Фрактал как элемент симметрии

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Цель:

· познакомиться с фракталом, как одной из разновидности симметрии

· изучить применение фракталов в мире живой и неживой природы, музыке, литературе.

Задачи:

1. познакомиться с понятиями симметрия и фрактал;

2. выяснить как с помощью фракталов можно описать объекты живой и неживой природы;

3. выяснить, как проявляются фракталы в музыке, литературе;

4. расширить наши представления о сферах применения математики.

Гипотеза:

Всё в мире можно описать с помощью математических формул.

С давних времен математика считается одной из главных наук. Математика одна из древнейших и необходимых для прогресса разных дисциплин наука.

Предметом данного исследования являются фракталы, как элементы симметрии, которая как одна из математических основ законов красоты, взаимосвязи науки математики с окружающими нас живыми и неживыми объектами.

Недавно я узнала о таких интереснейших объектах математического мира, как фракталы. Но существуют они не только в математике. Они окружают нас повсюду. О том, что такое фракталы, о видах фракталов, о примерах этих объектов и их применении я и расскажу в этой работе.

Существует множество естественных феноменов, возможно большинство, относительно которых понятие «симметрия» кажется неприменимым. Формы облаков, рваные контуры гор, бурные потоки, пятна лишайника и т.д., вкупе создают впечатление смешанной беспорядочности. Но во всех этих объектах присутствует логичность, обнаружение которой широко раздвигает рамки идеи самоподобия и самой симметрии.

Многие природные формы, даже если они кажутся непостижимо сложными и беспорядочными, обладают узнаваемым статичным самоподобием. Это значит, что они выглядят одинаково в различных масштабах, и степень их фрактальности может быть измерена.

1. Симметрия

Напомню, что такое симметрия. Симмемтримя (др.-греч. ухммефсЯб = «соразмерность»; от ухм- «совместно» + мефсЭщ «мерю»), в широком смысле -- соответствие, неизменность (инвариантность), проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях (например, положения, энергии, информации, другого). Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы (сохраняя одну точку на месте). Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Виды симметрии

· Центральная симметрия.

· Осевая (зеркальная) симметрия.

· Поворотная симметрия.

· Зеркально-поворотная симметрия.

· Переносная (трансляционная) симметрия.

· Скользящая плоскость(ось) симметрии.

Центральная симметрия.

Определение: Центральная симметрия- это симметрия относительно точки. Определение: Точки А и В симметричны относительно некоторой точки О, если точка О является серединой отрезка АВ. Определение: Точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура называется центрально-симметричной.

Свойство: Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны (рис. 1).

Примеры:



Рис. 1

Осевая симметрия

Определение: Осевая симметрия - это симметрия относительно проведенной оси (прямой). Точки А и В симметричны относительно некоторой прямой а, если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии. Осью симметрии называется прямая при перегибании по которой «половинки» совпадут, а фигуру называют симметричной относительно некоторой оси.

Свойство: Две симметричные фигуры равны (рис. 2).

Примеры:

Рис. 2

Поворотная симметрия.



Рис. 3

Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360є/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка (рис.3). Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И» и «Ф». Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И» на 180є вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180є. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф». рис.3

Зеркально-поворотная симметрия.

Чтобы доказать, что существует такой вид симметрии, мы предлагаем вам самим. Вырежем из плотной бумаги квадрат и впишите внутрь его косо другой квадрат (рис. 4). Затем отогнём углы бумаги по линиям, ограничивающим внутренний квадрат (соседние углы отгибаются в противоположные стороны). В результате получим объект, показанный на рисунке (рис. 5). Он имеет поворотную ось 2-го порядка (ось АВ) и не имеет плоскостей симметрии. Будем рассматривать изделия сначала сверху, а затем снизу (с противоположной стороны листа бумаги).

Мы обнаружим, что никакого различия между «верхом» и «низом» нет; в обоих случаях объект выглядит одинаково. В связи с этим возникает мысль, что поворотная симметрия 2-го порядка не исчерпывает всей симметрии данного объекта. Дополнительная симметрия, которой обладает наш объект, - это так называемая зеркально-поворотная симметрия: объект совмещается сам с собой в результате поворота на 90є вокруг оси АВ и последующего отражения в плоскости CDEF. Ось АВ называют зеркально-поворотной осью 4-го порядка. Таким образом, здесь наблюдается симметрия относительно двух последовательно выполняемых операций - поворота на 90є и отражения в плоскости, перпендикулярной к оси поворота.

Рис. 4

фрактал геометрический симметрия треугольник

Рис. 5

2. Фрактал, как элемент симметрии

Понятия "фрактальная геометрия" и "фрактал" возникли в конце 70-х гг., а со второй половины 80-х они прочно вошли в словарь программистов, математиков и даже финансовых трейдеров. Сам термин "фрактал" происходит от латинского "fractus" и переводится как «состоящий из фрагментов».

Одним из определений фрактала является следующее: фрактал -- это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого.

Рис. 6

Этим словом в 1975 году американский и французский ученый Бенуа Мандельброт обозначил нерегулярные, но самоподобные структуры, которыми он в то время занимался. В 1977 году вышла его книга, которая была полностью посвящена такому уникальному и красивейшему явлению, как фрактальная геометрия природы.Рис.6

Сам Бенуа Мандельброт был математиком, однако термин «фрактал» не относится к математическим понятиям. Как правило, под ним подразумевают геометрическую фигуру, обладающую одним или несколькими следующими свойствами:

1) при увеличении у нее обнаруживается сложная структура;

2) в той или иной степени эта фигура подобна себе самой;

3) ее можно построить с помощью рекурсивных процедур

Фрактальная геометрия - это настоящая революция в математическом описании природы. С ее помощью можно описать мир намного понятнее, чем это делает традиционная математика или физика.

Ниже приведены для примера картинки с изображением четырех разных фракталов (рисунок 7).

Рис. 7

3. Геометрические фракталы

Фрактальная геометрия возникла в XIX веке. Кантор с помощью простой повторяющейся процедуры превратил линию в набор несвязанных точек, при этом была получена так называемая Пыль Кантора.

Он брал линию и удалял из нее центральную треть, после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Накопление данных о таких странных объектах шло вплоть до XX века.

Геометрический фрактал получается путем простых геометрических построений. При построении данных видов фракталов поступают так: берется набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Затем к ним применяется набор правил, который преобразует их в некоторую геометрическую фигуру. И потом к каждой части этой фигуры применяют этот же набор правил. С каждым шагом фигура становится все сложнее и после бесконечного количества преобразований получается геометрический фрактал.

Одним из примеров фракталов являются фрактальные кривые. Объяснить, как строиться фрактал лучше всего именно на примере фрактальных кривых. Одной из таких кривых является, так называемая, Снежинка Коха. Существует простая процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. Ниже показана Снежинка (или кривая) Коха, которая строится на основе равностороннего треугольника. Каждая линия треугольника заменяется на 4 линии длиной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, длина кривой увеличивается на треть. Если сделать бесконечное число таких шагов, то получится фрактал -- снежинка Коха бесконечной длины (рисунок 8)

Рис. 8. Снежинка Коха

Для построения треугольника Серпинского из центра треугольника мысленно вырезается кусок треугольной формы, который упирается своими вершинами в середины сторон исходного треугольника. Для трех образовавшихся треугольников повторятся эта же процедура и так до бесконечности. При этом любой из образовавшихся треугольников представляет точную копию целого.

Рис. 9. Треугольник Серпинского

Примеров фракталов можно привести массу, потому что, как я говорила, они окружают нас повсюду. По-моему, даже вся наша Вселенная -- это один огромный фрактал. Ведь все в ней, от строения атома до строения самой Вселенной, в точности повторяет друг друга.

4. Фракталы в природе, науке и технике

Что привнёс компьютер в нашу жизнь нового, неведомого до него? Главное он позволил увидеть и полюбить фракталы, которые завораживают своей таинственностью, проявляясь в различных областях: механике, биологии, географии, метеорологии, философии и даже истории.

Фрактальная геометрия нашла широкое применение в компьютерной технике. Вот представьте себе, что нужно составить программу, которая сможет вывести на экран трехмерную модель береговой линии, гор или опушки леса. Какими формулами все это возможно описать? Какими функциями воспользоваться? И здесь на помощь приходят фракталы. Маленькое облачко являет собой нечто вроде большой тучи, а молекула - крошечный аналог галактики. Так, применяя рекуррентные формулы, то есть те, которые ссылаются сами на себя, можно моделировать вполне реалистичные изображения.

Но самые, пожалуй, интересные фракталы -- это природные. Красота в природе не создаётся, а лишь фиксируется, выражается. Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание.

Природные фракталы -- это такие объекты в природе, которые обладают фрактальными свойствами. И тут уже список большой. Я не буду перечислять все, потому что, наверное, всех и не перечислить, но о некоторых расскажу. Вот, к примеру, в живой природе к таким фракталам относятся наша кровеносная система и легкие. А еще кроны и листья деревьев. Так же сюда можно отнести морских звезд, морских ежей, кораллы, морские раковины, некоторые растения, такие как капуста или брокколи. Ниже наглядно показаны несколько таких природных фракталов из живой природы (рисунок 9).

Рис. 10. Фракталы в живой природе

Если же рассматривать неживую природу, то там интересных примеров гораздо больше, нежели в живой. Молнии, снежинки, облака, всем известные, узоры на окнах в морозные дни, кристаллики, горные хребты -- все это является примерами природных фракталов из неживой природы (рисунок 10).



Рис. 11. Фракталы в неживой природе

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них -- еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них -- мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты -- фракталами (от латинского fractus -- изломанный).

С береговой линией, а точнее, с попыткой измерить ее длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон (Lewis Fry Richardson) -- весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран. Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать всё новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Правда, на самом деле этого не происходит -- у точности наших измерений есть конечный предел. Этот парадокс называется эффектом Ричардсона (Richardson effect).

В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Помимо фрактальной живописи фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов -- ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты -- элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. А экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад).

Таким образом, исследования, связанные с фракталами, меняют многое из привычных представлений об окружающем нас мире, о самых обычных предметах, таких как облака, реки, деревья, горы, травы и др.

Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения.

5. Фрактальная живопись

Фрактальная живопись - одно из направлений современного арта, популярное среди цифровых художников. Фрактальные картины необычно и завораживающе действуют на зрителя, рождая яркие пылающие образы. Сказочные абстракции создаются посредством скучных математических формул, но воображение воспринимает их живыми.

Вот один из примеров фрактальных картин:

Рис. 12

Фрактальная геометрия находит свое применение в изобразительном искусстве (фрактальный импрессионизм). Нашумевшие в свое время картины Джексона Поллака являются ярким тому примером.



Рис. 13

Мир фракталов хранит еще много удивительного, ведь это живой язык природы, и кто знает, к какому открытию подтолкнет он человечество в ближайшее 5-10 лет?

6. Фракталы в литературе

В русском языке есть «симметричные» слова - палиндромы, которые можно читать одинаково в двух направлениях:

Шалаш, казак, радар, Алла, Анна, кок, поп, топот

Могут быть палиндромическими и предложения. Написаны тысячи таких предложений.

А роза упала на лапу Азора. (А. Фет)

Я иду с мечем судия. (Т. Державин)

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают фрактальной природой, т.е. вложенной структурой самоподобия:

«Вот дом.

Который построил Джек.

А вот пшеница,

Которая в тёмном чулане хранится

В доме,

Который построил Джек

А вот весёлая птица-синица,

Которая ловко ворует пшеницу,

Которая в тёмном чулане хранится

В доме,

Который построил Джек…».

Или классический вариант:

У попа была собака, он ее любил.

Она съела кусок мяса, он ее убил.

В землю закопал,

Надпись написал,

Что

У попа была собака…

Другие стихотворения этого класса представляют собой череду противоположных утверждений или описаний, например,

Еду я и вижу мост, под мостом ворона мокнет,

Взял ворону я за хвост, положил ее на мост, пусть ворона сохнет.

Еду я и вижу мост, на мосту ворона сохнет,

Взял ворону я за хвост, положил ее под мост, пусть ворона мокнет…

Интересно стихотворение «Четыре червячка», занявшее первое место в интернет-конкурсе бесконечных стихотворений:

Четыре червячка

Весеннею порою

Обедали с грачом,

И их осталось трое.

Три червячка встречали

Экспресс на Бологое,

Перебегали путь,

И их осталось двое.

Два червячка гуляли

Среди прибрежных ив,

Один ушел рыбачить,

Один остался жив.

Один червяк не вынес

Несовершенства в мире,

Метнулся под лопату…

И стало их четыре.

Четыре червячка…

В нем бесконечная последовательность куплетов по образцу простых бесконечных стихотворений, разобранных выше, соединяется с уменьшением количества лирических героев, свойственным конечным куплетам. Особенности функционирования этих лирических героев, земляных червяков, позволяют кольцу убывающих субъектов замкнуться на начало -- и повествование начинается снова.

7. Фракталы в физике или фрактальные антенны

За последние полвека жизнь стремительно стала меняться. Большинство из нас принимает достижения современных технологий как должное. Ко всему, что делает жизнь более комфортной, привыкаешь очень быстро. Редко кто задается вопросами «Откуда это взялось?» и «Как оно работает?». Микроволновая печь разогревает завтрак -- ну и прекрасно, смартфон дает возможность поговорить с другим человеком -- отлично. Это кажется нам очевидной возможностью.

Но жизнь могла бы быть совершенно иной, если бы человек не искал объяснения происходящим событиям. Взять, например, сотовые телефоны. Помните выдвижные антенны на первых моделях? Они мешали, увеличивали размеры устройства, в конце концов, часто ломались. Полагаем, они навсегда канули в Лету, и отчасти виной тому… фракталы.

Фрактальные рисунки завораживают своими узорами. Они определенно напоминают изображения космических объектов -- туманностей, скопления галактик и так далее. Поэтому вполне закономерно, что, когда Мандельброт озвучил свою теорию фракталов, его исследования вызвали повышенный интерес у тех, кто занимался изучением астрономии. Один из таких любителей по имени Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью.



Рис. 14

Единственный способ улучшить параметры антенны, который был известен на то время, заключался в увеличении ее геометрических размеров. Однако владелец жилья в центре Бостона, которое арендовал Натан, был категорически против установки больших устройств на крыше. Тогда Натан стал экспериментировать с различными формами антенн, стараясь получить максимальный результат при минимальных размерах. Загоревшись идеей фрактальных форм, Коэн, что называется, наобум сделал из проволоки один из самых известных фракталов -- «снежинку Коха». Шведский математик Хельге фон Кох (Helge von Koch) придумал эту кривую еще в 1904 году. Она получается путем деления отрезка на три части и замещения среднего сегмента равносторонним треугольником без стороны, совпадающей с этим сегментом. Определение немного сложное для восприятия, но на рисунке все ясно и просто.

Когда Натан подключил антенну к радиоприемному устройству, он был очень удивлен -- чувствительность резко увеличилась. После серии экспериментов будущий профессор Бостонского университета понял, что антенна, сделанная по фрактальному рисунку, имеет высокий коэффициент полезного действия и покрывает гораздо более широкий частотный диапазон по сравнению с классическими решениями. Кроме того, форма антенны в виде кривой фрактала позволяет существенно уменьшить геометрические размеры. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой.

Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems, справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными.

В принципе, так и произошло. Правда, и по сей день Натан ведет судебную тяжбу с крупными корпорациями, которые незаконно используют его открытие для производства компактных устройств связи. Некоторые известные производители мобильных устройств, как, например, Motorola, уже пришли к мирному соглашению с изобретателем фрактальной антенны.

8. Фракталы в музыке или как поют фракталы

В музыке многое непосредственно связано с законами симметрии, в первую очередь нотная запись: симметрия нотного стана, зеркальная симметрия басового и скрипичного ключей на второй строке сверху и снизу и т. п. Следует подчеркнуть, что симметрия музыкальных фигур рассчитана прежде всего на визуальное, а не слуховое восприятие.

Разработан проект Aural, его придумал тот же человек, что и Incendia - Ramiro Pйrez Clare Nash. Правда, на этот раз программа не визуализирует фрактальное множество, а озвучивает его, превращая в электронную музыку. Идея очень любопытная, особенно если учесть необычные свойства фракталов. Aural -- это аудиоредактор, генерирующий мелодии с использованием фрактальных алгоритмов, то есть, по сути, это звуковой синтезатор-секвенсор.

Последовательность звуков, выдаваемая этой программой, необычна и… красива. Она вполне может пригодиться для написания современных ритмов и, как нам кажется, особенно хорошо подходит для создания звуковых дорожек к заставкам телевизионных и радиопередач, а также «петель» фоновой музыки к компьютерным играм. Рамиро пока не предоставил демонстрационной версии своей программы, но обещает, что, когда он это сделает, для того, чтобы работать с Aural, не нужно будет изучать теорию фракталов -- достаточно просто поиграться с параметрами алгоритма генерирования последовательности нот.

Заключение

Помимо той полезной роли, которую играет фрактальная геометрия при описании сложности природных объектов, она предлагает ещё хорошую возможность популяризации математических знаний. Понятия фрактальной геометрии наглядны и интуитивны. Её формы привлекательны с эстетической точки зрения и имеют разнообразные приложения. Поэтому фрактальная геометрия, возможно, поможет опровергнуть взгляд на математику как на сухую и недоступную дисциплину и станет дополнительным стимулом для учащихся в освоении этой интересной и увлекательной науки

Проведя изучение понятия фрактала, принципов его построения я могу сделать следующие выводы:

· фракталы, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражают наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи;

· изучая фракталы, можно увидеть, что это кажущаяся простота уведёт нас далеко в мир науки и техники и позволит время от времени подвергать испытанию способности нашего мозга (так как именно он запрограммирован на симметрию).

Мне кажется, что тому, кто занимается фракталами, открывается прекрасный, удивительный мир, в котором царят математика, природа и искусство. Я надеюсь, что после знакомства с моей работой, Вы, как и я, убедитесь в том, что математика прекрасна и удивительна

Список литературы

1. Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9 классы», Учебник для общеобразовательных учреждений.- М.:Просвещение, 2009.

2. Линнет Лонг «Загадочная геометрия».- Мн.: ООО «Попурри, 2006»

3. Тарасов Л.В. Этот удивительный симметричный мир. Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1982.

4. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. «Наглядная геометрия», Учебное пособие для учащихся V-VI классов. - М.: МИРОС, 1995.

Размещено на Allbest.ru

...