Динамические системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

«Пособие по динамическим системам»

Выполнил Никитин Станислав

Руководитель Маргаритов Виталий Сергеевич

Москва, 2010 г.

Введение

Целью моей работы является предоставление учащимся понятного и общедоступного методического пособия по теме динамические системы.

Поставленная цель потребовала выполнения следующих задач:

· Ознакомиться с рядом источников по поставленной теме

· Вывести самую важную информацию

· Описать её общедоступным и понятным для ученика языком

· Разобрать несколько динамических систем для наглядного примера

Для выполнения вышеуказанных задач я использовал следующую литературу:

v «Путь в синергетику. Экскурс в десяти лекциях» (Б.П. Безручко, А.А. Короновский, Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов. Издательство КомКнига, 2005 год)

Книга посвящена одному из наиболее перспективных междисциплинарных подходов - теории самоорганизации, или синергетике. Известный физик и замечательный писатель Чарльз Сноу в середине XX века сетовал на опасную пропасть в науке, которая пролегла между естественнонаучной и гуманитарной культурами. Одна из целей синергетики - перебросить мост через эту пропасть.

В основу книги положены курсы лекций, которые читались на социально-гуманитарном, философском, биологическом, геологическом факультетах и факультете компьютерных наук и информационных технологий Саратовского государственного университета имени Н.Г.Чернышевского.

v «Динамические системы в задачах вычислительной экологи леса» (В.И. Кузнецов, Н.И. Козлов, Д.В. Кирьянов, Е.Н. Кирбянова. Издательство Полибук Мультимедиа, 2006 год)

Книга посвящена разделу высшей математики, связанному с решением задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (динамическим системам). В первой части книги авторы приводят основные положения теории динамических систем, сопровождая их характерными примерами из области вычислительной экологии леса. Особое внимание уделяется численным методам, которые наиболее эффективны в практических случаях. Вторая часть представляет динамическую модель среднеширотного леса, разработанную авторами, для исследования которой применяются методы, обозначенные в первой части.

Для того, чтобы начать изучение динамических систем, нужно сначала разобраться с понятием динамической системы. Динамическая система является моделью какой-либо реальной физической, химической, биологической, социальной или любой-другой системы. Для того чтобы определить динамическую систему, необходимо задать набор величин, однозначно характеризующих состояние системы и задать правило, по которому, зная текущее состояние системы, можно определить её состояние в следующий момент времени.

С понятием «динамическая система» тесно связаны понятия «фазовое пространство», «изображающая точка» и «фазовая траектория». Фазовой плоскостью называется плоскость, по осям координат которой откладываются переменные величины, характеризующие состояние системы. Изображающая точка - это точка на фазовой плоскости, соответствующая текущему состоянию рассматриваемой системы. Линия, по которой движется изображающая точка, называется фазовой траекторией. Среди динамических систем можно выделить два больших класса: динамические системы с дискретным временем и динамические системы с непрерывным временем.

Для того, чтобы было понятно, о чём идёт речь возьмём в качестве примера эволюцию системы «собака». В качестве переменных, характеризующих систему, возьмём «рост собаки» и «вес собаки». Сначала собака является щенком, поэтому её рост и вес невелик. При взрослении эти параметры увеличиваются, а затем собака достигает «расцвета сил». После него рост собаки остаётся прежним, а вот вес уменьшается, что связано со старением и дряхлением. Всё это можно изобразить как график, где по одной оси будет рост собаки, а по другой - вес собаки. Таким образом каждая точка на плоскости будет однозначно характеризовать состояние системы «собака». Также можно и каждое состояние рассматриваемой системы представить в виде точки на плоскости. Такая плоскость и называется фазовой, причём если бы переменных было больше, то речь бы шла о фазовом пространстве.

1 Глава

Модель

Динамическая система - это модель какой-либо реальной физической, химической, биологической, социальной или любой-другой системы.

Разберёмся с понятием модели. Термин «модель» (от латинского «modulus» - мера, образец, норма) использовался еще в XVI веке до н.э. Прежде, чем начинать строить здание из каменных глыб, можно рассмотреть особенности строения на маленьком макете из дерева. Сейчас со словом «модель» связно огромное количество материальных объектов и идеальных образов: от образцов причесок, одежды, уменьшенных копий самолётов и автомобилей до графиков, уравнений и вычислительных алгоритмов. То есть модель - это некоторый материальный или мысленно представляемый объект или явление, являющийся упрощённой версией моделируемого объекта или явления (прототипа) и в достаточной степени повторяющий свойства. Модели могут быть разными: могут обладать более или менее богатыми свойствами, могут быть даже сложнее устроены, чем сам объект. Моделированием называют процесс создания и использования моделей.

Часто модель представляют как «упрощенное представление оригинала», как некую карикатуру на настоящий объект. В этих словах есть доля правды, ведь модель обладает лишь частью, а не всеми свойствами объекта. Но в этих словах усматривается нечто пассивное, а модели активны. Их наличием и качеством определяется сама возможность наблюдения за объектом.

Научные модели различают «по степени общности», «закону функционирования» и т.п. В соответствии с первым признаком модели размещают в виде пирамиды, в вершине которой располагаются примеры, которые обеспечивают наибольший охват явлений и объектов реального мира. В соответствии со вторым признаком модели разделяют на использующие законы логики в сознании человека или функционирующие по законам природы. Например, бумажный самолётик или птица моделируют планирование самолёта в соответствии с законами природы, а модельные математические уравнения функционируют в соответствии с человеческой логикой.

По происхождению модели делятся на:

o Полученные интуитивно (то есть из головы)

o Полученные упрощением известного более общего («от общего к частному»)

o Полученные по принципу от частного к общему

o Полученные непосредственно из данных эксперимента или наблюдения

Как уже было сказано, модели могут иметь вид предметов, рисунков, мысленных образов, формул. Они могут формулироваться на разных языках, в том числе и на языках конкретных наук. Причина распространенности языка математики в стремлении науки к максимально обобщенному и обезличенному знанию и в использовании методов, способствующих этому. В некотором смысле максимально обезличенно знание, представленное числом, которое является максимально формализированным понятием. Ведь и ученый, и продавец в магазине одинаково успешно используют правило 2*2=4. Формулы умножения или деления, способы решения уравнений и построения графиков не зависят от содержания, вида или особенностей объектов. Таким образом, одно и то же математической выражение может характеризовать и механическую, и биологическую, и социальную систему. То есть, хорошо изучив лишь одну модель, исследователь может судить о процессах в большом количестве систем и даже переносить результаты рассмотрения одного объекта на другой, имеющий отличную от первого природу. Например, наблюдения за системой, в которой изменения происходят за секунды или минуты, могут быть в чём-то обобщены на явления, описываемые такими же математическими моделями, но протекающие с гораздо меньшей скоростью, когда изменения происходят за годы или века.

Динамические системы

Теперь рассмотрим некоторые математические понятия, без которых в будущем не обойтись, для понимания материала.

Любая система может быть охарактеризована набором величин. Все величины можно разделить на параметры, то есть величины, которые в рамках рассматриваемой задачи могут считаться постоянными и переменные - величины, которые могут изменяться при рассмотрении процесса. Переменные в свою очередь разделяются на зависимые (функции) и независимые. Независимыми переменными называют переменные, которые в рамках данной задачи изменяются независимо от рассматриваемой системы. Зависимые же, зависят от независимых и изменяются с изменением независимых переменных.

Существует два подхода к описанию объектов и явлений: динамический и статистический (вероятностный). В рамках динамического подхода предполагается, что если точно задать все начальные условия и указать все факторы, которые влияют на поведение системы, то можно сколь угодно точно и однозначно предсказать все последующие состояния системы. Статистический подход не претендует на точное описание системы. Здесь главным моментом является понятие «вероятность», и описание системы сводится к заключению о том, что некоторое событие может произойти, а может и не произойти с некоторой вероятностью.

Любая функция может быть отнесена либо к классу линейных, либо к классу нелинейных функций. Функция называется линейной, если ее графиком является прямая линия или плоскость, если функция зависит от двух переменных, а в формуле задающей вид функции, отсутствуют нелинейные слагаемые, то есть слагаемые второй, третьей или выше степеней.

Теперь перейдём, собственно, к динамическим системам. Основные понятия динамических систем изложены во введении (стр. 4).

Все динамические системы делятся на два больших класса: динамические системы с дискретным временем и динамические системы с непрерывным временем.

Динамические системы с дискретным временем - это системы, для которых используется переменная времени, принимающая дискретный (конечный) набор значений. Например, вы положили в банк 1000 рублей под 10% в месяц. Нетрудно посчитать, что через месяц у вас будет 1100 рублей, через два - 1210 рублей и так далее. В течение месяца сумма вашего вклада не изменяется, следовательно, совсем необязательно указывать эту сумму в каждый момент времени. Необходимо знать количество денег лишь на начало каждого месяца. В этом случае время не изменяется непрерывно, оно имеет конечный набор значений.

Зная сумму на счете в самом начале, можно найти сумму на счёте по истечении одного месяца: S1=S0(1+0,1)=1,1S0. Аналогично, зная сумму вклада по истечении n месяцев, мы можем найти сумму на счету: Sn+1=Sn+0,1Sn=1,1Sn. Такое соотношение связывает между собой два последовательных соединения переменной S, характеризующей состояние системы. Такие зависимости, связывающие значения переменных величин в два последовательных момента дискретного времени, называют отображениями.

Поведение системы с дискретным временем (отображения), как правило, выглядит очень просто. Для того, чтобы понять, как ведет себя система, нужно руководствоваться следующими правилами:

1) Необходимо задать на оси Sn начальное условие S0

2) Используя график зависимости Sn+1=f(Sn), нужно найти значение величины S в следующий момент времени

3) Отложить найденное значение S на оси Sn

4) Последовательно выполнять пункты 2 и 3

Для того, чтобы облегчить выполнение 3 пункта, дополнительно строят биссектрису. Затем проводят горизонтальную линию от точки (Sn; f(Sn)) до биссектрисы, а от неё - вертикальную прямую линию. Пересечение этой прямой с графиком f(S) определяет следующую искомую точку, после чего повторяют те же действия для нахождения следующей точки. Подобное графическое представления поведения дискретного отображения называют диаграммой или лестницей Ламерея.

Динамические системы, в которых значение переменной времени изменяется непрерывно, и в любой момент времени можно определить значения переменных величин, называются динамическими системами с непрерывным временем или потоковыми системами.

2 Глава

Вторая глава посвящена разбору примеров конкретных динамических систем.

Диаграмма Ламерея

Часто для того чтобы предсказать поведение графика в следующий момент времени используют диаграмму Ламерея или лестницу Ламерея. Для этого строят график, на оси абсцисс которого xn, а на оси ординат - xn+1, и на нём проводят биссектрису (см. рисунок). После этого от произвольной точки на горизонтальной оси проводят вертикальную линию к графику, а затем горизонтальную линию к биссектрисе. Затем опять вертикальную линию к графику, а после - горизонтальную к биссектрисе. Таким образом можно наблюдать эволюцию переменной в виде некоторой «лестницы». Выглядит это примерно так:

Теперь попробуем рассмотреть динамическую систему уже на практике. Для этого составим формулу по нахождению x, построим график и, с помощью диаграммы Ламерея, попробуем определить поведение системы.

Рассмотрим динамическую систему x' = A*x, где x' это изменение х за единицу времени.

Для этого в программе Microsoft Excel запишем формулу и построим по получившимся результатам график. Но cначала нужно эту формулу составить. Так как x' это xn+1-xn, то xn+1-xn=A*xn. Следовательно, получившаяся формула будет выглядеть так: xn+1=xn(1+A).

Чтобы ввести формулу в Microsoft Excel, для начала, отведём одну ячейку для фиксированного значения переменной A. После этого, в одной из ячеек пишем начальное значение x. На ячейку ниже пишем получившуюся формулу «=$A2*(1+$B$2)» (знаки $ означают абсолютную адресацию, то есть координата, перед которой стоит $ не будет изменяться) и после этого растягиваем уголок в правом нижнем углу ячейки.

Получится примерно вот так:

Для начала, возьмем, допустим, A=1 и x=1, а затем будем изменять значения переменных.

Как видно из картинки, при таких значениях переменных график будет выглядеть в виде параболы и будет бесконечно увеличиваться. По горизонтальной оси откладывается время, по вертикальной - значение x'.

Теперь построим к данному графику диаграмму Ламерея, чтобы посмотреть, как ведёт себя график в целом:

Чёрным цветом изображён график, серым - биссектриса. Красные стрелки - лестница Ламерея.

Теперь начнём изменять значения x:

§ При х=0, графиком будет являться прямая (вне зависимости от значений A):



§ x<0 - функция будет перманентно уменьшаться; (x=-1)



§ х>0 - функция будет перманентно увеличиваться (x=1)



Теперь попробуем изменять значения A:

§ а=0 - графиком будет являться прямая

§ 0<A<-1 (положительные значения x - сверху, отрицательнее - снизу)



динамический система лемарей диаграмма

§ A=-1 (при отрицательных (сверху) и положительных (снизу) значениях)



§ A>1 - график будет такой же, как и при А=1, изменятся только значения x

§ -1<A<-2 (положительные значения x - сверху, отрицательнее - снизу)



§ A=-2 - график будет совершать колебания от положительных значений к отрицательным при x>0 (сверху (x=1)) и от отрицательных к положительным в при x<0 (снизу (x=-1))



§ A<-2 (положительные значения x - сверху, отрицательнее - снизу)



Чтобы подытожить результаты исследования, составим таблицу, которая наглядно продемонстрирует поведение системы при разных исходных значениях.

Таблица поведения системы
A>0	x=0	Графиком будет являться прямая
	x>0	Функция будет экспоненциально увеличиваться
	x<0	Функция будет экспоненциально уменьшаться
A=0	любое значение x	Графиком будет являться прямая
0<A<-1	x>0	Значения x уменьшаются, асимптотически приближаясь к 0
	x<0	Значения x увеличиваются, асимптотически приближаясь к 0
A=-1	x>0	Первое значение будет положительным. Начиная со второго отрезка времени, значение x будет равно 0
	x<0	Первое значение будет отрицательным. Начиная со второго отрезка времени, значение x будет равно 0
-1<A<-2	x>0	Функция будет совершать постоянно уменьшающиеся по амплитуде колебания от положительных значений к отрицательным
	x<0	Функция будет совершать постоянно уменьшающиеся по амплитуде колебания от отрицательных значений к положительных
A=-2	x>0	Функция будет совершать одинаковые по амплитуде колебания от положительных значений к отрицательным
	x<0	Функция будет совершать одинаковые по амплитуде колебания от отрицательных значений к положительным
A<-2	x>0	Функция будет совершать постоянно увеличивающиеся по амплитуде колебания от положительных значений к отрицательным
	x<0	Функция будет совершать постоянно увеличивающиеся по амплитуде колебания от отрицательных значений к положительным

Теперь разберем другую систему, более сложную - x'=x(A-x)

Данную систему называют экспоненциальным ростом. В математике экспоненциальное возрастание величины (возрастание в геометрической прогрессии), которая растет со скоростью, пропорциональной её значению. Говорят, что такой рост подчиняется экспоненциальному закону. Это означает, что для любой экспоненциально растущей величины, чем большее значение она принимает, тем быстрее растет. Также это означает, что величина зависимой переменной и скорость ее роста прямо пропорциональны

Действия здесь точно такие же. Для начала составим формулу: xn+1=xn(A-xn).

Записываем её в Microsoft Excel и подставляем начальные значения, допустим, A=1 и x=1,

Далее, составляем лестницу Ламерея:

Начнём изменять значения x, при A=1:

§ x=0

§ 0<x<1 (x=0,5)



§ x>1 (значение x постоянно уменьшается (x=2))



§ x<0 (значение x постоянно уменьшается (x=-1))



Теперь разберём эту же динамическую систему при другом, более сложном значении А, и посмотрим, что получится. Допустим, A будет равно 4.

При A=4:

§ x<0 (x=-1)

§ 0<x<1 (x=0,5)

В данном случае значение x хаотически колеблется и предугадать дальнейшее поведение графика будет сложно.

Это подтверждает и диаграмма Ламерея, показывая, что других траекторий быть не может.

§ x=1

В данном случае значения x начиная со второй точки не меняются



Что и подтверждает диаграмма Ламерея

§ 1<x<2 (x=1,5)

В данном случае значение x хаотически колеблется и предугадать дальнейшее поведение графика будет сложно.



Это подтверждает и диаграмма Ламерея, показывая, что других траекторий быть не может.

§ x=2

При x=2 график вначале совершает небольшое колебание, а затем всё время остаётся в одной и той же точке



Что и подтверждает диаграмма Ламерея.

§ 2<x<3 (x=2,5)

В данном случае значение x хаотически колеблется и предугадать дальнейшее поведение графика будет сложно.



Это подтверждает и диаграмма Ламерея, показывая, что других траекторий быть не может.

§ x=3

Здесь всё просто - график является прямой.



§ 3<x<4 (x=3,5)

В данном случае значение x хаотически колеблется и предугадать дальнейшее поведение графика будет сложно.



Это подтверждает и диаграмма Ламерея, показывая, что других траекторий быть не может.

§ x=4



§ x>4 (x=5)

При данном значении x вначале нам видится прямая. Проверим с помощью диаграммы Ламерея



Как видно из диаграммы Ламерея, это не так. На протяжении первых восьми точек значения х не равны 0 как кажется из-за разных единичных отрезков по осям, они постоянно уменьшаются.

Заключение

В заключение хотелось бы сказать, что я пытался сделать своё пособие по динамическим системам так, чтобы оно было максимально понятно ученикам средней школы, чтобы читатель, после ознакомления с пособием, смог разобраться во всём и приступить к разбору динамических систем самостоятельно. Для этого многие фразы пришлось перефразировать так, чтобы они были понятны, но при этом полностью передавали смысл изначальной формулировки или термина. Немало хлопот доставили построения графиков, так как до этого я немногое знал о построении графиков в программе Microsoft Excel. Также пришлось разобраться с построением лестницы Ламерея и опять же построением графика в программе. Немало времени пришлось потратить на выявление дальнейшего поведения при разных исходных значениях и значениях констант. Наверное, это стало наибольшей проблемой при работе над данным пособием.

Надеюсь, Вам было интересно читать мою работу, и она поможет Вам в дальнейшем изучении динамических систем.

Список литературы

v «Путь в синергетику. Экскурс в десяти лекциях» (Б.П. Безручко, А.А. Короновский, Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов. Издательство КомКнига, 2005 год)

Книга посвящена одному из наиболее перспективных междисциплинарных подходов - теории самоорганизации, или синергетике. Известный физик и замечательный писатель Чарльз Сноу в середине XX века сетовал на опасную пропасть в науке, которая пролегла между естественнонаучной и гуманитарной культурами. Одна из целей синергетики - перебросить мост через эту пропасть.

В основу книги положены курсы лекций, которые читались на социально-гуманитарном, философском, биологическом, геологическом факультетах и факультете компьютерных наук и информационных технологий Саратовского государственного университета имени Н.Г.Чернышевского.

v «Динамические системы в задачах вычислительной экологи леса» (В.И. Кузнецов, Н.И. Козлов, Д.В. Кирьянов, Е.Н. Кирбянова. Издательство Полибук Мультимедиа, 2006 год)

Книга посвящена разделу высшей математики, связанному с решением задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (динамическим системам). В первой части книги авторы приводят основные положения теории динамических систем, сопровождая их характерными примерами из области вычислительной экологии леса. Особое внимание уделяется численным методам, которые наиболее эффективны в практических случаях. Вторая часть представляет динамическую модель среднеширотного леса, разработанную авторами, для исследования которой применяются методы, обозначенные в первой части.

Размещено на Allbest.ru

...