К вопросу о логическом обосновании понятия "действительное число"
Вещественное число порядка как класс эквивалентности, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие. Построение вещественных чисел исходя из рациональных чисел согласно теории немецкого ученого Георга Кантора.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.03.2019 |
| Размер файла | 18,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
К вопросу о логическом обосновании понятия «действительное число»
Представление о понятии числа, которое складывается из трудов великих математиков, таких так Карл Вейерштрасса, Рихард Дедекинда и Георг Кантор, всегда свидетельствует о том теоретическом уровне, которого достигла к этому времени математика, и определяются границы их арифметико-алгебраической практики [1, стр. 138]
Они предложили различные подходы к этой теории и отделили это понятие от геометрии и механики.
Так, например немецкий ученый Карл Вейерштрасса сделал шаг на пути к строгости вслед за Коши. Он уменьшил интуитивных соображений в определениях предшественников, введя для них численное представление [1, с. 286].
Задавшись вопросом «вроде «переменная неограниченно приближается к фиксированному значению, где присутствуют время и движение», Карл Вейерштрасс пытался перевести их в арифметические неравенства. Он описал логическое обоснование анализа на основе построенной им теории действительных (вещественных) чисел и так называемого «е» и «д» языка: «Если возможно определить такую границу, для значения h меньшего по абсолютной величине, будет меньше некоторой величины е, то будем говорить, что бесконечно малому изменению переменной соответствует бесконечно малое изменение функции» [1, с. 287]. Карл Вейерштрасс смог придать анализу форму.
К. Вейерштрасс, стремясь придать анализу обоснование, заметил отсутствие логического обоснования у арифметики и исправил это положение. Так в1863 г. он придумал теорию действительных чисел, которая была опубликована в 1872 г.
Дальше Карл Вейерштрасса составил агрегаты с бесконечным числом элементов и введение для них отношения равенства. Согласно Вейерштрассу, вещественное число - это класс эквивалентности агрегатов, удовлетворяющих следующему условию конечности: «Всякое рациональное число представляется «агрегатом» - конечным множеством единиц.» [1, с. 288].
Немецкий ученый Георг Кантор (1845-1918) построил вещественные числа исходя из рациональных чисел.
Он представил, что всякое иррациональное число может быть представлено бесконечной последовательностью рациональных чисел. Например, число v2 можно представить бесконечной последовательностью рациональных чисел 1; 1,4; 1,41;…. В соответствии с этим все иррациональные числа можно понимать, так же как и рациональные числа [3].
Вещественным числом порядка Кантор называет класс эквивалентности, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие [2].
Рихарда Дедекинда (1831-1916) как в ситуации с Карлом Вейерштрассом необходимость изложения дифференциального и интегрального исчисления заставила Дедекинда думать над этим: «пока он не нашел числа арифметических и совершенно «строгих» обоснований анализа бесконечно малых». Дедекинд исходил из множества Q рациональных чисел. Он писал в 1876 г.: «Я показываю в моей работе, что, не вмешивая посторонних элементов, можно обнаружить в области рациональных чисел некий феномен, который может быть использован для пополнения этой области однозначным построением иррациональных чисел» [2].
Этот некий «Феномен», был сечением.
Исходя из геометрического представления о том, что точка М на прямой разделяет точки на два класса - класса точек, расположенных справа от М, и класс точек, находящийся слева от М.
Карл Дедекинд это называет «сечением» (D1, D2) множества Q, такое разделение Q на два непересекающихся класса, что всякое число из первого класса D1, строго меньше числа из второго класса D2.
Вскоре выясняется, что есть сечения, не обладающие этим свойством. Дедекинд приводит пример: D1 содержит отрицательные рациональные числа и положительные рациональные числа, квадрат которых меньше 2, а D2 - все остальные рациональные числа. Наибольший элемент в D1 должен был удовлетворять условию =2, что невозможно в Q, получается, что в D1 нет наибольшего элемента.
Потом, немецкий ученый Дедекинд пишет: «мы создаем при помощи сечения новое иррациональное число, которое определено этим сечением.
Мы скажем, что число б соответствует сечению» [1, стр. 290].
Карл Дедекинд определил отношение порядка для сечений и доказал это утверждение.
Дальше он показал, что область вещественных чисел не дает ничего, кроме. Он воспользовался этим свойством, чтобы охарактеризовать непрерывную область величин: «Если разбить все величины области, устроенной непрерывным образом, что каждая величина первого класса меньше любой величины второго класса, то либо в первом классе существует наибольшая величина, либо во втором классе существует наименьшая величина».
Новые восприятия в математическом анализе не приживались хорошо. Жестоко критиковал учение Карла Вейерштрасса, например, Кронекер. Критику Кантора можно сравнить с травлей, но благодаря этим работам, в математическую науку плотно вошли такие понятия как бесконечные объекты: действительное число, стало первым таким объектом. Построения, основанные на аксиоматике, способствовали переходу математиков от «интуитивного» к абстрактному и строгому. Обобщенные методы построения действительного числа стали основой для теории множеств, функционального анализа, интеграла Лебега.
Список литературы
кантор вещественный число логический
1. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты: очерки по истории математики. / Перевод с французского А. Бряндинской; под редакцией И. Башмаковой. - М.: Мир, 1986. - 433 с.
2. Граттан - Гиннесс И. К биографии Георга Кантора. // Летопись науки. - 1971 - Т. 27 - №4 - с. 345-391.
3. Уоррен Д. Георг Кантор: его математика и философия большого количества. - Princeton University Press, 1990. - 404 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Краткий биографический очерк жизни и деятельности Георга Кантора и Шарля Мерэ. История создания теории действительного числа, ее математическая сущность и характеристика. Определение отношения порядка. Понятие замкнутости множества вещественных чисел.
презентация [473,7 K], добавлен 11.06.2011Содержание математики как системы математических моделей и инструментов для их создания. Возникновение "теории идей". Натуральные числа, множество целых чисел, рациональное число, вещественное или действительное число. Существующая теория чисел.
реферат [81,7 K], добавлен 13.01.2011Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.
курсовая работа [358,3 K], добавлен 07.12.2012Свойства действительных чисел, их роль в развитии математики. Анализ построения множества действительных чисел в историческом аспекте. Подходы к построению теории действительных чисел по Кантору, Вейерштрассу, Дедекинду. Их изучение в школьном курсе.
презентация [2,2 M], добавлен 09.10.2011Понятие и специфика Аддитивной теории чисел, ее содержание и значение. Описание основных проблем Аддитивной теории чисел: Варинга, Гольдбаха, Титчмарша. Методы решения данных проблем: редукция к производящим функциям, исследование структуры множеств.
курсовая работа [150,0 K], добавлен 18.12.2010Множество: понятие, элементы, примеры. Разность двух множеств, их пересечение. Множество действительных, рациональных, иррациональных, целых и натуральных чисел, особенности изображения их на прямой. Общее понятие о взаимно однозначном соответствии.
презентация [273,1 K], добавлен 21.09.2013Биография немецкого математика А. Гурвица. Основные положения теоремы Ферма. Обзор систем "чисел", которые можно построить, исходя из действительных чисел, путем добавления рядя "мнимых единиц". Приложение теоремы Гурвица: теоремы Фробениуса и Лагранжа.
курсовая работа [220,5 K], добавлен 25.05.2010Первое доказательство существования иррациональных чисел. Развитие теории пропорций Евдоксом Книдским. Теоремы, корень из 2 - иррациональное число. Трансцендентное число: сущность понятия, свойства, примеры, история. История уточнения числа пи.
контрольная работа [53,9 K], добавлен 27.11.2011Исторические факты исследования простых чисел в древности, настоящее состояние проблемы. Распределение простых чисел в натуральном ряде чисел, характер и причина их поведения. Анализ распределения простых чисел-близнецов на основе закона обратной связи.
статья [406,8 K], добавлен 28.03.2012В работе рассматриваются доказательства неразрешимости в рациональных ненулевых числах двух систем, которые легко касаются не только чисел, но и распространяются на рациональные функции, что, в конечном счёте, позволяет анализировать решение уравнения.
творческая работа [123,8 K], добавлен 04.09.2010Математика как одна из самых древних и консервативных наук. Понятие числа, построение их множеств, особенности натуральных чисел, представление иррациональных чисел. Смысл категории "пространство", последствия применения некорректных методов познания.
статья [32,3 K], добавлен 28.07.2010Поиски и доказательства простоты чисел Мерсенна. Окончание простых чисел Мерсенна на цифру 1 и 7. Вопрос сужения диапазона поиска. Эффективный алгоритм Миллера-Рабина. Разделение алгоритмов на вероятностные и детерминированные. Числа джойнт ряда.
статья [127,5 K], добавлен 28.03.2012Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа распределения простых чисел.
монография [575,3 K], добавлен 28.03.2012Характеристика истории изучения значения простых чисел в математике путем описания способов их нахождения. Вклад Пьетро Катальди в развитие теории простых чисел. Способ Эратосфена составления таблиц простых чисел. Дружественность натуральных чисел.
контрольная работа [27,8 K], добавлен 24.12.2010Доказательства существования иррациональных чисел. Арифметический подход Евклида к множеству иррациональных чисел. Рассуждения Дедекинда о непрерывности области вещественных чисел, неявном понятии точной верхней грани. Анализ бесконечно малых величин.
реферат [1,9 M], добавлен 08.05.2012Изучение процесса появления действительных чисел, которые стали основой арифметики, а также способствовали возникновению рациональных и иррациональных чисел. Арифметика в трудах мыслителей Древней Греции. И. Ньютон и определение действительного числа.
реферат [16,4 K], добавлен 15.10.2013Вивчення властивостей натуральних чисел. Нескінченість множини простих чисел. Решето Ератосфена. Дослідження основної теореми арифметики. Асимптотичний закон розподілу простих чисел. Характеристика алгоритму пошуку кількості простих чисел на проміжку.
курсовая работа [79,8 K], добавлен 27.07.2015Свойства делимости целых чисел в алгебре. Особенности деления с остатком. Основные свойства простых и составных чисел. Признаки делимости на ряд чисел. Понятия и способы вычисления наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК).
лекция [268,6 K], добавлен 07.05.2013Разработка индийскими математиками метода, позволяющего быстро находить простое число. Биография Эратосфена - греческого математика, астронома, географа и поэта. Признаки делимости чисел. Решето Эратосфена как алгоритм нахождения всех простых чисел.
практическая работа [12,2 K], добавлен 09.12.2009Фибоначчи Леонардо Пизанский — первый крупный математик средневековой Европы. Ряд чисел Фибоначчи - элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Примеры ряда Фибоначчи в повседневной жизни.
доклад [25,5 K], добавлен 24.03.2012
