Периодические движения бильярдного шара

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Периодические движения бильярдного шара

автор: Кузнецова Катя

Руководитель: Дегтярева Т.В.

Москва 2013

Введение

Тема «Периодические движения бильярдного шара» заинтересовала меня, так как методы исследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий), с одной стороны, примыкают к традиционной геометрии, а с другой -- лежат на стыке отраслей современной математики и теоретической механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, эти методы позволяют получить далеко не элементарные выводы.

Общая математическая проблема бильярда заключается в том, чтобы описать возможные типы бильярдных траекторий в данной области Q. Простейший принцип такого описания -- разделение траекторий на периодические, или замкнутые, и остальные -- непериодические.

Интерес представляют и такие вопросы: Какое число звеньев может иметь периодическая траектория? Какие периоды имеют периодические траектории в данной области?

Бильярд, родиной которого считается Китай, имеет многовековую историю. Первые известия о его появлении в Европе относятся к XVI веку, а в Россию бильярд был завезен из Голландии Петром I. Новинка быстро завоевала популярность. ( XVII-XVIII вв). В настоящее время эта игра увлекает многих людей разных профессий и возрастов. Современная теория бильярдов является одним из актуальных направлений математической физики. Ее основы были заложены советским математиком Я. Г. Синаем и его школой.

Проблемы существования периодических траекторий, исследования их динамических и геометрических свойств продолжают интенсивно обсуждаться в настоящее время. Подобно тому, как игра в кости вызвала в жизни «исчисление вероятностей», бильярдная игра послужила источником серьезных научных исследований по механики и математики.

Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил Гаспар Густав Кориолис в своей книге «Математическая теория явлений бильярдной игры» в 1835 году. Он использовал в своей работе элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа. Однако особого интереса у современников книга не вызвала: ни у математиков, ни у бильярдистов.

Одной из классических динамических систем является бильярд Биркгофа - задача об исследовании движения точки в плоской области, ограниченной гладкой замкнутой выпуклой кривой. Внутри области точка движется прямолинейно, а отскок криво! Происходит по закону "угол падения равен углу отражения". Биркгроф обнаружил такое важное свойство выпуклого бильярда, как наличие бесконечного количества периодических траекторий.

В своей работе я рассмотрю вопросы периодических движений бильярдного шара, теорему Биркгофа и различные поведения бильярдной траектории.

1.1 Модель математического бильярда

Бильярдная игра - источник научных исследований по механике и математике. Но в математических исследованиях реальный бильярд заменяют его моделью «математический бильярд», представляющая собой стол без луз с упругими бортами, где шар - это точка, движущаяся без трения и отражающаяся от стенок по закону «угол падения равен углу отражения». Но если границы бильярдного стола имеют угловые точки, то рассматривают движения, не проходящие через эти точки.

1.2 Что такое бильярдная траектория

Шар движется вдоль ломаной, которая называется бильярдная траектория. Периодическая бильярдная траектории - это траектории, которые после некоторого числа отражений от границы повторяют сами себя. Например, в круглом бильярде периодическая траектория - это вписанный в круг правильный пятиугольник или правильная пятиконечная звезда.

2.1 Теорема Биркгофа

Изучение замкнутых, периодических бильярдных траекторий - классическая задача, впервые поставленная Джорджем Биркгофом. Он доказал нижнюю оценку на количество замкнутых бильярдных траекторий данной длины в любой плоской области.

В выпуклой ограниченной фигуре Q с гладкой границей можно обнаружить периодическую траекторию из двух звеньев. Для этого возьмем 2 наиболее удаленные точки А и В фигуры Q и соединим их отрезком. Получится замкнутая ломаная АВА - это дважды пройденный отрезок АВ, т.е. АВ и есть периодическая траектория.

Это не сложно доказать.

Доказательство:

1) построим касательную DA.

2) Если А и В наиболее удаленные точки, то угол DAB - прямой.

3) По закону «угол падения равен углу отражения» получается, что шар отскакивает от стенок бильярда под прямым углом, т. е. бильярдный шар пройдет отрезок АВ.

4) Так это будет повторяться несколько раз.

5) Следовательно, АВА - это периодическая траектория.

2.2 Существуют ли траектории с большим числом звеньев

Для того, чтобы определить есть ли траектории с большим числом звеньев, надо построить треугольник АВС, с наибольшим периметром и вписанным в фигуру Q. Американский математик Г. Д. Биркгоф (1884 - 1944) доказал, что n-угольник, имеющий наибольший периметр среди вписанных в Q n-угольников, является периодической бильярдной траекторией. Из этого мы можем сделать вывод, что АВС - это периодическая траектория.

Это не сложно доказать.

Доказательство:

1) Проведем касательную D'D”, касающуюся в точке C.

2) Угол D'CB = углу D”CA, т. к. D'CА = углу D”CВ (угол падения равен углу отражения), а угол АСВ - общий.

3) Аналогично для углов А и В

4) Следовательно, АВС - периодическая траектория.

2.3 Минимизация периметра

Но метод Биркгофа не «работает», если бильярдный стол имеет точки излома т.к. вершины вписанного многоугольника наибольшего периметра могут попасть в угловые точки границы. Но для остроугольного треугольника есть выход, и он заключается в замене максимального периметра на минимальный.

Этот метод не срабатывает для тупоугольного треугольника, т.к. для него одной из сторон треугольника с минимальным периметром является высота, проведенная из вершины тупого угла. Поэтому в тупоугольном треугольнике нет трехзвенных траекторий.

Поиск бильярдных траекторий среди вписанных ломаных, максимальной и минимальной длины отражает общематематический принцип: во многих задачах полезно и важно рассматривать экстремальные значения подходящих величин.

2.4 Метод выпрямления

бильярдный шар движение математический

Этот метод заключается в том, что мы переходим в новую систему координат «Мюнхгаузена», где шар это начало координат, ось Оу направлена по ходу движения, ось Ох направлена направо перпендикулярно оси Оу.

Для треугольника теорема Биркгофа не всегда «работает». Например, двухзвенных периодических траекторий в треугольниках вообще нет, а четырехзвенные бывают только в равнобедренном треугольнике. Более того, для любого натурального числа n можно построить такой треугольник, в котором каждая периодическая траектория имеет больше n звеньев. Для этого достаточно взять углы б и в при основании очень малыми и несоизмеримыми с р.

2.5 Механическая интерпретация

На рисунке изображен пучок параллельных траекторий. Двукратно пройденный треугольник XYZ - периодическая бильярдная траектория. Для близкой точки X₁ получается параллельная XYZ траектория X₁Y₁Z₁X₂Y₂Z₂X₁.

2.6 Устойчивые траектории

Устойчивые траектории при малом изменении угла разрушаются, но в тупоугольном треугольнике такого недостатка нет. Т. е. периодические траектории в треугольных бильярдах весьма чувствительны к форме треугольника. Прохождение через угловую точку границы - причина разрушения или появления периодической траектории при деформации треугольника.

В произвольном прямоугольном треугольнике существуют периодические траектории со сколь угодно большим числом звеньев. Для остроугольных треугольников это не известно, хотя и доказано, что для любого заданного числа n найдется остроугольный треугольник, в котором имеются периодические траектории более чем n звеньев.

Заключение

Целью моей работы являлось изучение периодических бильярдных траекторий. Я ставила перед собой задачу понять образование периодических траекторий в бильярде различной формы. С помощью материалов по данной теме, я выполнила поставленные передо мной задачи.

Сначала я изучила историю бильярдной игры, узнала, как она появилась в России, насколько она была интересна для изучения в то время. Затем я приступила к изучению математической модели бильярда и периодических траекторий, рассмотрела разные фигуры бильярдного стола.

В результате проделанной работы я поняла, что бильярд имеет многовековую историю, в Россию бильярд был завезен из Голландии Петром I. Новинка быстро завоевала популярность. ( XVII-XVIII вв). так же я узнала, что существуют разные периодические траектории с n звеньев, но при этом число n зависит также от фигуры бильярдного стола и от точек излома.

В настоящее время эта игра увлекает многих людей разных профессий и возрастов. Современная теория бильярдов является одним из актуальных направлений математической физики. Проблемы существования периодических траекторий, исследования их динамических и геометрических свойств продолжают интенсивно обсуждаться в настоящее время. Подобно тому, как игра в кости вызвала в жизни «исчисление вероятностей», бильярдная игра послужила источником серьезных научных исследований по механики и математики.

Список литературы

1. Гальперин Г., Степин А. Периодические движения бильярдного шара. Журнал «Квант». 1989.

Размещено на Allbest.ru