Тестирование точности численного решения дифференциальных уравнений с задержанным аргументом, описывающих системы с хаотической динамикой

Размещено на http://www.allbest.ru/

Южный федеральный университет

Кафедра Антенн и радиопередающих устройств

ТЕСТИРОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАДЕРЖАННЫМ АРГУМЕНТОМ, ОПИСЫВАЮЩИХ СИСТЕМЫ С ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ

Семерник Иван Владимирович,

к.т.н., ассистент кафедры

Демьяненко Александр Викторович,

к.т.н., доцент

г. Таганрог

Аннотация

В работе представлены результаты тестирования численного метода решения систем дифференциальных уравнений с задержанным аргументом, описывающих системы с хаотической динамикой, в пакете MATLAB. В качестве тестовой системы уравнений выбрана система, описывающая динамику СВЧ-генератора на лавинно-пролетном диоде (ЛПД). Обсуждаются результаты оценки текущей фактической ошибки численного решения тестовой системы уравнений, а также спектральных и статистических характеристик хаотического сигнала: спектра генерируемого сигнала и гистограммы распределения.

Ключевые слова: динамический хаос, оценка погрешности, текущая фактическая погрешность, точность численного решения, хаотические колебания, численное моделирование, численные методы

Хаотические сигналы СВЧ-диапазона в настоящее время вызывают достаточно большой интерес в широкой области задач прикладной радиотехники: СШП беспроводных системах связи и передачи информации [1, с. 25], средствах высокоточной ближней радиолокации и радиовидения [1, с. 24, 2, с. 469], в задачах радиопротиводействия и радиоподавления [3, с. 88].

Для моделирования и исследования систем со сложной динамикой используются численные методы решения систем дифференциальных уравнений, так как аналитические методы либо неприменимы, либо их применение требует больших вычислительных и временных затрат [4, с. 273, 5, с. 126]. В то же время применение численных методов при моделировании хаотических систем может привести к качественно и количественно неверным результатам [5, с. 127]. Системы дифференциальных уравнений, моделирующие динамику исследуемых систем, в большинстве научных работ решаются методом Рунге-Кутта 4-го порядка, либо выбору метода вообще не уделяется какого-либо внимания при решении задачи. Точность и достоверность полученного численного решения также редко анализируется в научных работах, которые не посвящены полностью оценке точности численных методов. При этом возникает вопрос, имеющий важную практическую значимость: насколько точно численные методы позволяют качественно и количественно оценить динамику сложной хаотической системы и границы областей различных динамических режимов?

Постановка задачи. Для тестирования численных методов обычно используются задачи, точное аналитическое решение которых известно [6, с. 2]. В случае исследования динамической системы в режиме динамического хаоса, получить точное аналитическое решение невозможно. В лучшем случае можно говорить о приближенной оценке решения [7, с. 2], которое получено путём существенных упрощений, что не позволяет использовать его при оценке точности численных методов.

В настоящей работе для тестирования численных методов решения дифференциальных уравнений с задержанным аргументом использована система дифференциальных уравнений второго порядка, описывающая динамику СВЧ-генератора на лавинно-пролетном диоде [8, с. 57]:

Дифференциальное уравнение второго порядка может быть преобразовано в систему из двух уравнений первого порядка:

Выражения для активной и реактивной составляющих импеданса имеют вид:

где

В настоящей работе использованы параметры ЛПД типа 3А 707В, работающего в рабочем диапазоне частот 10,4 - 11,7 ГГц. Кристалл диода изготовлен из арсенида галлия, в связи с чем будут использованы следующие электрофизические параметры: относительная диэлектрическая проницаемость материала е = 12; площадь поперечного сечения p-n-перехода S ? 11,7·10^-9 м ²; скорость носителей заряда х_s = 9·10⁴ м/с; угол пролёта области дрейфа носителем заряда на центральной частоте и_d = 0,744р; ширина слоя умножения l_a ?0,2W; ширина запорного слоя W = 3,84·10^-6 м. Время пролёта носителем заряда эквивалентного слоя умножения определим по выражению

ф_a = l_a/ х_s.

Величину напряжённости электрического поля при рабочем напряжении определим по выражению

E_dc = 2U_dc/W.

При напряжении на диоде 60 В - E_dc = 3,125·10⁷ В/м; ёмкость пролётной области - C_d = 0,4·10^-12 Ф. Лавинную частоту определим из выражения:

где I0 - ток питания диода.

Функция, определяющая амплитудные свойства импеданса, имеет вид:

где b - параметр аппроксимации коэффициента лавинного умножения, E1- амплитуда переменной составляющей напряжённости электрического поля, I0, I1 - модифицированные функции Бесселя нулевого и первого порядка.

Введение в динамическую систему инерционной обратной связи (отраженного сигнала) способно привести к переходу системы в режим динамического хаоса [8, с. 105, 9, с. 112, 10, с. 123, 11, с. 118]. Для учета наличия инерционной обратной связи система уравнений дополняется дополнительным членом и в результате принимает вид:

где k - коэффициент передачи цепи инерционной обратной связи, ф - величина вносимой задержки.

Последнюю систему уравнений можно рассматривать не только как систему, описывающую систему с хаотической динамикой, но и как традиционный детерминированный генератор синусоидальных колебаний на основе диода с отрицательным сопротивлением при наличии рассогласования с нагрузкой [11, с. 119]. В этом случае анализ данного уравнения позволит определить области стабильной и нестабильной работы исследуемого генератора. Поэтому анализ решения составленного уравнения, также как и оценка точности его численного решения, имеют большую практическую значимость.

В MATLAB для численного решения систем дифференциальных уравнений с постоянной задержкой предлагается только один алгоритм - комбинацию пары явных методов Рунге-Кутта второго и третьего порядка (dde23). Таким образом, в этом случае даже отсутствует выбор численного метода для решения системы уравнений. Но вопрос о количественной и качественной достоверности полученного решения остается открытым.

Полученные результаты

Временная диаграмма численного решения исследуемой системы уравнений показана на рисунке 1.

Рисунок 1. Временная диаграмма численного решения при ф = 54,9 пс и k = 0,1

Значения параметров ф = 54,9 пс и k = 0,1 соответствуют режиму динамического хаоса исследуемой системы уравнений [8, с. 95], что подтверждается анализом старшего показателя Ляпунова, а также результатами спектрального, корреляционного и бифуркационного анализа [8, с. 104, 12, с. 3].

Из рисунка 1 видно, что на начальном участке диапазона интегрирования имеет место гармонический вид генерируемого колебания, но по истечении примерно 60 нс система переходит в режим динамического хаоса. Переход в хаотический режим при изменении управляющих параметров динамической системы (ф, k, ток питания ЛПД и пр.) происходит через перемежаемость устойчивых и неустойчивых колебаний, что подтверждается как результатами численного моделирования [8, с. 105, 12, с. 4], так и результатами экспериментального исследования [8, с. 106, 13, с. 75].

Диапазон интегрирования по времени t тестовой системы уравнений составляет [0; 30 нс], что соответствует более чем 300 периодам колебания исследуемого генератора в детерминированном режиме.

Основными критериями эффективности численных методов являются их вычислительная сложность и точность получаемых решений [6, с. 3]. Оценка точности численного метода при анализе системы с хаотической динамикой может быть получена при сравнении с более точным численным решением [14, с. 345], так как получение точного аналитического решения в данном случае невозможно [7, с. 2, 8, с. 103, 12, с. 4]. При этом возможно проводить анализ текущей фактической погрешности, то есть оценивать разность во всех точках вывода между полученным численным решением и более точным численным решением. Это дает возможность не только проанализировать непосредственно саму величину ошибки, но также оценить скорость и характер накопления фактической ошибки, что также имеет важное практическое значение.

Кроме того, так как в качестве тестовой задачи выбрана система уравнений, описывающих реальную радиотехническую систему, то целесообразно провести сравнение оценки основных радиотехнических показателей [6, с. 5, 15, с. 20]: спектра хаотического колебания и гистограммы распределения выходного хаотического колебания при изменении параметров численных методов.

В настоящей работе оценка точности численного метода решения проводилась при изменении максимально допустимых относительной (RELTOL) и абсолютной (ABSTOL) погрешностей. При этом алгоритм численного решения осуществляет автоматический подбор оптимального шага интегрирования. Анализ полученных решений показал, что шаг интегрирования существенно изменяется в процессе решения и получить решение с фиксированным шагом не представляется возможным. Поэтому для сравнения результатов, полученных при различных параметрах численного метода проводился перерасчет полученного решения с постоянным шагом 1·10^-12 с с помощью функции deval. Изменение значений ABSTOL и RELTOL осуществлялось в пределах от 10^-2 до 10^-6. Получить решение для ABSTOL и RELTOL меньше 10^-6 не удалось. В то время как решение для ABSTOL и RELTOL больше 10^-2 не представляет интереса. По умолчанию ABSTOL и RELTOL равны 10^-3.

На рисунке 2 показаны временные диаграммы численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-2 и 10^-6.

Рисунок 2. Временные диаграммы численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-2 и 10^-6

Из рисунка 2 видно, что, несмотря на равенство значений всех параметров системы дифференциальных уравнений, полученные численные решения отличаются на всем интервале интегрирования.

На рисунке 3 показана текущая фактическая погрешность численного решения для параметров ABSTOL и RELTOL равных 10^-2 при использовании численного решения при ABSTOL и RELTOL равных 10^-6 в качестве точного решения.

Рисунок 3. Текущая фактическая ошибка численного решения для значений ABSTOL и RELTOL, равных 10^-2

Из рисунка 3 видно, что на начальном этапе интервала интегрирования наблюдается быстрый рост текущей фактической погрешности, в то время как на остальном участке интервала интегрирования величина фактической погрешности ограничивается только размахом решения.

На рисунке 4 показаны спектры численного решения и гистограммы распределения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-2 и 10^-6.

Рисунок 4. Спектр и гистограмма распределения численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-2 и 10^-6

Из рисунка 4 видно, что, несмотря на количественно неверную временную реализацию полученного численного решения, спектральные и статистические характеристики, также как и динамический режим исследуемой системы могут быть с достаточной для практических целей точностью определены из полученного численного решения.

На рисунке 5 показаны временные диаграммы численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-3 и 10^-6.

Рисунок 5. Временные диаграммы численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-3 и 10^-6

Из рисунка 5 видно, что при значениях ABSTOL и RELTOL установленных по умолчанию (10^-3), что начальный участок временной реализации практически полностью совпадает, но по истечении примерно 80 нс решение представляет собой сложное, но периодическое колебание.

На рисунке 6 показана текущая фактическая погрешность численного решения для параметров ABSTOL и RELTOL равных 10^-3 при использовании численного решения при ABSTOL и RELTOL равных 10^-6 в качестве точного решения.

Рисунок 6. Текущая фактическая ошибка численного решения для значений ABSTOL и RELTOL, равных 10^-3

Из рисунка 6 видно, что на начальном этапе интервала интегрирования также наблюдается быстрый рост текущей фактической погрешности, в то время как на остальном участке интервала интегрирования величина фактической погрешности ограничивается только размахом решения.

На рисунке 7 показаны спектры численного решения и гистограммы распределения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-3 и 10^-6.

Рисунок 7. Спектр и гистограмма распределения численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-3 и 10^-6

Из рисунка 7 видно, что при значениях ABSTOL и RELTOL установленных по умолчанию (10^-3) наблюдаются не только количественные ошибки в определении временной реализации решения, но также и качественно неверное определение спектральных и статистических характеристик, а также динамического режима исследуемой системы.

На рисунке 8 показаны временные диаграммы численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-5 и 10^-6.

Рисунок 8. Временные диаграммы численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-5 и 10^-6

Из рисунка 8 видно, что временные реализации совпадают на большей части интервала интегрирования. Но, накопление ошибок интегрирования все же приводит к искажению численного решения, так как одним из свойств хаотических систем является высокая чувствительность к изменению начальных условий и экспоненциальная расходимость траекторий в фазовом пространстве. дифференциальный уравнение аргумент решение

На рисунке 9 показана текущая фактическая погрешность численного решения для параметров ABSTOL и RELTOL равных 10^-5 при использовании численного решения при ABSTOL и RELTOL равных 10^-6 в качестве точного решения.

Рисунок 9. Текущая фактическая ошибка численного решения для значений ABSTOL и RELTOL, равных 10^-5

Из рисунка 9 видно, что, несмотря на визуальное совпадение временных реализаций, анализ текущей фактической погрешности демонстрирует быстрый рост погрешности на начальном этапе интегрирования, аналогичный рассмотренным выше случаям. На интервале интегрирования до 20 нс, фактическая ошибка численного решения не превышает 10^-2, но далее происходит скачкообразный рост фактической ошибки до величины, ограниченной размахом решения.

На рисунке 10 показаны спектры численного решения и гистограммы распределения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-5 и 10^-6.

Рисунок 10. Спектр и гистограмма распределения численного решения для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-5 и 10^-6

Из рисунка 10 видно, что спектральный и статистический анализ численных решений для двух значений ABSTOL и RELTOL 10^-5 и 10^-6 демонстрирует очень близкие результаты.

Заключение

Таким образом, при численном решении системы дифференциальных уравнений с задержанным аргументом, описывающей систему со сложной хаотической динамикой, получить точную временную реализацию численного решения невозможно, особенно на большом интервале времени. В данном случае можно говорить об оценке временной реализации, а также спектральных и статистических характеристик полученного решения, так как вариация максимально допустимых значений абсолютной и относительной локальных погрешностей (ABSTOL и RELTOL), а, следовательно, и шага интегрирования, приводит к изменению спектральных, статистических и корреляционных свойств численного решения, вплоть до неверной оценки динамического режима исследуемой системы. Поэтому при численном моделировании хаотических динамических систем следует не только внимательно относиться к выбору метода численного решения, но также проводить качественной и количественной достоверности получаемых решений.

Библиографический список

1. Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Румянцев Н.В. Генератор микроволнового хаоса с плоской огибающей спектра мощности в диапазоне 3-8 ГГц // Письма в ЖТФ, 2014, т.40, вып.2, С. 1-9.

2. Демьяненко А.В., Семерник И.В., Иваненко Д.И. Особенности применения СВЧ хаотических сигналов в системах точного позиционирования // Материалы 26-й Международной Крымской конференции "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии" КрыМиКо-2016, 4-10 сентября, 2016 г., г. Севастополь, Россия, С. 468-474.

3. Калинин Ю.А., Стародубов А.В. Сверхнизковольтный генератор хаотических СВЧ-колебаний на встречных электронных пучках // Письма в ЖТФ, 2011, т.37, вып.2, С. 87-94.

4. Генерация хаоса / под общ. ред. Дмитриева А.С. - М: Техносфера, 2012.-424 с.

5. Магницкий Н.А. Теория динамического хаоса. - М.: ЛЕНАНД, 2011.-320 с.

6. Пилипенко А.М., Бирюков В.Н. Исследование эффективности современных численных методов при анализе автоколебательных цепей // Журнал радиоэлектроники, 2013, № 9, С.1-11.

7. Semernik I.V., Demyanenko A.V. Analysis of Possibility of Application the Analytical Method for Solving Differential Equations Describing the Nonlinear System with Complex Dynamics. International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON), 12-14 May 2016.

8. Алексеев Ю.И., Демьяненко А.В., Семерник И.В. Исследование хаотических состояний автоколебательных систем. Генератор на лавинно-пролетном диоде. Монография. - Saarbrьcken, Deutschland.: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, 133 c.

9. Демьяненко А.В. Исследование шумовых параметров генератора на лавинно-пролётном диоде в режиме хаотической генерации // Известия ВУЗов России. Радиоэлектроника, 2012, №5, С. 110-113.

10. Семерник И.В., Демьяненко А.В. Сравнительное исследование способов перевода СВЧ генератора на лавинно-пролётном диоде в хаотический режим // Известия высших учебных заведений. Физика, 2015, т.58, № 8/2, С.122-125.

11. Семерник И.В., Демьяненко А.В. Исследование динамики СВЧ генератора на ЛПД искусственно рассогласованного с нагрузкой // Известия высших учебных заведений. Физика, 2015, т.58, № 8/2, С.118-121.

12. Demyanenko A., Semernik I., Orda-Zhigulina M. Numerical study of dynamics of avalanche transit time microwave oscillator. 2015 International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON) Proceedings, Omsk State Technical University. Russia, Omsk, May 21-23, 2015, pp.1-6.

13. Алексеев Ю.И., Орда-Жигулина М.В., Демьяненко А.В., Семерник И.В. Экспериментальное исследование динамики развития режима хаотических колебаний в детерминированной автоколебательной СВЧ-системе // Приборы и техника эксперимента, 2014, №3, С. 74-77.

14. Scott A. Sarra, Clyde Meador. On the numerical solution of chaotic dynamical systems using extend precision floating point arithmetic and very high order numerical methods // Nonlinear Analysis: Modelling and Control, 2011, Vol. 16, No. 3, pp. 340-352.

15. Семерник И.В., Алексеев Ю.И., Демьяненко А.В. Точность решений, получаемых при численном анализе автоколебательных СВЧ-систем в состоянии детерминированного хаоса // Нелинейный мир, 2014, т.12, №1, С. 18-24.

Размещено на Allbest.ru