Размещено на http://www.allbest.ru/

Задачи на делимость в истории математики

уравнение диофантовый математика

Поленок О.А. (науч. рук. Дорофеев А.В.)

Стерлитамакский филиал Башкирского

Государственного Университета

Стерлитамак, Россия

Tasks on divisibility in the history of mathematics

Polenok O. A. (research supervisor Dorofeev A.V.)

Sterlitamak Branch the Bashkir State University

Sterlitamak, Russia

Понятие и признаки делимости, деление с остатком знакомо учащимся с младших классов. В 9-ом классе знания учащихся расширяются на уровне алгебраической подготовки. Этот материал выходит за рамки традиционной школьной программы, а задачи часто предлагаются на математических олимпиадах и как одно из заданий 2 части ЕГЭ.

Вопросами делимости чисел люди интересовались уже очень и очень давно. Благодаря многолетнему труду математиков над проблемами делимости чисел были разгаданы многие ее тайны, но и сейчас в этом разделе математики есть еще много неясного.

Общая теория делимости дошла до нас в изложении Евклида (книга VII и часть книги IX). В основе ее лежит алгоритм нахождения общего наибольшего делителя двух чисел (алгоритм Евклида). Если А и В - целые (А > B), то этот алгоритм состоит в представлении А в виде

A = nB +B1

0 ? B2 < B1 и т. д. Процесс не может быть бесконечным, так как существует конечное число целых чисел, меньших В. Таким образом, через конечное число шагов мы придем к такому остатку Bk, что Bk - 1 = nk Bk, Bk и будет наибольшим общим делителем чисел А и В. [ 5, с.75 - 76]

Многие задачи на делимость сводятся к решению уравнений в целых числах. Нахождение целочисленных решений алгебраических уравнений с тремя неизвестными в наши дни называется обычно диофантовым анализом. В прошлые столетия такой анализ допускал использование в качестве переменных и рациональные дроби, однако сейчас он ограничивается только целыми числами.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Надо сказать, что это не было изобретением Ферма - он только возродил интерес к поиску целочисленных решений. А вообще задачи, допускающие только целые решения, были распространены во многих странах в очень далёкие от нас времена.

Примерно в то же время, когда жил Диофант, далеко на Востоке в Китае, были популярны задачи на деление с остатком и задачи о птицах. Приведём в качестве примера одну задачу из древнего китайского сборника: «Найти число, которое при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 5 - остаток 3, а при делении на 7 - остаток 2». (Интересно, что эта задача с теми же числовыми данными почти через тысячелетие встречается в «Книге абака» Леонардо Пизанского.) [6]

Древние математики находили в большинстве случаев одно, реже несколько решений неопределённых задач и в основном подбором. Правда за этим подбором, как правило, стояла система, разгадав которую мы, вооружённые современной символикой, можем записать все искомые решения уравнения.

Особенно важным является то, что в последнее время диофантовы уравнения различного вида стали одним из источников формирования базы задач типа С6 Единого Государственного Экзамена по математике Российской Федерации. Поскольку одним из основных отличий задачи С-6 от остальных задач ЕГЭ является ее явно выраженный нестандартный характер, а сведения, необходимые для решения этой задачи, могут относиться к самым различным разделам школьного курса, построение решения может потребовать нетривиальных идей и методов, постольку смыслом включения задачи С-6 в состав контрольно-измерительных материалов является именно диагностика уровня интеллектуального развития учащихся.

Недаром данная проблематика берет свои истоки с самого зарождения математики. Проследим, как осуществлялось развитие и происходило становление теории диофантовых уравнений. Если обратиться к истории, то можно заметить, что конкретные задачи такого рода были решены еще в Древнем Вавилоне около 4 тысяч лет тому назад. Древнегреческий математик Диофант, который жил около 2 тысяч лет тому назад, в своей книге «Арифметика» решил большое число таких и более сложных уравнений в целых числах, и описал общие методы их решения. Комментировать Диофанта начали ещё в древности. Разбору его книг были посвящены труды знаменитой Гипатии, дочери Теона Александрийского. Свое новое «рождение» идеи Диофанта получили в Константинополе, а также на арабском Востоке, откуда проникли в Европу. В 1572 году в «Алгебре» Рафаэля Бомбелли, профессора университета в Болонье, вдруг появляются 143 задачи из «Арифметики» Диофанта. Методы Диофанта обрели новую жизнь только в произведениях двух крупнейших математиков Франции XVI-XVII веков -- Франсуа Виета и Пьера Ферма. Первый этап развития учения о неопределённых уравнениях второго и третьего порядков, начало которому положил Диофант, нашёл своё завершение в работах Леонарда Эйлера[2,c.39-48].

Решение уравнений в целых числах - очень увлекательная задача. С древнейших времен накопилось много способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако только в нашем веке появились общие приемы их исследования. Правда, линейные диофантовы уравнения и диофантовы уравнения 2-й степени научились решать давно.

Решение диофантовых уравнений более высоких степеней, а также систем уравнений давались с большим трудом. Знаменитое уравнение П.Ферма, которое более трехсот лет назад он написал на полях «Арифметики» Диофанта, хn+уn=zn (n>2) не решено до сих пор.

Правда, оказалось, что кубические уравнения стоят в некотором смысле особняком. В 20-е гг. прошлого века английский математик Е.И.Морделл высказал гипотезу, что уравнение более высокой степени, чем 3, должно иметь, как правило, конечное число целочисленных решений. Эта гипотеза была в 1983 г. Доказана голландским математиком Г.Фалтингсом. тем самым подтвердилось, что уравнение Ферма хn+уn=zn при всяком n>2 имеет лишь конечное число решений в целых числах (без общих множителей). Однако пока нет способа найти эти решения.

Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский математик Ю.В.Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.

Решение уравнений в целых числах - один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер и Лагранж, Дирихле и Гаусс, Чебышев и Риман оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории. [7, с. 17]

В настоящее время известны следующие способы решения линейных диофантовых уравнений, а именно:

- использование алгоритма Евклида;

- использование цепных дробей;

- способ перебора вариантов. [4]

Приведем несколько примеров старинных задач на делимость:

1. Решить уравнение в целых числах 100x + 90 = 63y (задача индийского математика и астронома Бхаскары II (1114г. - умер позднее 1178г.)) [1, с.28]

2. Показать, что если n - целое число, то n5 - n делится на 5.

3. Показать, что если n - целое число, то n7 - n делится на 7 ( задачи немецкого философа, математика, изобретателя, физика Г. В. Лейбница(1646 - 1716)) [1, с.43]

4. Доказать, что число 22 + 1 делится на 641 (эадача Л. Эйлера (1707 - 1783)) [1, с.50]

5. Решить уравнение в натуральных числах x2 + y2 = z2 (Задача Пифагора) [1, с.12]

6. Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2, если считать их пятерками, то остаток 3, если считать их семерками, то остаток 2.

Спрашивается, сколько было вещей (Задача китайского математика Сунь - цзы (III - IV в)) [1, с.23]

Многие старинные способы отгадывания чисел и дат рождения основываются на решении диофантовых уравнений

Задача. «Пусть сумма произведений, о которых идет речь, равна 330. Найти дату рождения»

Решим неопределенное уравнение

12x + 31y = 330

C помощью метода рассеивания получим

x = 43 - 31 y4, y = 6 - 12 y4, Ввиду ограничений

0 < x ? 31,

0 < y ? 12

Легко констатировать, что единственным решением является

y4 = 1, x = 12, y = 6.

Итак, дата рождения: 12 число 6-го месяца, т.е. 12 июня (задача основана на методе рассеивания - общий метод для решения неопределенных (диофантовых) уравнений первой степени с целыми коэффициентами, предложенным индийскими математиками Брахмагуптой и Бхаскара) [3, с. 189-190]

Таким образом, решение уравнений в целых и рациональных числах -- один из самых красивых разделов математики, теоретические и практические сведения которого используются как в инженерии, биологии, так и повседневной жизни - последние две задачи тому подтверждение. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории. В настоящее время, в связи с современными требованиями к выпускнику школы, возникает особенная необходимость в изучении неопределенных уравнений. Считаем, что необходимо разрабатывать и составлять элективные и специальные курсы по обучению современных школьников и их учителей основным приемам решения данных уравнений и поиску способов нахождения этих решений, что, безусловно, служит предметом исследования, как математиков, так и методистов.

Список литературы

1. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи: Кн. для учащихся. - М.: Просвещение, 1994 г.

2. Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. -- М.: Наука, 1972 г.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1964г.

4. Жмурова И.Ю. Диофантовы уравнения: от древности до наших дней / И. Ю. Жмурова, А.В. Ленивова // Молодой ученый. -- 2014. -- №9. -- С. 1-5

5. История математики. С древнейших времен до начала нового времени в 3 томах, 1 том / Под ред. Юшкевича. - М.: Наука, 1970г.

6. Реферат. Диофантовы уравнения. URL: http://refdb.ru/look/3948362.html

7. Элективный курс. Делимость целых чисел/ Герасимова В.А. [Электронный ресурс]. URL: http://www.pedsovet.ru

Размещено на Allbest.ru