Ланцюгові дроби

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ланцюгові дроби

Вступ

ланцюговий дріб математика

В теорії чисел, математичному аналізі, теорії ймовірності та в обчислювальній математиці широко використовують ланцюгові дроби.

Найпростішим ланцюговим дробом називається вираз виду

де а₀, а₁, а₂ - змінні, які в залежності від потреб можна вважати дійсними або комплексними числами, функціями однієї або декількох змінних. Розглядаємо ланцюгові дроби. Ми будемо вважать а₁, а₂, ....,- додатними числами, а а₀ - будь-яким дійсним числом. Ці числа називаються елементами даного ланцюгового дробу. Число елементів може бути скінченним або нескінченним.

Ланцюговий дріб з скінченним числом елементів має вид

і називається скінченним ланцюговим дробом, а точніше n- членним ланцюговим дробом.

Ланцюговий дріб з нескінченним числом елементів має вид(1) і називається нескінченним ланцюговим дробом.

Для полегшення запису будемо записувати дріб(1) у вигляді [a₀;a₁,a₂...](3), а дріб(2)-у вигляді [a₀;a₁,a₂,....,an](4).Число членів скінченого ланцюгового дробу дорівнює числу елементів, що стоять після крапки з комою.

Ланцюговий дріб Sк=[a₀;a₁,a₂,…,aк], де 0<k<n, називається відрізком ланцюгового дробу(4), а при довільному k>0 Sк-відрізком нескінченного ланцюгового дробу(3). Очевидно, що довільний відрізок довільного ланцюгового дробу є скінченний ланцюговий дріб.

Ланцюговий дріб r_к=[а_к;а_к+1,а_к+2,...] будемо називати залишком нескінченного ланцюгового дробу(3).Усі залишки скінченного ланцюгового дробу також скінченні дроби ,а залишком нескінченного ланцюгового дробу є нескінченний дріб.

Процес послідовного утворення нескінченних ланцюгових дробів, одержаних при розкладі деяких дійсних чисел, вперше був описаний в 1572р. В алгебрі Бомбелі; але Бомбелі, описуючи цей процес, не використовував позначення ланцюгових дробів виду (1). Це позначення вперше зустрічається у Катальді в 1613р., тільки замість знаку „+” він писав „et” .

Скінченні ланцюгові дроби розглядав німецький математик Швентер (1585-1636). Широке використання ланцюгові дроби отримали починаючи з робіт відомого фізика, астронома і математика Гюйгенса. Гюйгенс розглядав задачу підбору зубчатих коліс для побудови моделі, що імітує рух планет у сонячній системі. Відношення числа зубців у цих колесах було як найближче до деякого заданого числа. Число зубців не можна було брати дуже великим , отже доводилось відшукувати такі два відносно невеликі натуральні числа, відношення яких було б близьким до заданого числа. Розв`язок цієї задачі привів до розгляду ланцюгових дробів. Теорія ланцюгових дробів була розроблена спочатку Ейлером, а потім Лагранжем. Отже, розглянемо скінченні ланцюгові дроби.

1.Скінченні ланцюгові дроби

Усякий скінченний ланцюговий дріб являє собою результат скінченного числа раціональних дій над його елементами, тому скінченний ланцюговий дріб виражає собою деяке дійсне число: якщо всі елементи даного дробу числа раціональні, то й сам дріб є раціональне число. Покажем, що справедливо також і обернене твердження.

Теорема 1:Довільне раціональне число дорівнює деякому скінченому ланцюговому дробу, причому існує один і тільки один скінченний дріб

Доведення: Довільне раціональне число можна записати у вигляді ,де P і Q цілі , причому Q>1. Алгоритм Евкліда для таких чисел P і Q дасть систему рівнянь:

Систему (5) можна записати у вигляді

Звідки отримаємо:

Для цілого числа, т.б. у випадку коли Q=1 у системі (5) буде тільки перше рівняння Р=1·Р+0 і ланцюговий дріб обірветься на а₀=Р.

Отже, ми довели , що будь-яке раціональне число можна розкласти в скінченний ланцюговий дріб. Постає питання: чи є такий розклад єдиний, т.б. чи може існувати скінченний ланцюговий дріб, що дорівнює , з елементами, відмінними від неповних часток а_і , отриманих в алгоритмі Евкліда?

Теорема 2: Існує один і тільки один скінченний ланцюговий дріб, що дорівнює даному раціональному числу.

Доведення: Припустимо, що існує два різні дроби, які дорівнюють даному раціональному числу. Тоді, якщо

Вважаєм, що s?n, тоді оскільки дроби

менше 1, то кожне з чисел а₀ і а₀` дорівнює цілій частині числа , тому

а₀= а₀?. Віднімемо від обох частин рівності (8)

а₀=а₀?, отримаємо

Дроби в лівій і в правій частинах рівності мають однакові чисельники рівні одиниці, тому і знаменники цих дробів також рівні між собою, т.д.

Потім аналогічно доводимо , що а₁=а₁?, а₂=а₂? і через n кроків приходим до рівняння

Отримали, що при s>n цім число а_n дорівнює дробовому числу, а це неможливо. Звідси витікає, що s=n, а отже а_n=a_n`, т.б. ланцюгові дроби (6) і (7) рівні. Теорему доведено.

2.Підхідні дроби

Усякий скінченний ланцюговий дріб [а₀;а₁,а₂ ... а_n] є раціональна функція елементів цього дробу, і тому він може бути поданий як відношення двох многочленів

відносно а₀, а₁... а_n з цілими коефіцієнтами.

Якщо елементи набувають числових значень, то даний ланцюговий дріб постає у вигляді звичайного дробу

Подання скінченного ланцюгового дробу у вигляді простого дробу називається канонічним. Для нуль-членного цепного дробу [а₀]=а₀ ми за канонічне подання приймаємо дріб .

Розглянемо канонічне подання для n- членного ланцюгового дробу. Нехай відомо канонічне подання для ланцюгових дробів, число членів яких менше від n. Запишемо n- членний ланцюговий дріб [а₀;а₁, ... а_n] у вигляді

[а₀;а₁, ... а_n]=[а₀; r₁]=а₀+, де r₁=[a₁;a₂... a_n] -(n-1)- членний ланцюговий дріб, для якого канонічне подання має вид:

r₁=,

тоді [a₀;a₁,a₂ … a_n]=a₀+ - цей дріб і візьмемо за канонічне подання ланцюгового дробу [а₀;а₁,а₂, ...а_n]. Отже, можна вважати, що

для чисельників і знаменників цих канонічних подань маєм співвідношення:

р=а₀ р?+, =p? (10)

Отже, бачимо, що канонічні подання однозначно визначені для скінченних ланцюгових дробів з довільним числом елементів.

В теорії ланцюгових дробів важливу роль відіграють канонічні подання відрізків даного ланцюгового дробу б=[а₀;а₁,а₂,...]; канонічне подання відрізка

S_к=[а₀;а₁,а₂...а_к]

дробу б позначатимемо через і називатимемо підхідним дробом порядку k даного ланцюгового дробу.

Скінченний ланцюговий дріб має скінченне число підхідних дробів, а нескінченний ланцюговий дріб має нескінченне число підхідних дробів, n-членний дріб б має (n+1) підхідних дробів.

Правило утворення підхідних дробів

Теорема 3: Для довільного k>2

р_k=a_kp_k-1+p_k-2

q_k=a_kq_k-1+q_k-2 (11)

p_o=a_o; q_o=1; p₁=a_oa₁+1; q₁=a₁

Доведення: 1)к=2, тоді р₂=а₂р₁+р_о

=>

q₂=a₂q₁+q_o

2) к<n. Припустимо, що формули (11) справедливі для всіх к<n. Розглянемо ланцюговий дріб [a₁;a₂,...a_n] і позначимо через його підхідний дріб порядку r. В силу формул (10)

p_n=a_op_n`<sub>-1</sub>+q`_n-1, q_n=p`_n-1,

а оскільки по нашому припущенню

р`<sub>n-1</sub>=а<sub>n</sub>р`_n-2+р`_n-3;

q`<sub>n-1</sub>=a<sub>n</sub>q`_n-2+q`_n-3

(стоїть а_n,а не а_n-1, оскільки дріб [а₁;а₂,...,а_n] починається з а1, а не з ао), то

p_n=a₀(a_np?_n-2+p?_n-3)+(a_nq?_n-2+q?_n-3)=a_n(a₀p?_n-2+q?_n-2)+(a₀p?_n-3+q?_n-3)=a_np_n-1+p_n-2.

q_n=a_np?_n-2+p?_n-3=a_nq_n-1+q_n-2.

Теорему доведено.

Формули (11), що виражають чисельник і знаменник підхідного дробу порядку n через елемент a_n і через чисельники і знаменники двох попередніх підхідних дробів, служать формальною основою усієї теорії ланцюгових дробів.

Послідовне обчислення чисельників р_к і знаменників q_к підхідних дробів за формулами (11) зручно розміщувати в таблиці.

	ao	a1	a2	...	ак-1	ак
рк	pо=aо	p1=aоа1+1	p2=а1р1+ рo	...	Рк-1=ак-1рк-2+рк-3	рк=акрк-1+рк-2
qк	qо=1	q1=а1	q2=а2q1+ q0	...	qк-1=ак-1qк-2+qк-3	qк=акqк-1+qк-2

Розглянемо властивості підхідних дробів, чисельників і знаменників.

Теорема 4: для усіх k>0

qкpк-1-pкqк-1=(-1)^к(13)

Доведення: Помножимо формули(11) відповідно на qк-1 і pк-1 і віднімемо першу від другої:

q_кp_к-1-p_кq_к-1=-(q_к-1p_к-2-p_к-1q_к-2),

оскільки q_op_-1-p_oq_-1=1 (p-1=1,q-1=0), то теорема доведена.

Теорема 5: для усіх k>1

q_кp_к-2-p_кq_к-2=(-1)^к-1а_к

Доведення: Помножимо формули(11) відповідно на q_к-2 і р_к-2 і віднімемо першу від другої

q_кр_к-2-р_кq_к-2=а_к(q_к-1р_к-2-р_к-1q_к-2)=(-1)^к-1а_к

Теорема 6: при k>2

Доведення випливає з теореми 5.

Теорема 7: для довільного к(1<k<n)

Доведення: В силу формули

[a₀;a₁,a₂,…,a_n]=[a₀;a₁,a₂,…,a_к-1,r_к]

Ланцюговий дріб у правій частині рівняння має підхідний дріб порядку (k-1)-,і підхідний дріб порядку , який дорівнює самому дробу, а оскільки за формулами (11) р_к=р_к-1r_к+р_к-2 , q_к=q_к-1r_к+q_к-2 , то теорема доведена.

Теорема 8: Чисельник і знаменник будь-якого підхідного дробу - взаємно прості числа .

Доведення: при к=0 р₀=а₀ q₀=1, отже (р₀,q₀)=1. Нехай n>0. Позначимо через d найбільший спільний дільник р_к і q_к, т.б. (р₀,q₀)=d. З рівняння q_кр_к-1 - р_кq_к-1=(-1)^к(теор. 4), оскільки d|рк, d|qк, то d|(-1)^к, де d>0 > d=1

Якщо раціональне число розкласти в ланцюговий дріб, то останній підхідний дріб являє собою нескоротний дріб рівний

Приклад. Скоротити дріб

Розкласти дріб в ланцюговий дріб.

Знаходимо підхідні дроби.

	0	4	2	4	1	1	6
pn	0	1	2	9	11	20	131
qn	1	4	9	40	49	89	583

Отже,

Теорема 9: Парні підхідні дроби утворюють зростаючу послідовність, а непарні підхідні дроби -спадну.

Доведення: за теоремою 6.



звідки маємо, що при парному к >,

а при непарному к <

Теорема 10:

При 1? к ? n

Доведення: з теореми 2 p_kq_k-1-p_k-1q_k=(-1)^k-1 звідки і отримуємо формули 1) і 2).

Теорема 11: Знаменники підхідних дробів до ланцюгового дробу [ a₀;a₁,a₂…a_n], починаючи з першого, утворюють зростаючу послідовність, т.б.

1=q₀?q₁<q₂<…<q_n

Доведення: оскільки q₀=1,q₁=a₁?1=q₀, то q₀ і q₁ додатні. Співвідношення q_k=q_k-1a_k+q_k-2(2?k?n) показує, що і всі наступні знаменники додатні. При к?2, оскільки тоді a_n?1, з q_k=q_k-1a_k+q_k-2 отримаємо q_k.q_k-1+0= q_k-1 .

Теорема 12: З двох сусідніх підхідних дробів парний дріб завжди менше непарного.

Доведення: з теореми 10.



При к парному < , а при к-непарному >, отже з двох сусідніх дробів парний завжди менше непарного.

Наслідок: Довільний парний підхідний дріб менше довільного непарного дробу.

Доведення: Якщо хоча б один парний дріб був більший або рівний непарному, то згідно з теоремою 9 останній парний дріб теж був би більший за останній непарний, що суперечить теоремі 12.

Теорема 13: Відстані між сусідніми підхідними дробами зменшуються з зростанням їх номера.

Доведення: з теорем 10 і 11 маємо:

<

Теорема 14: Підхідні дроби з парними і непарними номерами утворюють систему кінців, вкладених один в одного інтервалів, т. б.

Доведення : За теоремою 9 парні підхідні дроби утворюють зростаючу послідовність, а непарні - спадну послідовність, при цьому довільний парний дріб завжди менше довільного непарного дробу. А оскільки це справедливо для довільного числа підхідних дробів, то

p0 < p2 < p4 < … < p5 < p3 < p1

q0 q2 q4 q5 q3 q1

3.Нескінченні ланцюгові дроби

Кожному нескінченному ланцюговому дробу [а0;а1,а2... ] (14)

Відповідає нескінченна послідовність підхідних дробів

р0 p1 pк

q0,q1,…qк, ...

Підхідним дробом рк до нескінченного ланцюгового дробу

qк

(14) називається скінченний ланцюговий дріб

рк ₌ [а0;а1,а2 ... ак]

qк

Нескінченний дріб (14) називається збіжним, якщо існує границя його підхідних дробів, т.б.

L- називається величиною нескінченного ланцюгового дробу (14).

Теорема 15: Якщо нескінченний ланцюговий дріб (1) збігається, то збігаються і всі його залишки; і якщо хоч один з залишків ланцюгового дробу збігається, то збігається і сам дріб.

Доведення : позначимо через рк підхідні дроби

qк

ланцюгового дробу (14), а через р`к - підхідні дроби якого -

q`к

небудь з його залишків rn. На основі теореми 7 маємо



Звідси маємо, що якщо збігається залишок rn, т.б. якщо дріб р`к при k>? прямує до границі, яку ми позначимо через rn, q`к то дріб pn+к при цьому прямує до границі L, яка дорівнює qn+к

Розв'язав співвідношення (15) відносно pМк ми таким же qМк шляхом переконуємось у справедливості оберненого твердження. Теорему доведено.

Властивості підхідних дробів, їх чисельників і знаменників, сформульовані у теоремах 2-14 для скінченних ланцюгових дробів, справедливі і для нескінченних ланцюгових дробів. Дійсно, яке б велике не було n підхідні дроби p0 p1 pк до нескінченного ланцюгового дробу є q0 , q1 ... qк разом з тим підхідними дробами до скінченного ланцюгового [а0;а1,а2...ак,ак+1]. Отже, твердження теорем, для нескінченних ланцюгових дробів, витікають наступні твердження.

Теорема 16: Величина збіжного нескінченного ланцюгового дробу більше будь - якого підхідного дробу парного порядку, і менше будь - якого підхідного дробу непарного порядку (з теорем 8,12).

Теорема 17: Величина L збіжного нескінченного ланцюгового дробу при довільному k?0 задовольняє нерівність:

Теорема 18: Будь - який нескінченний дріб збігається.

Доведення : Нехай [ао;а1,а2...]- довільний ланцюговий дріб, де аn є Z, аn?1 при n=1, 2, 3...

В теоремі 14 було доведено, що підхідні дроби з парними і непарними номерами є лівими і правими кінцями системи вкладених один в одного інтервалів. Згідно з теоремою 13 ¦pn - pn+1¦>0, отже довжини інтервалів (p0;p1) (p2,p3)...

¦qn qn+1¦ (q0 q1),(q0 q3)

прямують до нуля при n>?.

За теоремою математичного аналізу ліві і праві кінці такої системи вкладених один в одного інтервалів, довжини яких прямують до нуля, мають спільну границю, що являє собою деяке дійсне число L таке, що

Теорему доведено.

Нехай L=[а0;а1,а2...]. повними частками в розкладі L будемо називати величини L0,L1,L2,... визначені рівностями:

L=[а0;а1... аn;Ln+1] при n?0,

L=L0 при n=-1.

Теорема 19: Нехай L=[а0;а1,а2,...,Ln+1]- повна частка в розкладі L, тоді

Де pn, qn, pn-1, qn-1 - чисельники і знаменники n-ого і (n-1)-ого підхідного дробу до L.

Доведення: Зрівнюєш вирази

рn+1 = [а0;а1,а2,...аn,аn+1] і L=[а0;а1...аn,Ln+1] і бачимо, що якщо

qn+1

в рn+1 замінить аn+1 на Ln+1 і отримаємо L. Згідно т. 3

qn+1

рn+1 = pnan+1+pn-1 де pn,qn,pn-1,qn-1 не залежать від аn+1.

qn+1 qnan+1+qn-1

Замінимо аn+1 на Ln+1 і отримаємо L=pnLn+1+pn-1 , звідки й qnLn+1+qn-1 випливає (17).

Формули (16) і (17) справедливі і при n=0 і n=-1; якщо прийняти p-1=1,q-1=0,p-2=0,q-2=1. Дійсно :

В подальшому розгляді завжди будемо вважати, що

p-1=1,q-1=0,p-2=1,q-2=1.

4.Розклад дійсних чисел в ланцюгові дроби

Розкладом дійсного числа L в ланцюговий дріб називається подання L у вигляді:

L=[а0;а1,а2...], де а0,а1,а2...- скінченна або нескінченна послідовність цілих чисел, така що при k?1 усі ак?1, а в випадку скінченного розкладу останній елемент аn>1.

Теорема 20: нехай розклад L в ланцюговий дріб має вид:

L=[а0;а1,а2...].

Введемо позначення Lґn=[аn;аn+1,...], тоді :

1). L=[а0;а1,а2,...аn-1;Lґn] т.б. Lґn=Ln являє собою n-повну частку в розкладі L.

2). аn=[Ln] при усіх n.

Доведення :

1). Для скінченного ланцюгового дробу це співвідношення очевидно. Розглянемо випадок нескінченного ланцюгового дробу. Якщо границя підхідних дробів до нескінченного ланцюгового дробу [аn;аn+1,аn+2,...] дорівнює Lґn, то Lґn>1, тоді !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

2). Якщо ланцюговий дріб скінченний, а аn- його останній елемент, то аn=Ln=[Ln].

Якщо аn не є останнім елементом , то Ln+1=Lґn+1=[аn+1;аn+2;...]>1; 0<__1_<1,

Ln+1

І як доведено у першій частині Ln=аn+ 1_ отже аn=[Ln].

Ln+1,

Приклад : знайти величину ланцюгового дробу.

L=[2;2,2,1,2,2,2,1...] де усі подальші елементи послідовно приймають значення 2,2,2,1.

Згідно теорем 19 і 20 маємо

:

Складемо таблицю значень pn і qn при n=0,1,2,3.

	2	2	2	1
pn	2	5	12	17
qn	1	2	5	7

Теорема 21: для довільного дійсного числа існує розклад в ланцюговий дріб.

Доведення : нехай дано довільне дійсне число L. За теоремою 1 було доведено, що якщо L-раціональне число, то існує скінченний ланцюговий дріб, що дорівнює L.

Розглянемо випадок, коли L-ірраціональне число. Позначимо через а0-цілу частину L, а через L1-величину, обернену до дробової частини L, т.б. L1= 1, отже L=а0+ 1.

L-а0 L1

Оскільки L ірраціональне, а0?L і L1-ірраціональне число, L1>1.

Отже, для довільного ірраціонального числа L можна знайти ціле число а0=[L] і ірраціональне число L1 такі, що L=а0+ 1 . Знаходимо таким же методом для L1 числа а1=[L1]

де при n?1 всі ірраціональні числа Ln>1 і, отже при всіх таких n числа аn=[Ln]?1.

Числа а0, а1, а2, ... утворюють нескінченну послідовність цілих чисел і оскільки при n?1, аn?1 ми можемо узяти ці числа за елементи і скласти нескінченний ланцюговий дріб [а0;а1,а2,...], яка збігається. Доведемо, що величина цього ланцюгового дробу дорівнює числу L. Дійсно, з рівності (18) отримуємо L=[а0;а1,а2,...аn,Ln+1], згідно з теоремою 17 маємо :



Оскільки qn>? величина ¦L?pn¦при зростанні n стає

qn¦

менше довільного заданого додатного числа, т.б. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Приклад. Знайти перші чотири елемента розкладу в ланцюговий дріб числа р=3,14159265...

Знаходимо а0=[р]=3

Отже, р=[3;7,15,1...]

Приклад. Знайти перші 6 елементів розкладу в ланцюговий дріб числа v14

ао=[v14]=3

Теорема 22: Для довільного дійсного числа L існує один і тільки один ланцюговий дріб, рівний L.

Доведення : нехай L=[а0;а1,а2,...]=[а`0;а`1,а`2,...] де аі і а`і - цілі числа, при і?1- всі аі та а`і додатні. Будемо вважати , що хоч один з 2ч дробів нескінченний (випадок 2ч скінченних ланцюгових дробів розглядався в теоремі 2.)

Нехай ці два ланцюгові дроби відмінні хоча б на один елемент, і позначимо через k перший номер, такий, що ак?а`к, т.б. припустимо, що ао=а`0, а1=а`1,...ак-1=а`к-1, ак?а`к.

Позначимо Lк=[ак;ак+1,...],L`к=[а`к;а`к+1...].

З теореми 20.

L=[а0;а1,а2...ак-1,ак]=[а`0;а`1,а`2...а`к-1,а`к]. Отримаємо Lк=L`к, але згідно теоремі 20 ак=[Lк]=[L`к]=а`к, що суперечить умові ак?а`к.

Таким чином, розклад в ланцюговий дріб може бути тільки один.

Отже, розкладаючи дійсні числа в ланцюгові дроби, ми для кожного раціонального числа маєм єдиний розклад, що являє собою скінченний ланцюговий дріб, а для кожного ірраціонального числа - єдиний розклад, являє собою нескінченний ланцюговий дріб.

5.Квадратичні ірраціональності і періодичні ланцюгові дроби

Число L називається квадратичною ірраціональністю, якщо L - ірраціональний корінь деякого рівняння ач²+bч+с=0 (19)

З цілими коефіцієнтами, що одночасно не дорівнюють нулю. При такому L, очевидно, а?0, с?0.

Корені (19) дорівнюють , отже довільну квадратичну ірраціональність L можна записати у вигляді L=P+vД , де Р і Q цілі, а Д(Д>1) - ціле неквадратне число Q

Другий корінь - називається ірраціональністю спряженою з L.

Приклади.

1. v7 - квадратна ірраціональність, оскільки v7 є ірраціональним коренем рівняння ч²-7=0.

2. - квадратична ірраціональність, оскільки L є ірраціональним коренем рівняння 9ч²-6ч-4=0.

Ланцюговий дріб [а0;а1,а2...] називається періодичним, якщо періодичною є послідовність елементів а0, а1, а2 ...

Приклад: Розкласти в ланцюговий дріб число 602

367

Розв'язання: Якщо a додатній дріб, то застосовуємо B алгоритм Евкліда. Якщо

Приклад: Знайти підхідні дроби до ланцюгового дробу [-2;2,1,3,1,1,4,3]

Складемо таблицю (табл.(12)).

aк	-2	2	1	3	1	1	4	3
рк	-2	-3	-5	-18	-23	-41	-187	-602
qк	1	2	3	11	14	25	114	367

6. Представлення дійсних чисел ланцюговими дробами

За допомогою ланцюгових дробів одне й те ж саме раціональне число можна представити різними способами. Наприклад,

.

В ланцюговому дробі

Який також можна записати в іншому вигляді, наприклад,

 () або () числа і (k=2, 3, …) називають ланцюгами, и - членами k-го ланцюга, із них - частковим чисельником, а - частковим знаменником.

Щоб отримати розклад раціонального числа в скінчений ланцюговий дріб (1), можна всі і , за виключенням одного вибрати довільно. Можна, наприклад, знайти розклад ; для цього потрібно взяти . Можна ланцюговий дріб перетворити так, щоб всі дорівнювали 1, тобто , щоб (1) прийняв вид

(2).

Так, наприклад ,

.

Дроби виду (2) називають звичайними ланцюговими дробами, а , , …, -їх неповними частками. Правильні ланцюгові дроби можна саме тому визначити як звичайні ланцюгові дроби з цілими додатніми частками, починаючи , причому може бути довільним цілим числом.

Правильні ланцюгові дроби є найбільш простими і найбільш вивченими серед ланцюгових дробів загального виду, однак і інші ланцюгові дроби відіграють велику роль і мають велике значення, наприклад , в наближеному аналізі, де за їх допомогою без складних викладок отримують дробово-раціональні наближення функцій.

Якщо ми маємо систему рівностей , , , … з довільними раціональними числами, то при b, c, d0, з них слідують рівності

, , , …,

отже, підставляючи ланцюжком, отримаємо

.

k-я підхідний дріб визначається для за формулою при умові , що , , , .

1) Користуючись нею, знайдемо, наприклад, підхідні дроби для розкладу

. Маємо =, , , , , .

Цікавою особливістю ланцюгових дробів є те, що навіть раціональні числа можуть ними ж розкладатися в нескінченні ланцюгові дроби. Наприклад,



=, , , , , …

0,3; 0,42; 0,45; 0,467; …

Квадратичні ірраціональності розкладаються і неперіодичні ланцюгові дроби загального виду. Наприклад,

=, , , , , , , …

1; 1,5; 1,38; 1,44; 1,40; …

Але саме цікаве і важливе те, що в той час як до теперішнього часу невідомий розклад в правильний ланцюговий дріб ні однієї алгебраїчної ірраціональності степеня вище другого ( іншими словами, невідомі загальні властивості неповних часток таких розкладів, розклади самі по собі з якою завгодно точністю можна практично знайти), за допомогою загальних ланцюгових дробів знаходяться досить легко. Відмітимо, наприклад, деякі розклади відповідні підхідні дроби для :

=, , , , , , …

1,33; 1,22; 1,284.

=, , , , , , …

1,17; 1,25; 1,258; 1,2596; …

Приведемо ще декілька прикладів розкладів інших ірраціональностей в ланцюгові дроби загального виду:

=, , , , , , …

Цей ланцюговий дріб для був знайдений більше ніж 300 років назад англійським математиком Бункером.

=, , , , , , ,

Ейлер знайшов розклад в ланцюговий дріб e. e=(2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …), елементи розкладу e в ланцюговий дріб має вид:

, ,

Швейцарський математик Йоганн Генріх Ламберт (1728-1777) знайшов розклад числа у вигляді ланцюгового дробу.

Перші 25 неповних часток розкладу числа в правильний ланцюговий дріб є числа:

3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1.

Приклад. Знайти перші чотири підхідні дроби розкладу в ланцюговий дріб числа =3,14159265…

; =; =; =

Відповідь: ; ; ; .

Приклад. Розкласти в ланцюговий дріб і замінити підхідним дробом з точністю до 0,001число

Розв'язання: =. Виділимо із його цілу частину: , а дробову частину -2, яка <1, представимо в вигляді , де . Повторюємо цю операцію виділення цілої частини і перевертання дробової, і отримуємо:

.

Ми отримали, що , отже, неповні частки, починаючи з будуть повторюватися і =(2, (4)).

Складемо таблицю підхідних дробів:

	2	4	4	4	…
	2	9	38
	1	4	17	72

Нам необхідно знайти такий підхідний дріб

, щоб. Очевидно, що це , оскільки 17·72>1000.

Відповідь: .

7.Загадка Григорія XIII

Розглянемо проблему чергування високосних років. Представимо довжину року у вигляді ланцюгового дробу.

1рік=365^д5^г49^х46^с=365,242199^д=[365;4,7,1,3,5,20,6,12]^д

Приведена вище величина року - прийнята, і ми вважаємо її точною. Вона виражається скінченим ланцюговим дробом.

Знаходимо декілька перших підхідних дробів.

Кожний підхідний дріб дає розв'язок проблеми календаря. Наприклад, наближення - приводить до розв'язку Юлія Цезаря: один високосний рік з кожних чотирьох. Користуватися наближенням ніхто не пропонував, вважаючи, що наступне наближення значно точнішим. Календар, за яким високосними повинні були б вважатися 8 років із кожних 33, був запропонований великим туркмено-персидським філософом, математиком, астрономом и поетом Омаром Хайямом (1040-1123). Відомості про точність знайдених наближень до дійсної довжини року наведені в наступній таблиці:

№ наближення	Чергування високосних років	Середня довжина	Похибка
1	1 високосний із 4	365д6г00х00с	-11х14с
2	7 високосний із 29	365д5г47х35с	+1х11с
3	8 високосний із 33	365д5г49х05с	-19с
4	31 високосний із 128	365д5г48х45с	+1с

В графі "Похибка" знак мінус вказує, що середня довжина року більша дійсну. Четвертий варіант виключно точний. Похибка в в 1 сек. не має ніякого практичного значення. Тому було запропоновано використовувати саме цей календар. В 1864 році російський астроном Медлер запропонував з XX століття ввести такий календар в Росії. Для цього треба внести в юліанський календар наступну поправку: кожні 128 лет пропускати один високосний (тому що по юліанському календарю на 128 лет приходиться 32 високосних). Однак цей календар не був прийнятий ніде в світі, очевидно, тому що період 128 "некруглий".

Вирішив математичну задачу, повернемося до історичної. Які ж були міркування Григорія XIII (або його співробітників )? Середня довжина григоріанського року 365 суток 5 годин 49 хвилин 12 секунд. Це значення відрізняється від істинного на цілих 26 секунд. Складається враження, що папа Григорій XIII або його вчені радники придумали календар більш складний ніж хайямовский і до того ж менш точний? При Григорії XIII тривалість року не була відома настільки точно, як тепер. Комісія Григорія XIII користувались астрономічними таблицями, ск4ладеними Альфонсом X (1221 - 1284), королем Кастилії , який займався астрономією (недаром його прозвали Альфонс-астроном). Ці таблиці вперше були видані в Венеції через сто років після смерті їх автора. В них дається наступна тривалість року 1рік=365д5г49х16с .

Користуючись цими таблицями, комісія повинна була прийти до висновку, що середня довжина року тільки на чотири хвилини відрізняється від істинної. Якби комісія і була б знайома з пропозицією Омара Хайяма, то вона прийшла б до висновку, що календар дає помилку в 11 хвилин. Добавимо, що немає ніяких засад припускати, що комісія використовувала ланцюгові дроби. Що ж стосується Омара Хайяма, товчені впевнені, що він володів. Якщо не повною теорією ланцюгових дробів, то яким-небудь аналогічним принципіальним підходом до задач про найбільш раціональні наближення дробів з невеликим знаменником.

Висновок

Даною роботою я хотів показати значення ланцюгових дробів в математиці.

Їх можно успішно застосовувати до розв'язання невизначених рівнянь виду ax+by=c. Основна складність при розв'язанні цих рівнянь полягає в тому, щоб знайти будь-який частинний розв'язок. А за допомогою ланцюгових дробів можна вказати алгоритм для пошуку цього частинного розв'язку.

Ланцюгові дроби можна застосовувати і до розв'язання більш складних невизначених рівнянь, наприклад, так званого рівняння Пелля:

().

В теперішній час ланцюгові дроби знаходять застосування в обчислювальній техніці, оскільки це дозволяє будувати ефективні алгоритми для розв'язання задач на ЕВМ.

Література

1. Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М, «Просвещение», 84.

2. М.Б. Балк, Г.Д. Балк. Математика после уроков. М, «Просвещение», 71.

3. Ш.Х. Михелович. Теория чисел. М, «Высшая школа», 67.

4. В. И. Арнольд, Цепные дроби, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 14, (2001).

5. Н. М. Бескин, Цепные дроби Квант, № 1, 1970; Бесконечные цепные дроби, Квант, N8, 1970.

6. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960

Размещено на Allbest.ru

...