Ключевые слова: золотое сечение, способ архитекторов, числовые закономерности и пропорции, последовательность Фибоначчи, треугольник Паскаля.

Abstract

Mathematical harmony in nature, science, culture

Belitser Elizaveta Andreevna, teaches Grade 10

GBPOU College of Light Industry,

Leaders: Pimenova Natalia, teacher

Svetlana Mogueva. teacher

GBPOU College of Light Industry,

e-mail: n.pimenova@klp5.ru, s.mogyeva@klp5.ru

This article examines the practical sense , patterns and links with various aspects of human life the concept of " Golden Section " .

Key words : golden section , the way architects, numerical patterns and proportions , the Fibonacci sequence , Pascal's triangle.

Золотое сечение в сознании многих поколений традиционно связано с поисками формулы красоты и гармонии, познанием единых критериев прекрасного.

Современным ученым «Золотое сечение» представляется как одно из высших проявлений структурно-функциональной соразмерности целого и составных частей.

Наличие разнообразных пропорций и симметрий - это объективная присущая мирозданию реальность. Только одни из них распространены больше, а другие меньше. Однако ни те, ни иные не главенствуют в природе, образуя общий миропорядок.

Компоненты или элементы целого часто исчисляются бесконечными множествами, где «Золотая» пропорция настолько размыта и нечетко выражена, что трансформируется в совершенно иные формы. В равной степени это относится и к обратному переходу, когда невыясненные закономерности далеки от гармонических пропорций, но в своих проявлениях демонстрируют свойства, которые приближенно напоминают признаки этих пропорций.

Впервые в истории последовательное представление о мире как внутренне противоречивом, но гармоничном в целом было выработано древними греками.

Древние, - писал Г.Д. Гримм, - понимали пропорцию следующим образом: «Две части или две величины не могут быть ...связаны между собой без посредства третьей... . Достигается это... пропорцией, в которой из трех чисел... среднее так относится ко второму, как первое к среднему, а также второе к среднему, как среднее к первому».

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Рис. 1

«Учение о гармонии и Золотом сечении» в своем историческом развитии

Как свидетельствуют археологические данные, история «Золотого Сечения» уходит вглубь тысячелетий.

Пифагорейцы (VI в. до н.э.) впервые выдвинули мысль о гармоническом устройстве всего мира, создав учение о созидательной сущности числа. Знаменитый античный архитектор Витрувий рассматривал гармонию, прежде всего, как соразмерность.

Леонардо из Пизы, более известный под именем Фибоначчи в 1202 г выпустил математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из них формулировалась следующим образом: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Фибоначчи выстроил ряд цифр, получившей впоследствии название числовой последовательности Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,..., , … (5)

Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих:

2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5; 13 = 5 + 8 и т.д.

Таким образом, n-й член которой задается следующим рекуррентным соотношением:

(6)

при начальных членах

. (7)

Уже в Древней Греции изучение сущности красоты и прекрасного сформировалось в самостоятельную ветвь науки - эстетику, Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью.

Выделим три основных понимания гармонии: математическая - как равенство или соразмерность частей друг с другом и части с целым; эстетическая, которая связана с эстетической оценкой при восприятии того или иного явления; художественная, имеющая связь с искусством.

В настоящей работе основное внимание уделено математической гармонии, понимание которой имеет математический вид и выражается в виде определенных числовых пропорций.

Математическая теория гармонии

В разговорном языке «гармония» (греч. ?смпн?б) означает связь, комбинацию, упорядоченность.

Раздел математики, который изучает различного вида сочетания (соединения), которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества - Комбинаторика.

Термин «комбинаторика» стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1666 году работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве», в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок.

Рассмотрим следующие выражения, известные как формулы сокращенного умножения:

(a+b)⁰ = 1

(a+b)¹ = 1a + 1b

(a+b)² = 1a² + 2ab + 1b²

(a+b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b²

и бином Ньютона

биноминальный фибоначчи золотой сечение

(a+b)ⁿ =  aⁿ +  a^n-1b +  a^n-2b² + … +  a^n-kb^k + … +  ab^n-1 +  bⁿ.(18)

В частности, при n=1 формула (18) принимает вид:

(a+b)¹ =  a +  b = 1a + 1b,

откуда вытекает, что  =1 и  =1.

При n=2 формула (20) принимает вид:

(a+b)² =  a² +  ab +  b² = 1a² + 2ab + 1b²,

откуда вытекает, что  = 1,  = 2,  = 1.

Таким образом, задача вычисления сводится к вычислению биномиальных коэффициентов  .

В 17 в. французский физик и математик Блез Паскаль (1623-1662) обнаружил, что биномиальные коэффициенты обладают следующими замечательными свойствами:

 =  = 1;  =  ;(19)

=  +  .(20)

Паскаль предложил способ вычисления биномиальных коэффициентов, расположив их в виде треугольной таблицы чисел, называемой треугольником Паскаля.

Треугольник Паскаля

Верхняя строка таблицы - нулевая строка. Здесь находится единственный биномиальный коэффициент  =1. Следующая строка, называемая первой, состоит из двух единиц, симметрично расположенных относительно единицы нулевой строки. Это -- биномиальные коэффициенты  = 1 и  = 1. Каждая последующая строка состоит из двух единиц, расположенных по ее краям (биномиальные коэффициенты типа  = 1 и  = 1).

Каждое «внутреннее» число этой строки формируется из двух чисел предыдущей строки, стоящих над этим числом слева и справа относительно этого числа, по «закону Паскаля» (22).

Существует много форм представления треугольника Паскаля.

Прямоугольный треугольник Паскаля

Такая таблица начинается с «нулевого столбца», который содержит единственный биномиальный коэффициент  = 1 и из «нулевого ряда», который содержит биномиальные коэффициенты:  = 1,  = 1,  = 1,  = 1,...,  = 1,....

«Гипотенуза» прямоугольного треугольника Паскаля состоит из биномиальных коэффициентов типа  =1,  =1,  =1,....,  = 1,....

В n-м столбце сверху вниз расположены следующие биномиальные коэффициенты:  ,  ,  ,  ,...,  , при этом все клетки под «гипотенузой» являются «пустыми». Это означает, что все диагональные коэффициенты типа  (m>n) тождественно равны нулю, то есть,

 = 0 при m>n.(21)

1-треугольник Паскаля

Если сдвинуть каждый ряд исходного треугольника Паскаля на один столбец вправо относительно предыдущего ряда, то мы получим 1-й треугольник Паскаля.

Если просуммировать биномиальные коэффициенты 1-треугольника Паскаля по столбцам, то, мы обнаружим, что такое суммирование приводит нас к числам Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, F_1(n+1), …, (22)

где через F_1(n+1) обозначено (n+1)-е число Фибоначчи, которое задается с помощью следующей рекуррентной формулы:

F_1(n+1) = F_1(n) + F_1(n-1) при n>2 (23)

при следующих начальных условиях:

F₁(1) = F₁(2) = 1. (24)

Справедливо соотношение, которое позволяет выразить числа Фибоначчи через биномиальные коэффициенты:

(25)

Полученный математический результат был найден во второй половине 20-го столетия многими математиками практически одновременно.

Золотое сечение и его роль в современной науке

Глобальные проявления золотой пропорции в природе, науке, культуре и многих других областях ученые исследуют не одно столетие.

Изучением способов и закономерностей чувственного восприятия прекрасного и связанных с ним категорий в их различных проявлениях и формах, занимается экологическая эстетика (от греч. oikos -- дом, жилище, местопребывание), получившая свое развитие в наши дни на стыке наук экологии и традиционной эстетики.

Возникновение и развитие данной науки связано, в первую очередь, с необходимостью решения проблем глобального характера, таких как угроза экологического кризиса, потребность рационального использования природных ресурсов и др.

Проанализировав этапы исторического развития «Учения о гармонии и Золотом Сечении» в науке, исследовав проявления «Золотого сечения» в различных областях жизнедеятельности человека, проведя своеобразное экспериментальное исследование, можно сделать вывод, что существует объективная связь между математикой и различными аспектами жизнеустройства и человеческой деятельности.

Обобщенные «золотые» пропорции, присущи окружающему миру и могут проявляться в разных сферах жизнеустройства и человеческой деятельности, вследствие чего их изучение и осмысление представляется важным в научном и философском аспектах.

Таким образом, выдвинутая гипотеза о существовании особых числовых закономерностей и наличии разнообразных пропорций и симметрий как объективной присущей мирозданию реальности подтверждается.

Библиографический список

1. Сафонов, Ю. Новеллы о Золотом сечении и числах Фибоначчи / Ю.Сафонов //Чудеса и приключения. -1998.- №3.-С.56-59.

2. Сонин, А.С. Постижение совершенства: (симметрия, асимметрия, дисимметрия, антисимметрия) / А.С. Сонин. - М.: Знание, 1987.-С.84-87,174-177.

3. Стахов А. П. Коды золотой пропорции.-М,. 1984.

4. Шевелев И. Ш., Марутаев М. А., Шмелев И. П. Золотое сечение/Три взгляда на природу гармонии.-М., 1990.

5. Шестаков В. П. Гармония как эстетическая категория.-М,. 1973.

Размещено на Allbest.ru