Размещено на http://www.allbest.ru/

ОЧУВО «Международный инновационный университет»

Направление «Юриспруденция»

Реферат

Тема: Функция Лагранжа

Сочи, 2017 г.

Содержание

Введение

1. Изобразительные модели

2. Функция Лагранжа свободной материальной точки

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Научная модель является отображением некоторых интересующих нас явлений (например, определенных объектов, событий, процессов, систем) и используется в целях управления и предсказания. Основная функция научной модели заключается не в том, чтобы описать явления, а в том, чтобы объяснить их. Модель должна помочь выяснить, каким образом некоторые стороны явления влияют на другие стороны или же на явления в целом. Если построена достаточно верная модель, то эти вопросы можно выяснить, производя соответствующие опыты на модели, не меняя характеристик изучаемого объекта.

Преимущества использования модели для этих целей особенно очевидны, когда опыты на самом объекте или невозможны, как, например, в астрономии, или очень дороги, как в сложных промышленных организациях. Но знание моделей этих далеко не исчерпывается. В самом дели, в некотором смысле научные теории, объясняющие определенные явления, аналогичны моделям этого явления, потому наука не могла бы существовать без моделей, как она не могла бы существовать без теории.

Таким образом, модели играют важнейшую роль в исследовательском процессе и поэтому неизменно возрастает интерес к их изучению. Существующие модели можно разделить на три типа: изобразительные (модели геометрического подобия), модели - аналогии и символические (математические).

1. Изобразительные модели

Изобразительная модель отображает внешние характеристики системы (как фотография или модель самолета). Она подобна оригиналу. Многие фотографии, картины и скульптуры являются изобразительными моделями людей, различных предметов или сцен. Игрушечный автомобиль является изобразительной моделью “настоящего” автомобиля. Глобус является изобразительной моделью земного шара. В общем случае всякое отображение представляет собой изобразительную модель в той мере, в какой его свойства совпадают со свойствами оригинала. Правда, эти свойства обычно подвергаются метрическому преобразованию, т.е. берётся определенный масштаб. Например, глобус имеет уменьшенный диаметр по сравнению с земным шаром, хотя форма и относительные размеры континентов, морей и т.д. приблизительно правильные. Модель атома, наоборот, имеет увеличенные размеры, чтобы его можно было разглядеть не вооруженным глазом. Масштаб в модели вводится для экономии и удобства пользователя. В обычных условиях гораздо легче работать с моделью здания, атома или производственной системы, чем с самим объектом. Так, с опытным заводом, который является уменьшенной моделью полного завода, работать гораздо легче, чем с настоящим заводом [1].

Изобразительные модели хорошо приспособлены для отображения статического или динамического явления в определенный момент времени. Например, фотография или схема производственных потоков может дать хорошую «картину» работы завода. Но такие модели не подходят для отображения динамики явлений, например для отображения рабочих операций, на заводе. Поэтому они не годятся для изучения изменяющегося процесса, или динамики системы.

Хотя изобразительная модель и подобна оригиналу, она, как и другие типы моделей, отличается от оригинала и не может отразить всех его свойств. В ней отображается только свойства оригинала, существенные для задач, решаемых с помощью данной модели. Этой избирательностью во многом определяется экономичность использования любой научной модели.

Модель - аналог использует ряд свойств одного явления для отображения свойств другого явления (например, в некоторых случаях поток воды через трубы можно принять за аналог “потока” электричества по проводам) [2].

При построении модели различных объектов, событий, процессов или систем не всегда можно простым изменением масштаба изобразить все интересующие нас свойства. Например, мы не можем наглядно представить на глобусе геометрическую структуру Земли. Но мы легко можем представить различные геометрические формации с помощью разноцветной окраски. При этом мы производим подмену одного свойства (цвет) другим (геометрическая структура) в соответствии с некоторыми правилами преобразования. В картографии, например, такое преобразование является узаконенным, причем правила для преобразования приводятся в легенде. В легенде на карте приводится также перечень обозначений: например, сплошная линией обозначается грунтовая дорога, а пунктирной - шоссейная. Такая модель называется моделью - аналогом, поскольку в ней совокупность одних свойств представляется с помощью совокупности других свойств.

Примером простой аналогии является графики. На графиках пользуются расстоянием для отображения таких свойств, как время, число, проценты, вес, и многих других. Графики часто удобны для представления количественных соотношений и дают возможность предсказывать, как изменения одного свойства сказывается на другом свойстве [3].

Используя модели - аналоги, мы увеличиваем наши возможности проверять на модели изменения различных параметров. Обычно проще изменить модель - аналог, чем изобразительную модель.

Модели - аналоги удобны для отображения динамических процессов или систем. Можно построить модель, работа которой будет аналогична работе конвейера на заводе. Или можно отобразить колебания спроса путем соответствующего изменения некоторой входной величины модели. Однако на изобразительной модели, например уменьшенной действующей модели цеха, такое изменение провести трудно.

Другим преимуществом модели - аналога по сравнению с изобразительной моделью является большая универсальность этой модели. Так, незначительно изменение модели, можно отобразить различные процессы одного класса.

Символическая модель использует символы для отображения свойств изучаемой системы (с помощью математического уравнения или системы уравнений). Элементы модели и их взаимосвязь задаются с помощью символов (обычно математического или логического характера).

Во многих случаях построения моделей - аналогов затруднительно, поскольку изучение динамики явления отнимает много времени. Например, чтобы изучить с помощью аналоговой модели влияния колебания спроса на производственный процесс, нужно проделать на модели много опытов. Если же системы можно представить с помощью математического выражения, то влияние изменить какого-нибудь параметра можно установить с помощью математической дедукции за несколько шагов. Поэтому мы рассматриваем в основном символические модели.

2. свободной точки

Переходя определению функции , сначала простейший -- движение точки системы отсчета. уже , функция этом случае лишь квадрата . Для выяснения зависимости принципом . Если инерциальная движется инерциальной с бесконечно , то . как во всех должны один же вид, Лагранжа при перейти в , если отличается , лишь на от координат [4].

Имеем

.

Разлагая в по пренебрегая бесконечно порядков,

.

Второй части этого полной по в том , он от . Поэтому от зависит, .е. в рассматриваемом пропорциональна скорости

, (1.13)

где -- постоянная.

Из того Лагранжа вида относительности Галилея бесконечно преобразования , следует, что удовлетворяет принципу случае конечной отсчета .Действительно,

или

.

Второй член является полной производной и может быть опущен. Величина называется массой материальной точки [5]. В силу свойства аддитивности функции Лагранжа, для системы невзаимодействующих точек имеем: (в качестве индекса, указывающего номер частицы, мы будем пользоваться первыми буквами латинского алфавита, а для индексов, нумерующих координаты, используем буквы

(1.14)

Следует подчеркнуть, что лишь при учете этого свойства данное определение массы приобретает реальный смысл. Как уже было отмечено, всегда можно умножить функцию Лагранжа на любую постоянную; это не отражается на уравнениях движения [6]. Для функции (1.14) такое умножение сводится к изменению единицы измерения массы; отношения же масс различных частиц, которые только и имеют реальный физический смысл, остаются при этом преобразовании неизменными.

Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки 1 пространства в точку 2 интеграл

имеет минимум [7]. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения, т.е. не имел бы минимума.

Полезно заметить, что

(1.15)

Поэтому для составления функции Лагранжа достаточно найти квадрат длины элемента дуги в соответствующей системе координат [8].

В декартовых координатах, например, и, следовательно,

(1.16)

в цилиндрических

и

(1.17)

в сферических

и

(1.18)

функция лагранж материальный точка

Заключение

Лагранжиамн, функция Лагранжа динамической, является функцией обобщённых и описывает эволюцию системы. Например, движения (для классической механики) в этом подходе получаются из принципа, записываемого как [9]:

где действие -- функционал

а -- обобщённые (например, координаты частиц или полевые переменные), обозначает множество параметров системы, в случае классической механики -- независимые пространственные координаты и время, а более широком еще электрические или другие физические параметры. Названа в честь Жозефа Луи Лагранжа.

Уравнения, полученные посредством приравнивания нулю производной функционала по всем направлениям, идентичны обычным уравнениям Эйлера-Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевы динамические системы.

Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии модели в частиц и заканчивая Ньютона в механике (см. Лагранжева механика). Также к этой области относятся чисто математические проблемы, такие как задача нахождения геодезических и проблема Плато [10].

Через преобразование лагранжиан связан с гамильтонианом (в котором за основу берутся импульсы), на базе гамильтониана сформулирована Гамильтонова.

Список использованной литературы

1. В.И. Варфоломеев “Моделирование элементов экономических систем” [электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.nehudlit.ru/books/algoritmicheskoe-modelirovanie-elementov.html

2. Бусленко Н.П. “Моделирование сложных систем” [электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.twirpx.com/file/1758565/

3. У. Черчмен, Р. Акоф, Л. Артоф. “Введение в исследование операций”. [электронный ресурс]. - Режим доступа: http://bookre.org/reader?file=580627

4. А. Будылин “Элементарные задачи” [электронный ресурс]. - Режим доступа: http://claw.ru/book-readywork/rabota/zadacha-lagranja-2380/

5. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариацинное “Исчисление и оптимальное управление”. Москва, 2008.

6. Ашманов С.А., Тимохов А.В. “Теория оптимизации в задачах и упражнениях”. Москва, 2008.

7. А.Г.Коваленко, И.А.Власова, А.Ф.Федечев.- “Лабораторный практикум по методам оптимизации”. Самара, 1998г.

8. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ для 10 класса [Текст]: учеб. пособие / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд - М.: Просвещение, 2008. - 359 с.

9. Островерхая, Л.Д. Применение теоремы Лагранжа и ее следствий при решении задач [Текст]: Л.Д. Островерхая // Научно - теоретический и методический журнал «Математика в школе», 2015, №9

10. Алгебра и начало анализа: Учеб. Пособие для 10-го кл. общеобразоват. шк. с углубленным изучением математики [Текст]: / К.О Ананченко, Коваленко В.С., Воробьев Н.Т. и др. - Мн.: Народная асвета, 2012. - 575 с.

11. Введение в математическое моделирование: учебное пособие. Логос [электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.knigafund.ru/books/178937

12. Замков О. О., Черемных Ю. А., Толстопятенко А. В. Математические методы в экономике: Учебник. -- 2-е изд. -- М.:Изд-во МГУ; Дело и сервис, 2009.

13. Рюмина Е. В. Экологический фактор в экономико-математических моделях. -- М.: Наука, 2008.

14. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. -- М.: ЮНИ-ТИ-ДАНА, 2012.

15. Кузнецова Б. Т. Математика: учебник [электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.knigafund.ru/books/122612

Размещено на Allbest.ru