Способы вычисления числа е

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Наряду со знаменитой константой р, число е - важнейшее в науке иррациональное значение. Оно применяется в различных сферах жизнедеятельности, в частности играет далеко не последнюю роль в выполнении экономических функций и решении математических задач. Число е органично внедряется и в компьютерную среду. Значение константы давно известно, правда, считали его вручную. Но как быстро и экономно можно было бы вычислить константу в современном мире? Есть ли в науке более совершенные способы решения поставленных задач? Сейчас, в эпоху развития технологий, широкое распространение получают численные методы: они моделируют реальность с минимальными финансовыми затратами, с выполнением относительно небольшого спектра операций, быстро и эффективно. На примере вычисления константы можно убедиться в актуальности и действенности данных методов, в необходимости их глобального использования. Кроме того, они позволили бы наглядно сопоставить результаты вычислений по разным формулам. Так можно понять, насколько долго пришлось бы находить значения числа е вручную и как моментально и точно это получилось бы с помощью ЭВМ. Ведь разница может быть колоссальной: одна формула способна дать точное значение при выполнении, к примеру, десяти шагов, а другая - ста!

Объект исследования: число е.

Предмет исследования: численные методы нахождения константы.

Цель: выяснить, какой способ для вычисления числа е является более точным.

Задачи:

- узнать, с помощью каких формул или методов возможно найти эту константу;

- создать программы, реализующие эти формулы;

- сравнить полученные значения и определить, какая формула наиболее точно и быстро определяет число е.

Гипотеза: наиболее точной формулой для е является первоначальная формула Бернулли, то есть второй замечательный предел.

Методика:

1. Изучение литературы, поиск способов вычисления е.

2. Реализация этих способов в среде программирования PascalABC.net.

3. Сравнение эффективности этих способов по разным критериям.

1. Историко-математическая справка

Число е, приближенное значение которого 2,718281828459045, - это важнейшая в математике константа (см. список литературы, интернет-ресурсы, п.1-2). Оно иррационально, то есть является бесконечной непериодической десятичной дробью, и трансцендентно, то есть не является корнем многочлена с рациональными коэффициентами, хотя бы один из которых отличен от нуля. Соответственно, точно вычислить значение е невозможно, но чем больше верных знаков после запятой в нем появится, тем точнее будет результат. Что же это за число, как появилось и почему так велика его роль в математике?

Первым с этим числом встретился Якоб Бернулли (см. список литературы, п.3), основатель теории вероятностей, а также математического анализа. Произошло это еще в 17 веке. Бернулли решал задачу о предельном значении процентного дохода, который можно получить, имея 1 доллар и отдав его в долг под проценты. Рассуждения были таковы: если изначально имеется 1доллар при начислении 100% годовых один раз в 12 месяцев, то в результате через год получится 2 доллара. Но если вместо 100% один раз в год начислить два раза в год по 50%, то доллар умножится на 1,5 два раза, и получится $2,25. Можно начислить раз в квартал по 25%, доход будет еще больше. Начисляя проценты каждый день, получим, что (1+365 =2,714568…Но доллар не будет бесконечно увеличиваться даже при ежесекундных начислениях. Бернулли вычислил предел , который оказался равен 2,718… В следующем веке это число удостоилось огромного внимания, получило обозначение е и стало называться числом Эйлера. Сам Эйлер без всякой техники вычислил более 20 десятичных знаков этой константы.

Чем же так замечателен второй замечательный предел , равный е? Прежде всего, его можно переписать в виде =е, откуда . А этот предел дает возможность доказать, что производная ех равна ех при каждом действительном х. Таким образом, ех - это единственная функция, кроме тождественного нуля, которая дифференцируется в себя. Также следствием второго замечательного предела является равенство , откуда получается, что производная lnx есть, что само по себе удивительно: скорость изменения логарифма выражается обратной пропорциональностью.

Однако число е - это не только константа, несущая смысл для физических и математических формул. Это иррациональное значение практически всеобъемлющее. Например, численность живых организмов, обитающих на планете Земля, развивается по экспоненциальным законам (см. список литературы, интернет-ресурсы, п.3). Когда верёвка, на которую вешают бельё, изгибается, она образует так называемую цепную линию, которая также имеет уравнение, содержащее число е. Если играть в "Пьяницу" с двумя колодами, то вероятность события, при котором все карты перейдут от одного человека к другому (при условии, что игроки ни разу не вытянут карту одного достоинства), равна . Интересно, что константа применима и в судебной медицине: именно по экспоненциальному закону падает температура мёртвого тела. Число е имеет огромное значение также в ядерной и квантовой физике. Так, в результате распада радиоактивного вещества после некоторого промежутка времени t от начального содержания вещества остаётся только доля, равная (где k - скорость распада).

Вывод главы: константа е, открытая Якобом Бернулли в ходе решения экономической задачи, имеет важную роль в разных областях науки, как-то: в медицине, экологии, биологии, физике ядерных частиц.

2. Написание программ

Вычислительная техника, в том числе компьютеры, была создана для более быстрого решения тех или иных задач. И для этого все главные функции должны быть заложены в саму программу. Учёный, который старается найти ответы на сложные вопросы, не должен утруждать себя и перед каждой операцией вводить подпрограмму для нахождения числа е. Именно поэтому на языках программирования уже введены и коротко обозначены необходимые функции. Но если требуется узнать, насколько точными являются те или иные формулы, можно написать отдельную программу для определения числа Эйлера.

В данной работе используются возможности языка программирования Паскаль (см. список литературы, п.1), но при этом намеренно не применяются встроенные в Паскаль функции, основанные на числе е. Это exp(x), возвращающая значение ех, и ln(x), возвращающая значение натурального логарифма х (см. список литературы, п.4). Функция возведения в степень в Паскале отсутствует, хотя ее можно реализовать как ax=exp(x*lna).

Такая возможность тоже не применялась автором именно потому, что задействует само искомое число.

Источники предлагают огромное количество формул для вычисления е. Было принято решение использовать две из них (вторая является следствием первой):

1.

2.

математический число формула

Помимо двух этих способов, было решено использовать метод Монте-Карло.

Кажется очевидным, что наиболее точной формулой числа е является первая, так как она, собственно, первой появилась и дала определение этому числу. В свою очередь, метод Монте-Карло представляется наименее точным в силу своей случайной природы, но зато самым интересным.

Формулы реализованы с помощью численных методов - способов приближённого решения задач, сводящихся к выполнению конечного ряда операций над числами. Они строятся по схеме «модель - алгоритм -программа». В работе моделью была сама константа, которая до этого найдена лишь аналитическими прикладными методами, не позволяющими быстро вывести число Эйлера. Алгоритм уже обозначен в вводной части работы в качестве задач, а программы будут описаны далее. Важно заметить, насколько результативными и актуальными являются такие способы, ведь зачастую перед учёными стоят задачи проанализировать нечто не поддающееся прямому моделированию: вряд ли астрономы, например, смогли бы понять причины появления массивных черных дыр (новейшее открытиемарта 2017 года), используя материальные структуры. Да и важнейшие в науке константы могли бы обнаружиться быстрее, если у математиков тех времён были бы ЭВМ.

1. Реализация формулы (см. приложение).

Запросим у пользователя значение n. Чем оно больше, тем ближе будет результат к точному значению е. Введем переменную е и присвоим ей значение(1+ ). Теперь необходимо возвести это число в n-ю степень. Но что значит возвести число а в степень k? Это означает умножить а на себя же k раз. Так же и здесь: (1+ ) нужно умножить на себя n раз. Выходит, потребуется цикл, который умножит первоначальное значение е на (1+ ) (это значение необходимо зафиксировать с помощью некой дополнительной переменной е3), и сделает это n-1 раз. Программа реализована с помощью цикла fori:=1 to (n-1) doe:=e*e3.

Результат выполнения программы для различныхn приведен в таблице 1.

Табл. 1

Если ввести в качестве nчисло 70 млн., получается 2.71828182873678, то есть неплохой результат, но при увеличении заданного числа на единицу выходит 2.71828182532004 - значение начинает вновь отдаляться. Для n =109 значение значительно хуже, и время выполнения программы составляет несколько секунд. Видимо, Паскалю уже трудно выполнять столько умножений, из-за этого точность снижается.

2. Реализация формулы(см. приложение).

Во-первых, = 1, поэтому можно присвоить значению е единицу. Это её первоначальный смысл при n=0. А каждое последующее её значение при увеличении n будет равно предыдущему, сложенному с . Таким образом, для нахождения е можно использовать следующую формулу: e:=e + , где ans - это значение числа n!, а е - промежуточное значение искомой величины. Как же посчитать факториал, если в Паскале нет готовой функции? Чтобы узнать n!, надо иметь в наличии предыдущее значение, то есть (n-1)!, а затем умножить его на n. Поэтому необходимо применить цикл, благодаря которому можно будет число n умножать на (n-1)!. Для запоминания каждого нового факториала введена переменная ans. Основной фрагмент программы такой:

fori:=1 tondobeginans:=ans*i;e:=e+1/ansend.

Результат выполнения программы для различныхn приведен в таблице 2.

Табл. 1

Как видно, уже при n=16 программа выдает максимально точный для Паскаля результат - 14 верных знаков после запятой (Паскаль 16-разрядный).

Проверить работу программы при большихn невозможно, но очевидно, что формула с факториалом дает точный результат практически мгновенно по сравнению с первой формулой.

Теперь мы наглядно можем сравнить полученные результаты. Оказалось, что формула с факториалом гораздо быстрее приближается к настоящей сущности константы. Видимо, Эйлер и его современники, вычисляя е вручную, пользовались разложением его в факториальный ряд, а не пределом. Иначе как бы они обошлись без вычислительной техники и таких действенных численных методов?

3. Реализация метода Монте-Карло.

Метод Монте-Карло (см. список литературы, п.2) - это метод приближенных вычислений, связанный с поиском вероятности случайных событий. Этим методом, в частности, можно вычислять площади криволинейных фигур, а следовательно, и интегралы.

Предположим, в качестве события мы возьмём попадание точки в область некоторой простой фигуры. Число всех событий (задаётся произвольно) - это суммарное количество всех точек в данной фигуре. А вот число благоприятных для нас событий - это число точек, которые попали в конкретную область выбранной фигуры. Площадь же этой части, равная количеству лежащих на ней точек, должна быть связана каким-либо образом с константой. Для числа е таким "кусочком" фигуры (например, квадрата, площадь которого равна количеству всех точек) служит криволинейная трапеция, находящаяся в координатной плоскости между осью абсцисс, двумя прямыми х=a и х=b (основания трапеции), а также графиком y = (рис. 1).

Рис. 1

Почему именно данная функция? Как известно, при нахождении её первообразной можно получить натуральный логарифм, который и включает в своём основании константу е.

Для простоты и наглядности ограничим трапецию прямыми х=1 и х=2, поскольку получится: S = dx = ln|x|¦ = ln2 - ln1 = ln2. Тогда квадрат ограничен теми же прямыми, а также прямой у=1 и осью абсцисс, то есть его площадь равна единице.

В итоге, мы получаем соотношение: = , или = ln2 (где - точки внутри трапеции, - точки в целом, - площадь трапеции, - площадь квадрата). Благодаря последнему выражению мы и выйдем к ещё одной формуле вычисления константы: 2 = , => = 2 и e = .

Однако вся сложность таится в возведении двойки в дробную степень. Известно лишь то, что дробь эта - неправильная, и можно выделить целую часть, которая будет равна единице. Тогда получится е = * . Константа, таким образом, будет приращивать к своему первоначальному значению (к двойке) другую двойку в степени остатка. Но остаток очень неровный, а единственное, что можно использовать, не прибегая к экспоненте, - это извлечение корня степени из двойки в степени ( - ). Паскаль же позволяет извлекать только квадратный корень, и как быть? Разложим остаток на дробные части вида где n - натуральное число. Ведь это как раз даст возможность обойтись функцией sqrt(x). В целом, окажется, что е = * . Значение искомого числа многократно умножается на , где n возрастает на 1. Можно извлечь корень степени из двойки через sqrt(x), поскольку есть возможность от шага к шагу (с помощью цикла)получать выражения с извлечением квадратного корня из квадратного корня n раз: . Так мы и найдём то, что искали!

Результат выполнения программы для различныхn приведен в таблице 3.

Табл. 3

При малых n значение получается далеким от идеала. Но нельзя сказать, что с ростом n точность заметно растет. Результат все равно имеет не более двух верных десятичных знаков. Сказывается случайный характер процесса вычисления и приближенность вычисления степеней двойки. Каждый новый запуск программы дает другой результат, конечно, даже при одинаковыхn, и интересно следить за изменениями. Стоит отметить силу формулы ax=exp(x*lna), благодаря которой на Паскале можно реализовать возведение в степень с действительным показателем.

Вывод главы: при сопоставлении двух взаимосвязанных формул (с пределом и с факториалом) были созданы программы на основе численных методов. В результате проведённых операций явное преимущество выявилось у формулы-следствия, чего не предполагалось в гипотезе. Также удалось сформировать программу, действующую по принципу метода Монте-Карло, на выходе которой получены не слишком точные, но правдоподобные значения (ввиду случайного характера процессов).

Заключение

Подводя итоги, нельзя не признать мощность численных методов решения задач, касающихся не только числа е, взятогодля наглядного примера, но и других математических и физических составляющих, явлений, процессов. Насколько актуально их применение в современном мире: учёным того времени потребовались месяцы и годы для вычисления е, а созданные программы сделали это за считанные секунды, и в этом кроется одно из несомненных преимуществ данных методов. Преследуя главную цель работы, пришлось сравнивать достоинства написанных программ. Они были основаны на двух выбранных формулах: первоначальной формулы Бернулли и следствием из неё, включающим в себя факториал. Какая всё-таки наилучшим образом вычисляет константу? Почему результаты неравносильны? От чего это может зависеть?

Во-первых, знаменитая формула Бернулли, к удивлению, уступила формуле с факториалом. Последняя достигает своего самого точного (и предельного в рамках языка Паскаль) значения - 2.71828182845904 - уже при n=16. В то же время формула с пределом не дает такой точности даже при n=109. Программа, включающая формулу с факториалом, выигрывает, вероятно, в связи с тем, что в ней содержится на одну операцию больше. Здесь параллельно происходит наращивание сразу двух переменных (числа е и знаменателя с факториалом), что делает её немного сложнее программы с пределом. Возможно, сама формула с факториалом является более точной или, по крайней мере, её реализация на языке Паскаль получается удачнее. Пусть вопрос о том, почему ряд точнее предела, станет темой дальнейшего исследования.

Во-вторых, программа, включающая в себя метод Монте-Карло, позволила вывести ещё один способ вычисления константы. Он оказался самым интересным, поскольку расчетное значение числа е зависит исключительно от свершения случайных событий, и невозможно предугадать дальнейший результат (что вызывает многократно возрастающие любопытство и увлечённость процессом). С другой стороны, благодаря данной программе можно наглядно проследить за действием самого метода Монте-Карло как средства вычисления интегралов.

Таким образом, число е - удивительный математический элемент, свойства которого можно наблюдать как в решениях определённых задач, так и в окружающем пространстве. Именно поэтому так важно включить число Эйлера в "сознание" программы, ведь этим можно проложить более короткую дорогу к необходимым ответам на волнующие вопросы. Поскольку многочисленные процессы в нашем мире протекают по экспоненциальным законам, то и задачи сводятся к выполнению разнообразных операций с константой. И можно с уверенностью утверждать: число е - это тот несокрушимый и прочный фундамент, на котором возводятся самые мощные и действенные программы современных технологий.

И под конец хотелось бы отметить перспективность использованных в работе численных методов. Кто бы мог подумать, что первоначальная формула Бернулли окажется менее точной, чем следствие из неё? Сколько вообще времени можно было бы потратить на сравнение результатов, подсчитанных вручную? А если случайно собьёшься, сделаешь ошибку в вычислении - начинать всё заново? Так может произойти не только с анализом числа е, а с любым физическим процессом, волнующим умы учёных. Численные же методы устраняют подобные проблемы, открывают более лёгкий путь моделирования реальности, раскрывают ранее не заметные факты (как в итоге данной работы), помогают выполнять операции над числами с меньшими затратами ресурсов (финансовых, временных).

Список литературы

1. Давыдова Н.А. Программирование: учеб. пособие / Н.А. Давыдова, Е.В. Боровская. - М.: БИНОМ. Лаб. знаний, 2012.

2. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1975. - 2-е изд.

3. Математика XVII столетия. Под редакцией А.П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970.

4. Шень А. Логарифм и экспонента. - М.: МЦНМО, 2005.

Приложение

1. Программа, использующая формулу с пределом:

vari,n:integer;

e,e3:real;

beginread(n);

e:=(1+1/n);

e3:=e;

fori:=1to (n-1)do e:=e*e3;

writeln(e)

end.

2. Программа, использующая формулу с факториалом:

vari,n:integer;

e,ans:real;

beginans:=1;

e:=1;

read(n);

fori:=1 to ndo begin ans:=ans*i;

e:=e+1/ans

end;

write(e);

end.

3. Программа, отображающая метод Монте-Карло:

vari,k,c,j, n1:integer;

x,y,e,p,t,ost,n:real;

constn2=100000;

begin

n1:=0;

fori:=1 to n2 do

beginx:=random+1;

y:=random;

ify<(1/x) then n1:=n1+1

end;

writeln (n1/n2);

writeln (ln(2));

ost:=(n2-n1)/n1;

e:=2; p:=2;t:=0.5; i:=1; c:=1;

forj:=1 to 100000 do

begin while (ost<t) do begin

t:=t/2;

i:=i+1

end;

ost:=ost-t;

fork:=c to ido p:=sqrt(p);

e:=e*p;

c:=i+1

end;

writeln (e)

end.

Размещено на Allbest.ru