Диофант и диофантовы уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Диофант и диофантовы уравнения

Петрова Ирина

Москва, 2013

Оглавление

Введение

Диофант

Числа и символы

Диофантовы уравнения

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Мой реферат посвящен личности Диофанта Александрийского и принципам решения диофантовых уравнений.

Целью моей работы является изучение личности Диофанта и принципов решения диофантовых уравнений.

Многие ученые считают, что Диофант, решая отдельные задачи, похожие по смыслу на неопределенные уравнения, использовал хитроумные, но нестандартные методы. Но, так или иначе, разбор диофантовых уравнений показывает, что он задумался над решением неопределенных уравнений в рациональных числах, а также привел некоторые способы их решения, хотя полного описания этих методов он не дал.

В своем реферате я уделю внимание личности этого древнегреческого ученого, рассмотрю систему чисел и символов, которые он применял в своих трудах, а также приведу примеры из сборника его задач, имеющие решение. Я надеюсь, что читатель получит представление о творчестве Диофанта.

Диофант

Диофант является одной из наиболее интересных загадок в истории науки. Ученым не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области.

Промежуток времени, в который мог жить Диофант, составляет около 500 лет. Нижнюю грань этого промежутка очень легко определить: в своей книге о многоугольных числах Диофант часто упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. Верхняя грань этого промежутка определяется комментариями Теона Александрийского к «Альмагесту», в которые помещен отрывок из сочинений Диофанта. Теон жил в середине IV века н.э.

Сузить промежуток жизни Диофанта пытался французский историк науки Поль Таннери. В библиотеке Эскуриала он нашёл отрывки из письма Михаила Пселла, византийского учёного XI века, где говорится, что Анатолий Александрийский, составивший «Введение в арифметику», посвятил его своему другу Диофанту. Но Анатолий жил в Александрии в середине III века н. э. Следовательно, его дружба с Диофантом, которого все называют Александрийским, должна была существовать до этого. Значит, если знаменитый математик и друг Александра являются одним и тем же человеком, то время жизни Диофанта - середина III века н.э.

Зато место жительства Диофанта хорошо известно -- это знаменитая Александрия.

После распада империи Александра Македонского Египет в конце IV века до н. э. перешел в руки его полководца Птолемея, который перенёс столицу в новый город -- Александрию. Вскоре этот город стал одним из прекраснейших городов древности. И именно этот город надолго стал научным и культурным центром древнего мира. Это было связано с тем, что Птолемей основал Музейон, первую Академию наук, куда приглашались крупные учёные.

Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До ученых дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре.

«Арифметика» Диофанта -- это сборник задач, к каждой из которых есть решение и необходимые пояснения. Поэтому на первый взгляд кажется, что она является скорее задачником чем теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов.

Числа и символы

В своих сочинениях Диофант начинает с основных определений и описания буквенных символов, которые он будет применять.

В классической греческой математике дробей нет. Единица считается неделимой и вместо долей единицы рассматриваются отношения целых чисел; Нет также и отрицательных чисел. Совершенно иная картина у Диофанта.

Диофант приводит традиционное определение числа как множества единиц, однако в дальнейшем ищет для своих задач положительные рациональные решения, причём называет каждое такое решение числом.

Диофант вводит отрицательные числа: он называет их специальным термином «лейпсис» -- производное от глагола «лейпо», что означает недоставать. Положительное число Диофант называет словом «ипарксис», что означает существование.

В «Арифметике» мы встречаем впервые и буквенную символику. Диофант ввёл следующие обозначения для первых шести степеней от x до x⁶ неизвестного x:

первая степень -- т;

вторая степень -- ДхЮ от «дюнамис», что означает степень;

третья степень -- КхЮ от «кубос», что означает куб;

четвёртая степень -- ДхЮД от «дюнамодюнамис», что означает квадрат квадрата;

пятая степень -- ДКхЮ от «дюнамокубос», т.е. квадрат куба;

шестая степень -- КхЮК от «кубокубос», т.е. куб куба

Диофантовы уравнения

диофантово уравнение неопределенный рациональный

Для исследования методов Диофанта следует дать некоторые сведения из алгебраической геометрии и теории неопределённых уравнений. В настоящее время задача решения неопределённых уравнений формулируется так: пусть дано m многочленов от n переменных, m < n, f₁(x₁, x₂,..., x_n),..., f_m(x₁, x₂,..., x_n) с коэффициентами из некоторого поля k. Требуется найти множество M(k) всех рациональных решений системы

(1)

и определить его алгебраическую структуру. При этом решение (x₁⁽⁰⁾,..., x_n⁽⁰⁾) называется рациональным, если все x_i⁽⁰⁾ О k.

Множество M(k) зависит от поля k. Диофант рассматривал такой случай теории чисел, когда k = Q (полю рациональных чисел).

Прежде всего необходимо дать классификацию алгебраических кривых. Наиболее простой и ранее всего возникшей является классификация их по порядкам.

Порядком кривой называется максимальный порядок членов многочлена f (x, y), где под порядком члена понимается сумма степеней при x и y. Геометрический смысл этого понятия заключается в том, что прямая пересекается с кривой порядка n ровно в n точках. При подсчёте точек надо, разумеется, учитывать кратность точек пересечения, а также комплексные и «бесконечно удалённые» точки.

Однако и классификация по родам не учитывает арифметических свойств кривой. Так, например, кривые x² + y² = 1 и x² + y² = 3 имеют род 0, также на первой из них лежит бесконечно много рациональных точек, а на второй -- ни одной. Чтобы найти нужную для диофантова анализа классификацию кривых, заметим, что, решая уравнение (1), мы часто прибегаем к замене переменных

x = ц(u, v), y = ш(u, v), (3)

где ц и ш -- рациональные функции, т.е. каждая из них может быть представлена в виде отношения двух многочленов.

u = ц₁(x, y), v = ш₁(x, y), (3')

где ц₁ и ш₁ -- рациональные функции с рациональными коэффициентами.

Если между двумя кривыми и можно установить соответствие с помощью формул вида (3) и (3') с рациональными коэффициентами, то кривые называются бирационально эквивалентными, а сами эти преобразования называются бирациональными.

С точки зрения диофантова анализа две бирационально эквивалентные кривые между собой равноправны. Можно также доказать, что две бирационально эквивалентные кривые имеют один и тот же род.

Обратное утверждение неверно: кривые одного и того же рода могут не быть бирационально эквивалентными.

Таким образом, кривые одного и того же рода разбиваются на классы бирационально эквивалентных между собой кривых.

Также важным фактом является то, что если кривая третьего порядка имеет по крайней мере одну рациональную точку, то её уравнение с помощью бирациональных преобразований всегда можно привести к виду

y² = x³ + ax + b, (5)

где a и b -- рациональные числа.

Диофант в книге II своей «Арифметики» рассматривает различные уравнения и выводит следующую теорему: неопределённое уравнение второго порядка от двух переменных либо не имеет ни одного рационального решения, либо имеет их бесконечно много, причём в последнем случае все решения выражаются как рациональные функции параметра.

Для доказательства этой теоремы можно привести задачу 8 книги II:

«Данный квадрат разделить на два квадрата.

Пусть предложено 16 разделить на два квадрата. И положим первый x², а другой тогда будет 16 - x²;

Образуем этот квадрат из нескольких x минус столько единиц, сколько содержится в стороне 16; пусть будет 2x - 4, что в квадрате даст

4x² + 16 - 16x.

Это равно

16 - x².

К обеим частям прибавим отрицательные (члены) и сделаем приведение подобных. Тогда

5x² = 16x и x = 16/5.

Один будет 256/25, другой 144/25, сумма их будет 400/25 = 16, и каждый из них будет квадратом».

Задача 24 книги IV:

«Данное число разбить на два числа так, чтобы их произведение было равно кубу без стороны.

Пусть дано 6. Я полагаю 1-е число x, тогда 2-е будет 6 - x. Остаётся сделать, чтобы одно на другое было кубом без стороны, но оно будет 6x - x²; это и должно равняться кубу без стороны. Я образую куб из x с каким-нибудь коэффициентом минус 1; пусть 2x - 1, его куб минус сторона будет

8x³ + 4x - 12x².

Это равно 6x - x².

Если коэффициенты при x в обеих частях были бы равны, то остались бы равные члены с x³ и x²; тогда x было бы рациональным. Но 4x получается как избыток 3·2x над 2x; и 3·2x - 2x даёт 2·2x; однако, по предположению, должно быть 6. Итак, дело сводится к отысканию такого числа, чтобы коэффициент при x, умноженный на 2, давал бы 6. Это будет 3.

Так как я хочу, чтобы 6x - x² равнялось кубу минус сторона, то полагаю сторону куба 3x - 1; этот куб минус его сторона будет

27x³ + 6x - 27x² = 6x - x²

и

x = 26/27.

По формулам: 1-е = 26/27, 2-е = 136/27».

Задача 19 книги III:

«Найти четыре числа такие, чтобы квадрат суммы их, если к нему прибавить одно из них, или отнять, оставался бы квадратом.

Так как во всяком прямоугольном треугольнике, если к квадрату гипотенузы прибавить или из него отнять удвоенное произведение сторон, заключающих прямой угол, получится квадрат, то я ищу сперва четыре прямоугольных треугольника, имеющих равные гипотенузы. Это то же, что разбить некоторый квадрат на два квадрата (четырьмя способами), а мы уже знаем, что заданный квадрат можно разбить на два квадрата бесконечным числом способов.

Итак, пусть предложены два прямоугольных треугольника в наименьших числах, как 3, 4, 5 и 5, 12, 13. Умножим каждый из предложенных на гипотенузу другого; тогда первый треугольник будет 39, 52, 65, а второй 25, 60, 65. Это и есть прямоугольные треугольники, имеющие равные гипотенузы.

По своей природе 65 может быть разложено на два квадрата двумя способами: на 16 и 49, и по-другому, на 64 и 1. Это происходит потому, что число 65 есть произведение 13 и 5, каждое из которых разбивается на два квадрата.

Теперь от предложенных 49 и 16 я беру стороны, они будут 7 и 4, и образую из двух чисел 7 и 4 прямоугольный треугольник 33, 56, 65.

Подобным образом 64 и 1 имеют стороны 8 и 1, и я образую из них другой прямоугольный треугольник, стороны которого будут 16, 63, 65.

И вот получены четыре прямоугольных треугольника, имеющих равные гипотенузы. Итак, вернёмся к первоначальной задаче; я полагаю сумму четырёх (чисел) 65x, а каждое из этих четырёх равным x² с коэффициентами, являющимися учетверёнными площадями, именно, первое -- 4056x², второе -- 3000x², третье -- 3696x² и четвёртое --2016x².

Тогда сумма четырёх чисел

12768x² равна 65x,

что даёт

x = 65/12768.

По формулам будут с одним и тем же знаменателем первое -- 17 136 600, второе -- 12 675 000, третье -- 15 615 600, четвёртое -- 8 517 600, а знаменатель (равен) 163 021 824».

Заключение

Целью моей работы являлось изучение личности Диофанта и его уравнений. Я, использовав материалы по данной теме, выполнила поставленные передо мной задачи.

Сначала я изучила личность Диофанта, узнала, в каком веке он жил. Затем я рассмотрела основные принципы решения диофантовых уравнений и рассмотрела решение некоторых задач.

В результате проделанной работы я поняла, что Диофант жил в III веке н.э. в Александрии и написал сборник задач, к каждой из которых есть необходимые пояснения и решение, названных «Арифметикой», который разительно отличался от остальных античных сочинений по теории чисел и алгебре. Хотя многие учение и считают, что Диофант находил только одно решение и применял для этого приёмы, различные для разных задач. Но на самом деле многие диофантовы уравнения решаются по похожим алгоритмам.

В наши дни существуют различные способы решения диофантовых уравнений, алгоритмы которых запоминаются сравнительно легко. Исследование алгоритмов решения диофантовых уравнений помогает при решении задания С6 в ЕГЭ, которое оценивается в значительное количество баллов.

Список использованной литературы

1. И. Г. Башмакова. Диофант и диофантовы уравнения (М., Наука, 1972).

2. ru.wikipedia.org›wiki/Диофант_Александрийский Данные соответствуют 11.04.2013

Размещено на Allbest.ru