Поле интегралов динамики гиростата в световом потоке

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поле интегралов динамики гиростата в световом потоке

Н.Н. Макеев

Аннотация

Приводятся условия существования частных полиномиальных первых интегралов динамической системы гиростата, движущегося в поле сил светового давления.

Ключевые слова: интеграл динамической системы; гиростат; световое давление. давление вакуумный световой

Введение © Макеев Н. Н., 2013

Эффект светового давления (СД) на материальные объекты, проявляющийся в вакуумных (или близких к ним) средах, был открыт П.Н. Лебедевым [1]. Этот эффект порождается световым потоком, который, динамически взаимодействуя с поверхностями твёрдых тел, порождает моментно-силовое воздействие. Это воздействие обусловлено проявлением поля сил светового давления (СД-поля). В середине XX-го в. возникло новое научное направление механики ? динамика твёрдого тела в радиационно-лучевом силовом поле (радиационная механика [2]), изучающее свойства движения тел в СД-поле.

Моментно-силовое воздействие СД-по-ля на твёрдые тела обусловлено механизмом взаимодействия светового потока с твёрдой поверхностью, определяемым принятой динамической моделью. В настоящее время применяется несколько моделей; одной из них является термомеханическая модель, принятая в работе [3]. Эта модель учитывает реально существующий эффект переизлучения (в тепловом диапазоне) мощности, поглощаемой освещённой твёрдой поверхностью. В работе [4] рассмотрена задача нахождения условий существования независимых дополнительных первых алгебраических интегралов уравнений движения свободного гиростата в СД-поле. При этом в качестве модели динамического взаимодействия светового потока с твёрдой поверхностью принята упомянутая выше модель [3].

В настоящей статье продолжено рассмотрение случаев решения задачи, поставленной в работе [4], о нахождении условий существования многообразия первых алгебраических интегралов динамической системы гиростата. Решение поставленной задачи проводится также на основе модели [3] для случая консервативного силового СД-поля.

1. Основные положения

Рассматривается движение в СД-поле свободного от связей гиростата с заданным постоянным результирующим гиростатическим моментом. Гиростат движется так, что его неизменяемая часть (тело-носитель) движется вокруг неподвижного полюса О, неизменно связанного с инерциальным пространством. С телом-носителем гиростата неизменно связан светоотражающий экран в виде тонкой недеформируемой оболочки неизменной конфигурации с заданными постоянными термомеханическими параметрами. На экран падает однородный световой поток в виде пучка параллельных световых лучей.

Введём правые координатные ортобазисы с общим началом в полюсе О: базис Z(Oz1z2z3), неизменно связанный с инерциальным конфигурационным пространством, и базис X(Ox1x2x3), оси которого направлены по главным в полюсе О направлениям тензора инерции гиростата.

Пусть s (s1, s2, s3) - гелиоцентрический орт, устанавливающий ориентацию светового потока относительно базиса Z, неизменный в этом базисе. Этот вектор является направляющим ортом светового потока, ориентированным против направления его световых лучей.

При определённых ограничениях, принятых для термомеханической модели [3], СД-поле является консервативным.

Обозначим: - матрица тензора инерции гиростата в полюсе О; - абсолютная угловая скорость носителя гиростата; - постоянный гиростатический момент, заданный в базисе X.

Движение гиростата в однородном параллельном СД-поле определяется динамической системой [4]

(1)

где обозначено

и принято s0 ? 0. Здесь n1, n2 - заданные постоянные термомеханические параметры, характеризующие теплофизические и оптические свойства светоотражающего экрана.

В дальнейшем функция плотности потенциала силового СД-поля G (s3) ? 0 рассматривается в области D (щ, s) при термомеханических условиях [4]

(2)

если иное не оговорено.

Система уравнений (1) обладает первыми независимыми алгебраическими интегралами [4]

(3)

(4)

(5)

где h1, h2 - постоянные интегрирования.

2. Постановка задачи

Рассмотренный в работе [4] вопрос об интегрируемости в квадратурах системы уравнений (1) свёлся к нахождению независимого первого интеграла этой системы, дополнительного к системе интегралов (3)-(5), если такой интеграл существует.

Ставится следующая задача [4]: на многообразии возможных значений -при ограничениях (2) - найти условия существования независимого алгебраического первого интеграла системы уравнений (1), определённого в области D (щ, s) фазового пространства и находящегося в инволюции с интегралами системы (3)-(5). ?

Такая постановка задачи предполагает существование при различных условиях k независимых дополнительных первых интегралов, каждый из которых может быть определён в соответствующей подобласти Dk

Поскольку каждый из дополнительных интегралов системы уравнений (1), как частный интеграл, может существовать лишь при определённых структурно-динамических и за-данных начальных условиях, то данную задачу следует рассматривать как ограниченную задачу нахождения совокупности элементов части интегрального многообразия динамической системы в предположении, что эта часть многообразия не является пустой.

Совокупность элементов этого интегрального подмногообразия дополнительных первых интегралов (частное интегральное многообразие) в дальнейшем называется полем интегралов динамической системы (1). Как известно, поле интегралов динамической системы взаимно связано с её полем симметрий и вложено в полное многообразие данной системы. Существование непустого поля симметрий является необходимым условием интегрируемости динамической системы по Буру - Лиувиллю [5].

3. Дополнительные интегралы динамической системы

Задача о существовании дополнительных первых интегралов системы уравнений (1) рассматривается в классе однозначных алгебраических функций C2 (щj, sj) (j = 1, 2, 3). Представим искомые интегралы в общем виде

(6)

где F - полиномиальная функция заданных переменных, h - постоянная интегрирования.

Как известно [5, 6], критериальным условием существования первого интеграла (6) системы уравнений (1) является равенство нулю скобки Пуассона (коммутатора) от функции F и гамильтониана данной системы, заданных на симплектическом многообразии. Согласно этому имеем

(7)

Равенство (7) в силу уравнений системы (1) является тождеством по всем переменным щj и по любым двум переменным sj (j = 1, 2, 3). В соответствии с этим разделим совокупность искомых интегралов вида (6) на следующие группы.

* Группа 1 - интегралы вида

* Группа 2 - интегралы вида

* Группа 3 - интегралы вида

Замечание. Все последующие утверждения, применённые к поставленной задаче, относятся к области D, где и имеют место при ограничениях (2).

В данной статье решение поставленной задачи проводится на основе приёма, применённого в работе [7].

3.1. Независимые интегралы группы 1

В работе [4] получены условия существования независимых первых интегралов системы уравнений (1), принадлежащих группе 1 и содержащих одну или две переменные щj (j = 1, 2, 3). Эти условия были представлены в виде ограничений, наложенных на структурно-динамические параметры гиростата, параметры углового движения носителя (геометрические связи) и начальные значения компонент его угловой скорости. Рассмотрим условия существования независимого первого интеграла системы (1) с тремя переменными щj.

3.1.1. Интегралы с тремя переменными

Зададим соотношение типа (6) в виде

(8)

и обозначим [4]

(9)

Из основного тождества (7) в силу соотношения (8) и уравнений системы (1) следует

(10)

Равенство (10) тождественно удовлетворяется по всем переменным при условиях

(11)

(12)

где E - единичная матрица, p (p1, p2, p3) - вектор с компонентами, определяемыми равенствами (9).

Условия (11), (12) соответствуют случаю центральной структурной симметрии гиростата в СД-поле, при которой система уравнений (1) обладает линейным интегралом

(13)

При этом равенство (12) является уравнением связи, для которой существует интеграл (13). Условия существования этого интеграла и характер движения гиростата на связи (12) рассмотрены в работе [4].

Других независимых интегралов вида (8) система уравнений (1) не имеет.

3.2. Независимые интегралы группы 2

Очевидно, что независимые первые интегралы системы уравнений (1), принадлежащие этой группе, могут иметь только один из видов

(14)

или

(15)

3.2.1. Интегралы с одной переменной

Обозначим

и пусть равенство типа (14) имеет вид

Тогда согласно (7) в силу уравнения Пуассона (1) получаем соотношение

которое не является тождеством по переменным щ2, щ3.

Аналогичные утверждения имеют место и в случаях зависимости соотношений вида (14) от других переменных. В силу этого интегралы вида (14) для системы уравнений (1) не существуют.

3.2.2. Интегралы с двумя переменными

Из совокупности (15) выберем зависимость

(16)

из которой согласно (7) в силу уравнений Пуассона (1) получаем соотношение

которое должно быть тождеством по перемен-ным щj (j = 1, 2, 3). Но тогда имеем q1 = q2 = 0, и независимый интеграл (16) для системы уравнений (1) не существует.

Аналогичное утверждение справедливо и для других зависимостей вида (15). Таким образом, независимые интегралы вида (15) для системы уравнений (1) не имеют места.

Замечание. Каждая из зависимостей вида где все значения i, j, k ? различные, сводится к одной из зависимостей вида (15) в силу интеграла (5).

Итак, независимые первые дополнительные интегралы группы 2 для системы уравнений (1) не существуют. Это характерное свойство имеет место и для динамических систем, относящихся к другим силовым полям, поскольку существование таких интегралов обусловлено видом уравнений Пуассона.

3.3. Независимые интегралы группы 3

Интегралы этой группы, если они существуют, должны содержать зависимости от переменных и не сводятся к интегралам групп 1, 2.

3.3.1. Интегралы с двумя переменными

Зададим зависимость вида

(17)

Тогда из тождества (7) в силу уравнений системы (1) следует

(18)

Соотношение (18) должно являться тождеством по переменным щ2, щ3, s2, не входящим в зависимость (17). Тогда при G ? 0 получаем p1 = q1 = 0 и независимый интеграл вида (17) в силу уравнений исходной системы не имеет места.

Из множества соотношений (6) выберем зависимость вида

(19)

для которой аналогично предыдущему получаем равенство

(20)

Так как равенство (20) должно являться тождеством по переменным щ2, щ3, s1, то при G ? 0 получаем p1 = q2 = 0. В силу этого независимый интеграл вида (19) для системы (1) не имеет места.

Для зависимости вида

(21)

из соотношения (7) следует равенство

(22)

Равенство (22) является тождеством по переменным щ2, s1, s2, в силу чего при G ? 0 имеем p1 = q3 = 0. Но тогда соотношение вида (21) не является независимым дополнительным интегралом системы уравнений (1).

Аналогичным образом устанавливается, что соотношения типа (21), в которых последовательно проведена циклическая перестановка переменных щ1 > щ2 > щ3, не являются независимыми интегралами системы (1).

3.3.2. Интегралы с тремя переменными

Из множества зависимостей вида (6) вы-делим соотношение

(23)

и применим к нему условие (7). В результате в силу уравнений системы (1) получим соотношение вида

, (24)

где - полиномиальная форма.

Поскольку равенство (24) должно являться тождеством по переменным щ2, щ3, то при A2 ? A3 должно быть p1 = 0. Вследствие этого зависимость вида (23) принимает форму (16). Таким образом, независимый первый интеграл вида (23) для системы уравнений (1) не имеет места.

К соотношению (23) в силу интеграла (5) сводятся равенства, содержащие зависимости вида F (щ1, s1, s3), F (щ1, s2, s3). Следовательно, эти равенства также не являются независимыми первыми интегралами исходной системы уравнений.

Рассмотрим соотношение вида

(25)

Из равенства (7) в силу уравнений системы (1) для соотношения (25) следует

(26)

где - полиномиальная форма.

Так как равенство (26) должно являться тождеством по переменным щ3, s2, то при условии G ? 0 имеем q1 = p1 = 0. В силу этого независимый интеграл вида (25) для системы уравнений (1) не имеет места.

Для зависимости вида

(27)

соотношение (7) принимает вид

 (28)

где - полиномиальная форма.

Поскольку равенство (28) должно быть тождеством по переменным щ3, s1, то получаем q2 = p2 = 0 при G ? 0. Но тогда соотношение (27) как зависимость от заданных переменных не является независимым первым интегралом системы уравнений (1).

В силу соотношения (5) интеграл с зависимостью вида F (щ1, щ2, s3) приводится к виду рассмотренному далее. Очевидно, что каждый интеграл из совокупности интегралов с зависимостями вида F (щ1, sj, s3) (j = 1, 2) и F (щ1, s1, s2, s3) сводится к интегралу с явной зависимостью вида F (щ1, s1, s2).

Аналогично предыдущему можно показать, что соотношения типа (23), (25), (27), в которых проведена циклическая замена пар переменных (щ1, щ2) > (щ2, щ3) > (щ3, щ1), не являются независимыми интегралами системы уравнений (1).

Таким образом, для уравнений движения гиростата в СД-поле не существует нового независимого первого интеграла (помимо приведённых выше) вида (6) с числом входящих в него переменных меньше четырёх.

3.3.3. Интегралы с четырьмя переменными

Характерной особенностью задачи о на-хождении условий существования независимых дополнительных интегралов с числом переменных четыре и более является недоопределённость системы уравнений, порождаемой условием (7). Это означает, что соотношение (7) генерирует систему определяющих уравнений, число которых меньше числа заданных переменных. В силу этого для решения поставленной задачи применяется теория нормальных полных систем однородных линейных уравнений с частными производными первого порядка [8].

В дальнейшем данная задача рассматривается как ограниченная, для которой выполняются дополнительные условия, заданные вне ограничений (2),

где n1, n2 ? заданные термомеханические параметры, входящие в выражение для G (s3).

Первое из этих условий соответствует случаю твёрдого тела (в которое вырождается гиростат), а второе имеет место, если выполняется по крайней мере одно из следующих условий [3]:

* коэффициент поглощения потока света внешней поверхностью тонкого светоотражающего экрана близок к единице, а коэффициенты черноты обеих поверхностей этого экрана одинаковы;

* экран имеет форму параболоида вращения, а центр масс твёрдого тела расположен на середине отрезка оси симметрии экрана.

Предположим, что независимый дополнительный первый интеграл системы уравнений (1) имеет вид

(29)

Тогда соотношение (7) в силу уравнений данной системы принимает форму

(30)

Равенство (30) должно являться тождеством по переменной щ3, причём в силу интеграла (5) имеет место зависимость вида s3 (s1, s2). В этом случае имеем систему уравнений

 (31)

где обозначено

Ak (k = 1, 2, 3) - элементы матрицы инерции;

- линейные операторы системы однородных линейных уравнений (31).

Введём скобки Пуассона для линейных операторов Li (F), Lj (F) [6]

(32)

и составим объекты

(33)

В равенствах (33) обозначено



Объекты можно рассматривать как генераторы инфинитезимальной группы преобразований, а объекты [Li, Lj] (i = 2, 3; j = 1, 2), определяемые равенствами (32), - как их коммутаторы [9].

Из множества операторов (31), (33) выделим две подсистемы {U, L4}, {U, L5}, где U (F) = {L1, L2, L3}, и введём определители D1, D2, составленные из упорядоченных систем их коэффициентов, взятых соответственно. В результате получим определитель

и определитель D2, который строится из упорядоченной системы элементов определителя D1 путём замены в нём последней строки на следующую:

Для дальнейшего полагаем, что система независимых уравнений Lr (F) = 0 (r = 1, 2, 3) является полной нормальной системой. Тогда скобки Пуассона L4 (F), L5 (F) должны линейно выражаться через операторы Lr (F) (r = 1, 2, 3). В силу этого должны иметь место тождества

 (34)

Как показано [7] на основе теоремы о независимых решениях полной системы уравнений [10], система тождеств (34) выражает необходимое и достаточное условие существования по крайней мере одного решения системы уравнений (31). Следовательно, система условий (34) выражает критерий существования независимого интеграла вида (29) для системы уравнений (1).

Система определяющих равенств (34) представима в развёрнутом виде следующим образом:

(35)

(36)

В равенствах (35), (36) обозначено

(37)



Соотношения (35), (36) с коэффициентами (37) должны обращаться в нуль тождественно по переменным щ1, щ2, s1, s2, что достигается при условиях

(38)

Из условий (37), (38) непосредственно следуют кинетические ограничения

(39)

(40)

Условие осевой кинетической симметричности (39) соответствует аналогу случая Лагранжа, существующему для твёрдого тела в СД-поле. В этом случае независимый дополнительный интеграл системы уравнений (1)

(41)

имеет место как для твёрдого тела [3], так и для гиростата [11].

Условие центральной кинетической симметричности твёрдого тела (40) имеет место для линейного по компонентам щj первого независимого дополнительного интеграла

(42)

существующего на геометрической связи

(43)

где r1, r2 - некоторые заданные ненулевые параметры.

Связь (43) по структуре идентична ограничению (12).

Соотношения (41), (42) относятся к интегралам типов F (щj), F(щi, щj) (i, j = 1, 2, 3; i ? j) [4].

Таким образом, интегралы типа (29) для системы уравнений (1) не имеют места. Очевидно также, что не существует интегралов таких видов, которые могут быть получены из соотношения (29) путём циклических последовательных перестановок переменных, входящих в это соотношение. В силу этого не существует и нового независимого первого интеграла, содержащего любые две переменные из группы щ1, щ2, щ3 и всех переменных sj, где j = 1, 2, 3.

3.3.4. Интегралы с числом переменных больше четырёх

Предположим, что для системы уравнений (1) существует первый интеграл вида

Тогда, в силу интеграла (5), должен существовать и новый независимый интеграл (29), что согласно доказанному невозможно.

Если допустить, что существует независимый первый интеграл, содержащий пять переменных, любые две из которых должны выбираться из группы s1, s2, s3, то, в силу интеграла (5), он приводится к виду

К этому же виду мог бы быть приведён и независимый первый интеграл вида

если бы он существовал.

Заключение

Задача о существовании независимых дополнительных первых интегралов динамических систем твёрдых тел, находящихся в силовых полях, является составной частью общей проблемы - проблемы интегрируемости по Буру - Лиувиллю этих систем.

Важное значение алгебраических первых интегралов систем уравнений движения твёрдых тел состоит в том, что эти интегралы являются элементами-носителями основной информации об имеющихся особенностях движения данных тел [12].

Случаи существования интегралов динамических систем, являющихся в общем случае неинтегрируемыми по Пуанкаре [13], в определённом смысле представляют собой случаи вырождения различной коразмерности. Утверждается, что "… следует признать бесспорную ценность … интегрируемых случаев вращения твёрдого тела вокруг неподвижной точки. … [Эти] вырожденные случаи … близки многим реальным ситуациям … и выделяются не столько формальным свойством интегрируемости, сколько их подлинной практической важностью" [14].

Решение поставленной задачи, проведённое в работе [4] и в настоящей статье, приводит к следующим выводам.

1. Система уравнений движения гиростата в СД-поле, являющаяся гамильтоновой, при определённых структурно-динамических ограничениях обладает независимыми алгебраическими первыми интегралами. При этом её полная система независимых первых интегралов является инволютивной. Здесь подразумевается существование данных интегралов во всём фазовом пространстве системы, поскольку полный набор независимых интегралов в малой окрестности неособой точки всегда существует.

2. Для динамической системы (1) независимые первые интегралы, содержащие переменные щi, sj (i, j = 1, 2, 3), число которых больше трёх, не существуют (поле данных интегралов - пустое множество).

3. Независимые алгебраические первые интегралы системы уравнений (1) с числом переменных не более трёх существуют и являются только интегралами группы 1. К ним относятся интегралы, имеющие зависимости вида где (i, j, k) = 1, 2, 3 - все различные.

4. Все указанные независимые первые интегралы являются линейными по компонентам щi; их существование определяется наличием структурно-динамических симметрий объекта (осевой, гирационной и центральной симметрий). Поле первых интегралов здесь - линейное.

5. Указанным видам структурно-динамической симметрии однозначно соответствуют линейные интегралы с одной, двумя и тремя переменными щj соответственно.

6. Существующие независимые линейные интегралы системы уравнений (1), относящиеся к группе 1 и зависящие от двух и трёх переменных, являются условными первыми интегралами. Эти интегралы существуют при условиях, выраженных уравнениями стационарных голономных связей.

Приведённые особенности составляют характерное свойство движения механических объектов в потенциальном силовом СД-поле, построенном на основе принятой термомеханической модели [3].

Список литературы

Лебедев П.Н. Об отталкивающей силе лучеиспускающих тел // Собрание сочинений / под ред. Т.П. Кравец. М.: Изд-во Академии наук, 1963. 435 с.

Джуманалиев Н.Д., Киселёв М.И. Введение в прикладную радиационную небесную механику. Фрунзе: Илим, 1986. 201 с.

Коган А.Ю., Кирсанова Т.С. Термомеханические явления в движении относительно центра масс космического аппарата с солнечным стабилизатором // Космические исследования. 1992. Т. 30. Вып. 3. С. 312?320.

Макеев Н.Н. Интегралы динамики гиростата в световом потоке // Вестник Пермского университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 3. С. 50-58.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 431 с.

Джакалья Г.Е. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 319 с.

Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твёрдого тела. М.: Наука, 1977. 328 с.

Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. М.; Л.: ГТТИ, 1934. 360 с.

Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1947. 358 с.

Гурса Э. Курс математического анализа: в 3 т. / пер. с франц.; под ред. Б.К. Млодзеевского. М.; Л.: ГТТИ. Т. 2. Ч. 2, 1933. 287 с.

Макеев Н.Н. Угловое движение симметричного космического аппарата с солнечным стабилизатором // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Пермский ун-т. Пермь, 1996. С. 105?112.

Харламова Е.И., Мозалевская Г.В. Интегро-дифференциальное уравнение динамики твёрдого тела. Киев: Наукова думка, 1986. 296 с.

Пуанкаре А. Новые методы небесной механики / пер. с франц. // Избр. тр.: в 3 т. М.: Наука, 1971. Т. 1. 772 с.

Размещено на Allbest.ru

...