Формирование понятия производной и интеграла в истории математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Стерлитамакский филиал «Башкирский государственный университет» Стерлитамак, Республика Башкортостан

Формирование понятия производной и интеграла в истории математики

Галикеев В.З. (науч. рук. Дорофеев А.В.)

Роль математики в современной науке двойственная: формирование понятий и вычисления. Нет понятия мгновенной скорости без понятия производной, нет закона движения без дифференциальных или операторных уравнений. Математические понятия -- это не только удобные вспомогательные средства, они представляют собой самую суть физических идей. И простейшее предсказание будущего состояния системы или вероятности свершения того или иного события было бы невозможным без дедуктивной силы внутренне присущей формализму теории. Эта дедуктивная сила настолько впечатляюща, что мы часто стремимся приравнивать теоретическую физику вычислениям, забывая о роли математики в самом формировании физических понятий, формул и теорий.

На стации метро расстояние от тормозной отметки до остановки первого вагона равно 80 метров. С какой скоростью поезд должен подойти к тормозной отметке, если дальше он двигается равнозамедленно с ускорением 1,6 м/с2? математика ньютон производная

Для решения задачи нужно найти скорость движения поезда в момент прохождения тормозной отметки, т. е. мгновенную скорость в этот момент времени.

Представим себе, что мы отправляемся в автомобильную поездку. Садясь в машину, посмотрим на счетчик километража. Теперь в любой момент времени мы можем определить путь, пройденный машиной. Скорость движения мы узнаем по спидометру. Таким образом с нашим движением, как и с движением любой материальной точки, связаны две величины - путь S т скорость v, которые являются функциями времени t.Ясно, что S и v связаны между собой.

В конце XVIII века великий английский ученый Исаак Ньютон открыл общий способ описания этой связи. Открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, техническими науками аналогична связи между путем и скоростью.

Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, является производная и интеграл. Как вы убедитесь в дальнейшем, скорость - это производная пути, а путь - это интеграл от скорости.

Построенная Ньютоном модель механического движения остается самым важным источником математического анализа, изучающего производную и ее свойства. Вот посему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так: производная это скорость.

Ключевым понятием математического анализа, начала которого изучают в школе, является понятие функции, границы, производной и интеграла.

Термин "функция" впервые предложил в 1692 г. выдающийся немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716) для характеристики разных отрезков, соединяющих точки некоторой кривой. Первое определение функции, которое уже не было связано с геометрическими представлениями, сформулировал Иоганн Бернулли (1667 - 1748) в 1718г. Позже, в 1748, несколько уточненное определение функции дал ученик И. Бернулли Леонард Эйлер (1707-1783). Эйлеру принадлежит символ функции f(х).

В определениях Бернулли и Эйлера функцию отождествляли с аналитическим выражением, которым она кажется. Эйлер считал также возможным задавать одну и ту же функцию на разных множествах различными аналитическими выражениями. Эти так называемые "Кусково - заданные функции" широко применяются на практике.

Уже во времена Эйлера стало ясно, что отождествление функции с ее аналитическим выражением сужает само понятие функции, поскольку, вопервых, одним и тем же выражением можно задать различные функции, вовторых, не всегда функцию можно задать аналитически. Уже Эйлер предполагал возможность задания функции лишь графиком.

Дальнейшее развитие математического анализа и практических применений математики привел к расширению понятия функции. В 1834 г. выдающийся русский математик Н. И. Лобачевский (1792 - 1856) сформулировал определение функции, в основу которого была положена идея соответствия: "Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно меняется. Значение функции может быть задано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытания всех чисел и выбора одного из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной ".

Уже через три года немецкий математик Дирихле (1805 - 1859) сделал такое обобщение понятия функции: "y есть функция переменной x (на отрезке a ? x ? b), если каждому значению x соответствует вполне полное значение y, причем не важно, каким образом установлена эта соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей или даже просто словами ".

Во второй половине 19 века после открытия теории множества к определению функции, кроме идеи соответствия, была привлечена идея множества, а потому современное определение функции формулируют так: "Соответствие между множествами X и Y, при которой каждому элементу х множества Х соответствует определенный элемент у множества Y, называют функцией" .

В XX столетии произошло дальнейшее расширение понятия функции, вызванное нуждами физики. В 1930г. английский физик Поль Дирак (1902 - 1984) ввел понятие так называемой "дельта - функции", а в 1936г. русский математик и механик С. Л. Соболев (1908 - 1990) ввел более широкое понятие обобщенной функции, которое охватывает и дельта - функцию .

Следовательно, понятие функции продолжает развиваться и расширяться в соответствии с потребностями развития математической науки и ее практических применений.

Происхождение понятия границы, на котором зиждется весь математический анализ, уходит в глубокую древность, связанную с вычислением площадей криволинейных фигур, объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями. Идея границы впервые использовал древнегреческий математик IV в. до н.э. ЕвдоксКнидский. Метод Евдокса, который был назван "метод исчерпывания", использовал Евклид, Архимед и другие ученые древнего мира.

Первое определение границы дал в середине XVII в. английский математик Джон Валлес (1616 - 1703). Но тогда еще не было четкого понимания основных понятий, связанных с теорией границ. В частности, термин "бесконечно малая" понимали как указание на размер величины, а не характер ее изменения.

Термин "граница" и соответствующий символ lim впервые был введен английским математиком и механиком Исааком Ньютоном (1643 - 1727). Строгое определение предела и непрерывности функции сформулировал в 1823 г. Французский математик Коши (1789 - 1857). Определение непрерывности функции еще раньше Коши сформулировал чешский математик Бернард Больцано (1781 - 1848). По этим определениями на базе теории действительных чисел были осуществлены строгое обоснование основных положений математического анализа.

Открытию основ дифференциального исчисления предшествовали работы французского математика и юриста Пьера Ферма (1601 - 1665), который в 1629 г. предложил способы нахождения наибольших и наименьших значений функций, проведения касательных к произвольным кривых, фактически опирались на применение производных. Этому способствовали также работы Рене Декарта (1596 - 1650), разработавший метод координат и основы аналитической геометрии. Лишь в 1666 г. Ньютон и несколько позднее Лейбниц независимо друг от друга построили теорию дифференциального исчисления. Ньютон пришел к понятию производной, решая задачи о мгновенной скорости, а Лейбниц, - рассматривая геометрическую задачу о проведении касательной к кривой. Ньютон и Лейбниц исследовали проблему максимумов и минимумов функций. В частности, Лейбниц сформулировал теорему о достаточном условии роста и убывания функции на отрезке.

Эйлер в работе "Дифференциальное исчисление" (1755г.) различал локальный экстремум и наибольшие и наименьшие значения функции на определенном отрезке. Он первый начал использовать греческую букву ? для обозначения приращения аргумента ?X = X2 - X1 и приращения функции ?Y

= Y2 - Y1.

Обозначения производной у'и f'(х) ввел французский математик Лагранж (1736 - 1813).

Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникли из потребностей вычисления площадей плоских фигур и объемов произвольных тел. Идеи интегрального исчисления берут начало в работах древних математиков. Этому свидетельствует "Метод исчерпывания" Евдокса, который позже использовал Архимед в III в. до н. э.

В XVII веке Иоганном Кеплером (1571 - 1630), открывшим законы движения планет, была успешно осуществлена первая попытка развить идеи Архимеда. Кеплер вычислял площади плоских фигур и объемы тел, опираясь на идею разложения фигуры и тела на бесконечное количество бесконечно малых частей. Из этих частей в результате добавления составлялась фигура. В отличие от Кеплера, итальянский математик Кавальери (1598 - 1647), пересекая фигуру (тело) параллельными прямыми (плоскостями), считал их лишенными какой-либотолщины.В историю вошел так называемый "принцип Кавальери", с помощью которого вычисляли площади и объемы. Этот принцип получил теоретическое обоснование позже с помощью интегрального исчисления.

Идеи Кеплера и других ученых стали той почвой, на котором Ньютон и Лейбниц открыли интегральное исчисление. Развитие интегрального исчисления продолжили Эйлер и П. Л. Чебышева (1821 - 1894), разработавший способы интегрирования некоторых классов иррациональных функций.

Современное определение интеграла как предела интегральных сумм принадлежит Коши. Символ ? хdx было введено Лейбницем. Знак ? напоминает растянутую S (первая буква латинского слова SUMMA - "сумма"). Термин "интеграл" происходит от латинского INTEGER - "целый" и был предложен в 1690р. И. Бернулли.

Литература

1. Бунте Марно. Философия физики: Пер, с англ. Изд. 2-е, стереотипное, 2003.

2. http://fshq.ru

Размещено на Allbest.ru