Математика на шахматной доске
Парадокс шахматной доски, необычное доказательство теоремы Пифагора. Покрытие шахматной доски костями домино, характеристика задач на разрезание. Математика шахматных фигур, Значение игры в шахматы в развитии математических способностей человека.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 14.03.2019 |
| Размер файла | 2,9 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1
1
Математика на шахматной доске
Сергушкин Иван
1. Математика на шахматной доске
В данной работе рассматривается несколько знаменитых головоломок на шахматной доске, задача на покрытие шахматной доски костями домино, задачи на разрезание, математика шахматных фигур все задачи носят математический характер и предлагались на предметной математической олимпиаде разных уровней.
1.1 Парадокс шахматной доски
Проделаем мысленно некоторые манипуляции с шахматной доской. Разрежем ее на четыре части, как показано на рисунке 1 (поля специально не раскрашены), и составим из них прямоугольник (рис.2).
Шахматная доска состоит из 64 клеток, а вот полученный прямоугольник -- из 65. При разрезании доски откуда-то взялось одно лишнее поле! шахматная доска пифагор математический
Рис 1 Рис 2
Разгадка парадокса состоит в том, что наши чертежи выполнены не совсем точно. Если делать чертеж аккуратнее, то вместо диагонали прямоугольника появится ромбовидная, чуть вытянутая фигура со сторонами, которые кажутся почти слившимися. Это как раз и есть то самое «лишнее» поле.
1.2 Необычное доказательство теоремы Пифагора
Теперь рассмотрим любопытное шахматное доказательство теоремы Пифагора. Донное доказательство очень красочно, живо и понятно доказывает, что «пифагоровы штаны во все стороны равны».
Нарисуем на доске квадрат, в результате чего она разбивается на пять частей: сам квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника (рис.3). А теперь взглянем на рисунок 4.
Рис 3 Рис 4
Перед нами те же четыре треугольника, а вместо одного большого квадрата два квадрата меньших размеров. Треугольники на обоих рисунках имеют равную площадь, значит, равная площадь и у оставшихся частей доски: сверху один квадрат, снизу -- два. Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие -- на его катетах, делаем вывод, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема Пифагора доказана.
1.3 Покрытие шахматной доски костями домино
Можно ли покрыть костями домино 2x1 квадрат 8x8, из которого вырезаны противоположные угловые клетки? (рис. 5).
Рис 5 Рис 6
Можно было бы заняться скучными математическими рассуждениями, но шахматное решение и изящнее, и проще. Окрасим наш урезанный квадрат (на рис. Сверху) в черно-белый цвет, превратив его в шахматную доску без угловых полей al и b8 (рис. 6).
При покрытии доски каждая кость домино занимает одно белое и одно черное поле, и, значит, весь набор костей (в количестве 31 штуки) покрывает одинаковое число белых и черных полей. Но на нашей урезанной доске черных полей на два меньше, чем белых (вырезанные поля черные), и, следовательно, необходимого покрытия не существует! Итак, раскраска доски не только помогает шахматисту ориентироваться во время игры, но и позволяет решать необычные головоломки.
1.4 Задачи на разрезание
Задача 1. Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза -- на те поля, на которых был заматован его король (см. рис. 7, где вместо алмазов изображены кони). После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни.
Рис.7
Задача 2. На какое максимальное число разных частей можно разрезать шахматную доску, если считать разными части, отличающиеся своей формой или цветом полей при совмещении. Переворачивать части не разрешается. Максимальное число частей равно 18.
На рис. 8(а,б) представлены два вида разрезов.
Рис.8
Задача 3. Какое максимальное число полей доски можно пересечь одной прямой?
Поля доски образуются в результате пересечения 18 прямых -- девяти вертикальных и девяти горизонтальных. С каждой из них прямая-разрез может пересечься лишь в одной точке, но из четырех прямых, образующих края доски, она пересекается лишь с двумя. Отсюда следует, что наша прямая пересекает прямые, образующие поля доски, самое большее в 16 точках. Эти точки разбивают прямую не более чем на 15 отрезков, каждый из которых заключен внутри какого-нибудь поля. Таким образом, любой разрез доски пересекает не более 15 полей. Из рис. 9 следует, что ровно столько полей пересекает разрез, проведенный параллельно диагонали доски и проходящий через середины сторон двух угловых клеток. Итак, одним разрезом можно пересечь 15 полей доски.
Рис.9
Задача 4. Сколько нужно провести разрезов на доске, чтобы пересечь все ее поля?
Разумеется, восьми разрезов вполне достаточно -- по одному вдоль каждой вертикали или каждой горизонтали. Однако, оказывается, что и семь прямых могут пересечь все 64 поля доски. Для этого одну прямую нужно провести почти в диагональном направлении через центр доски, а шесть других -- в направлениях почти параллельных второй диагонали доски (рис. 10).
Рис.10
1.5 Математика шахматных фигур
Задача 1. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так,, чтобы одна не могла взять другого?
Решение: Шахматная доска имеет 8 горизонталей и 8 вертикалей, т.е. 64 клетки. Всего способов взаимного расположения на доске двух фигур равно 64*63. Определим количество расположений двух ладей так, чтобы они не могли взять друг друга. На каждой горизонтали таких способов будет 8*7. Так как различных горизонталей и вертикалей 16, то всего количество различных вариантов составит 16*8*7. Таким образом , количество искомых способов равно64*63-16*8*7=3136.
Задача2. Сколькими способами король с поля е1может добраться кратчайшим путём до поля d8?
Решение. Кратчайшее путешествие короля до цели занимает семь ходов, причём он может перемещаться любими зигзаобразными путями, оставаясь при этом внутри квадрата
e1-a5-d8-h4. Для подсчёта искомого числа составим таблицу чисел, которые будем перемещать прямо на полях доски (рис. 1). Число стоящее на данном поле равно числу кратчайших путей до него с поля е1. На поля d2, e2,f2 король может попасть кратчайшим путём единственным способом, и поэтому на них стоят единицы. По той же причине единицы стоят на полях с3 и g3. На поле d3 за два хода король попадает двумя способами , а на е3- тремя. В общем случае число кратчайших до данного поля складывается из одного , двух и трёх чисел, стоящих на полях предыдущей горизонтали с которых король попадает на данное поле в один ход. Пользуясь этой закономерностью, мы, в конце концов заполним всю таблицу и получим с поля е1до поля d8 может добраться кратчайшим путём 357 способами.
Задача 3. На шахматной доске размером 8X8 отметили 17 клеток. Докажите, что из них можно выбрать две так, что коню потребуется не менее трёх ходов для попадания с одной из них на другую.
Решение. Рассмотрим фигуру, изображённую на рисунке рис.3. Легко проверить, что путь коня от любой из четырёх клеток этой фигуры до любой другой состоит не менее, чем из трёх ходов. Шестнадцатью такими фигурами можно замостить всю доску (рис. 4). По принципу Дирихле одна из этих шестнадцати фигур содержит, по крайней мере, две отмеченные клетки. Они и будут искомыми.
Рис.3 Рис.4
Заключение
Шахматы справедливо считают единственной игрой из всех, придуманных человеком, в которой сочетаются спорт, искусство и наука. Почему шахматы привлекательны для людей разных возрастов и профессий? Потому что, играя в шахматы, мы приобретаем много полезных качеств, тренируем память, учимся упорству, находчивости, развиваем фантазию. Занятие шахматами способствует развитию математических способностей человека. Шахматы - это и вид интеллектуальной борьбы, и соревнование, а любое соревнование совершенствует сильные черты личности.
Под словом «игра» понимается не только забава, отдых или спорт, но, что гораздо важнее, возможность создать на шахматной доске необычное, фантастическое - в этом шахматы близки к искусству. Но к шахматам можно относиться и как к науке со своими законами, принципами. Шахматы содержат в себе элементы научного исследования - именно такой подход свойствен многим выдающимся шахматистам. Задачи, связанные с шахматной теорией, широко применяются в математике.
В ходе работы мы исследовали связь математики и шахмат, рассмотрели математические решения задач, связанных с шахматной доской и шахматными фигурами. Таким образом, цель работы достигнута. Работу можно использовать для подготовки к олимпиадам, конкурсам, проведения кружков, спецкурсов.
Литература
1. Агаханов Н.Х. Математические олимпиады Московской области - М:«Физтехмат», 2006.
2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971.
3. Гик Е.Я. Математика на шахматной доске - М: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2009.
4. Гик Е.Я. Шахматы и математика. - М.: Наука, 1983.
5. Чулков П.В. Школьные олимпиады. М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2001.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Страницы биографии древнегреческого философа и математика Пифагора. Теорема Пифагора: основные формулировки и методы доказательства. Обратная теорема Пифагора. Примеры задач на применение теоремы Пифагора. "Пифагоровы штаны" и "тройка", "дерево Пифагора".
научная работа [858,3 K], добавлен 29.03.2011Популярность и биография великого математика, тайны теоремы Пифагора "О равенстве квадрата гипотенузы прямоугольного треугольника сумме квадратов катетов", история теоремы. Различные способы доказательств теоремы Пифагора, области ее применения.
презентация [376,2 K], добавлен 28.02.2012Ознакомление с геометрической и алгебраической формулировками понятия равносоставленности и практическое применение ее свойств при доказательстве обратной теоремы Пифагора методами площадей и подобных треугольников и решении задач на разрезание.
доклад [300,8 K], добавлен 21.02.2010Жизненный путь Пифагора, его путешествия и загадочная смерть. Заслуги Пифагора в арифметике, геометрии, музыке и астрономии. Древняя и современная формулировки теоремы Пифагора. Тригонометрическое доказательство и некоторые применения этой теоремы.
презентация [571,0 K], добавлен 13.12.2011Биографические сведения о жизни греческого философа и математика Пифагора Самосского. Возникновение на юге Италии "Пифагорейской школы". Доказательство основной геометрической теоремы методом разложения математиком ан-Найризи и астрономом Перигэлом.
презентация [1,6 M], добавлен 01.02.2012Как высшая математика разрешает философские парадоксы. Математика в апориях Зенона. Точная математическая формулировка интуитивного физического или метафизического понятия непрерывного движения. Попытки избавления от допущений в математических выкладках.
реферат [320,7 K], добавлен 05.01.2013Путь Пифагора к знаниям, источники его учения и научная деятельность. Формулировка теоремы Пифагора, ее простейшее доказательство на примере равнобедренного прямоугольного треугольника. Применение изучаемой теоремы для решения геометрических задач.
презентация [174,3 K], добавлен 18.12.2012Краткий биографический очерк жизненного пути Пифагора. История появления теоремы Пифагора, ее дальнейшее распространение в мире. Формулировка и доказательство теоремы с помощью различных методов. Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям.
презентация [309,4 K], добавлен 17.11.2011История создания теоремы. Краткая биографическая справка из жизни Пифагора Самосского. Основные формулировки теоремы. Доказательство Евклида, Хоукинса. Доказательство через: подобные треугольники, равнодополняемость. Практическое применение теоремы.
презентация [3,6 M], добавлен 21.10.2011Значение понятия математика. Ее роль в науке. Математика как наука основанная на разнообразие математических моделей, задачей которых является отображение реальных событий и явлений. Особенности математического языка. Известные высказывания о математике.
реферат [21,7 K], добавлен 07.05.2013Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
творческая работа [17,4 K], добавлен 25.06.2009Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах. Доказательство теоремы Ферма в целых положительных числах при четных показателях степени. Применение методов решения параметрических уравнений и замены переменных. Доказательство теоремы Пифагора.
доклад [26,6 K], добавлен 17.10.2009Развитие математики как теории в школе Пифагора. Планиметрия прямолинейных фигур. Стереометрия, теория арифметической и геометрической пропорций. Открытие несоизмеримых величин. Бесконечность как математическая категория. Период академии, фаза упадка.
реферат [24,5 K], добавлен 29.03.2010Жизненный путь философа и математика Пифагора. Различные способы доказательства его теоремы, устанавливающей соотношение между сторонами прямоугольного треугольника (метод площадей). Использование обратной теоремы как признака прямоугольного треугольника.
презентация [11,6 M], добавлен 04.04.2019Выполнение доказательства теорем Пифагора, Ферма и гипотезы Биля методом параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Уравнение теоремы Ферма как частный вариант уравнения гипотезы Биля, а уравнение теоремы Ферма – теоремы Пифагора.
творческая работа [64,8 K], добавлен 20.05.2009Биография Менелая Александрийского - древнегреческого астронома и математика. Формулировка и доказательство теоремы Менелая для плоского случая, при переносе центральным проектированием на сферу. Применение теоремы для решения прикладных задач.
презентация [1,8 M], добавлен 17.11.2013Основные открытия Пифагора в области геометрии, географии, астрономии, музыки и нумерологии. Изначальная и алгебраическая формулировки знаменитой теоремы. Один их многочисленных способов доказательства теоремы Пифагора, ее основные следствия и применение.
презентация [257,4 K], добавлен 05.12.2010Определение зависимости между танцем и математикой на примере изучения белорусских народных танцев. Анализ математических составляющих танца. Ознакомление с особенностями использования геометрических фигур в постановке национальных белорусских танцев.
контрольная работа [994,7 K], добавлен 15.09.2019Решение задач по геометрии. Составление кроссвордов на тему "Тела и фигуры вращения". Математика и история. Модель "Седла" - пример криволинейной поверхности. Изучение основных тел. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Теорема Пифагора.
творческая работа [688,6 K], добавлен 13.04.2014Геометрическая и алгебраическая формулировка теоремы Пифагора. Многочисленность ее доказательств: через подобные треугольники, методом площадей, через равнодополняемость, при помощи дифференциальных уравнений. Доказательства Евклида и Леонардо да Винчи.
презентация [378,7 K], добавлен 15.10.2013
