Теоремы Чевы и Менелая

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследовательская работа по геометрии

Теоремы Чевы и Менелая



Введение

Геометрия - одна из наиболее древних математических наук.

Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах.

Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей. И уже в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Постепенно развиваясь, она обогащалась новыми теоремами, идеями, методам. Некоторые из них продолжают жить, и по сей день. Теоремы Менелая и Чевы. Это теорема, которая была доказана древнегреческим математиком и астрономом Менелаем Александрийским, жившим в I веке до нашей эры и теорема, опубликованная в 1678 году итальянским математиком и инженером Джованни Чевой. В честь этих учёных теоремы названы их именами.

Эти теоремы просты, интересны и находят применение при решении как простых, так и весьма сложных задач. Несмотря на это Теоремы Менелая и Чевы не изучаются в школе на уроках геометрии и встречаются только в школьном учебнике геометрии под редакцией Атанасяна Л.С. в приложении. Доказательства, предложенные автором сложны. Задачи, помещённые в учебнике на применение обратной теоремы Менелая трудны, а задачи на применение прямой теоремы вовсе не рассматриваются.

Актуальность темы:

v Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств.

v Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Чевы и Менелая помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

v Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и олимпиадам.

v Хорошо известно, что выводы школьной геометрии находят широкое применение при решении самых разнообразных практических задач. Знание геометрии необходимо всем, кому приходится исследовать свойства различных фигур и тел. Геометрия изучает наш реальный мир.

Гипотеза: если есть теоремы Чевы и Менелая, значит они могут быть использованы при решении задач.

Цель работы:

ь Провести исследование применения теорем Чевы и Менелая для решения планиметрических задач.

Задачи исследования:

§ изучить состояние проблемы в научной литературе и школьной программе;

§ выявить теоретические положения для доказательства теорем;

§ систематизировать теоретический материал доказательств:

а) теоремы Чевы,

б) теоремы Менелая;

§ проверить эффективность и целесообразность применения теорем при решении задач;

§ научиться применять теоремы Чевы и Менелая в задачах разной сложности;

§ сравнить задачи, решенные с использованием теорем Менелая и Чевы с задачами, решенными традиционным способом.

Теоремы Чевы и Менелая можно назвать «двойственными» они, похоже, формулируются и доказываются. В своей работе я предлагаю доказательства теоремы Менелая (прямая и обратная), используя подобия треугольников, а теорему Чевы доказываю с помощью теоремы Менелая.

Однако при решении целого класса задач эти теоремы позволяют легко и изящно получить решение, в то время, когда традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям.

Научная новизна исследования состоит в том, что в нем проблема доказательства теоремы Чевы и Менелая решается разными способами.

Теоремы Чевы и Менелая позволили нам обнаружить глубоко скрытое общее содержание в таких важнейших теоремах элементарной геометрии, как теорема о трех высотах, медианах и биссектрисах треугольника.



1. Теорема Менелая

чева менелай геометрия математический

Теорема названа в честь древнегреческого учёного Менелая (I в. н.э.), которая была им доказана и опубликована в третей книге «Сферики». Долгое время её называли «теоремой о секущих».

Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно в точках A_1, B₁ и C₁, не совпадающие с вершинами треугольника, то имеет место равенство

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказательство

Пусть прямая пересекает стороны BC и CA треугольника АВС в точках А₁ и В_1,а продолжение стороны АВ в точке С₁.

1. Через вершину С треугольника АВС проведем прямую CD АВ; которая пересечет прямую А₁В₁ в точке D.

2. А₁ВС₁ А₁CD по двум углам

3. В₁АС₁ В₁CD по двум углам

4. из пунктов 2 и 3 следует, что и .

5. Перемножим эти равенства, получим доказываемое соотношение.

Доказательство остается в силе и в том случае, когда все три точки A_1, B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон АВС.

Для пояснения приведённого доказательства сделаем одно уточнение. Пусть - ненулевые коллинеарные векторы. Если , то будем писать: Значит, число k равно отношению длин векторов , взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправленны, и со знаком «минус», если они направлены противоположно.

Легко проверить, что при таком соглашении полученное выше равенство принимает вид:

Обратная теорема. Если выполняется равенство, то точки A_1, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

Для доказательства обратной теоремы используем вышеуказанное уточнение

Доказательство.

Допустим, что выполнено равенство , и пусть прямая А₁В₁ пересекает прямую АВ в точке С₂. Согласно прямой теореме,



Сравнивая это соотношение с данным, заключаем, что

Прибавив к обеим частям равенства 1, получим: откуда , т.е. точки C₁ и C₂ совпадают.

Объединяя прямую и обратную теоремы, получаем следующий результат.

Если на сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС или на их продолжениях взяты точки A_1, B₁ и C₁, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Замечание. При решении задач, когда расположение точек A_1, B₁ и C₁ известно равенство используют в скалярном виде, т.е. рассматривают длины отрезков, а правую часть равенства берут равной 1.

2. Теорема Чевы

Джовани Чева (1648-1734) - итальянский инженер-гидравлик и экономист. Носящая его имя теорема содержится в опубликованной им в 1678 г. работе «О прямых линиях».

Теорема Чевы. Пусть на сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС или их продолжениях взяты соответственно точки А₁, В₁, С₁, не совпадающие с вершинами треугольника. Тогда если прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются или попарно параллельны, то



Доказательство.

I) Пусть прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в точке О, лежащей внутри или вне треугольника АВС. В том и другом случае, применив теорему Менелая к треугольнику ВСС₁ и секущей АА₁. Получим:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналогично из треугольника АСС₁, пересеченного прямой ВВ₁, находим:

Перемножим последние два равенства почленно и получим:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

II) Рассмотрим случай, когда прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ параллельны. Пусть точка В₁ лежит на продолжении стороны АС, точка А₁ лежит на стороне ВС, точка С₁ лежит на стороне АВ. Тогда достаточно доказать, что

Используя теорему об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми, имеем:

Подставим эти равенства в левую часть формулы (*) имеем:



Что и требовалось доказать.

Обратная теорема. Если выполняется равенство , то прямые AA₁, BB₁ и CC₁ либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны.

Доказательство.

Предположим теперь, что выполняется равенство (*), и докажем, что тогда прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в одной точке. Пусть С₂ - Точка пересечения прямой АВ с прямой проходящей через точку С и точку пересечения прямых АА₁, ВВ₁. Для точки С₂ выполняется отношение, как и для точки С₁.

Поэтому, = . Следовательно, C₂ совпадает с C₁, т.е. прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Замечание. Записывая отношение отрезков, следует двигаться по контуру треугольника от вершины до точки пересечения с прямой и от точки пересечения до следующей вершины.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Задачи на применение теорем

Задача 1. На сторонах АВ и АС АВС взяты точки M и N так, что . Отрезки BN и CM пересекаются в точке K. Найдите отношение отрезков

Решение. Применим теорему Менелая к и секущей CM. Получим,



Решение задачи с использованием подобия треугольников:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проведём прямую BD параллельную стороне АС. Точка D точка пересечения этой прямой с прямой СМ.

1. Рассмотрим треугольники DKB и CKN. Данные треугольники подобны.

2. ;

3.

4. , из условия.

5.

Ответ:

Задача разобрана мною двумя способами для сравнения. Краткость решения во втором способе подтверждает предположение о необходимости изучения теоремы Менелая.

Теперь докажем известные нам факты о замечательных точках с использованием теоремы Чевы.

Задача 2: Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказательство. Так как точки А₁, С₁, В₁ лежат на сторонах треугольника, достаточно доказать, что выполняется равенство

Так как ВВ_1, СС₁, АА₁ медианы имеем, что

Тогда в силу теоремы Чевы прямые ВВ_1, СС₁, АА₁ пересекаются в одной точке. Ч.т.д.

Другое доказательство

Рассмотрим треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения медиан АА₁ и ВВ₁.

Проведём среднюю линию А₁В₁ этого треугольника.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отрезок А1В1параллелен стороне АВ, поэтому

Следовательно, и значит их стороны пропорциональны:

АВ = 2 А₁В₁, поэтому АО = 2А₁О и ВО = 2В₁О.

Таким образом, точка О пересечения медиан АА₁

и ВВ1делит каждую из них в отношении 2:1,

считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения

медиан ВВ₁ и СС₁ делит каждую из них

в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Итак, все три медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая с вершины.

Задача 3. Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Пусть BN, AM, CK высоты треугольника АВС проведённые соответственно к сторонам АС, СВ, АВ. Так как точки M, N, K лежат на сторонах треугольника АВС, то достаточно доказать, что

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тогда в силу теоремы Чевы прямые BN, AM, CK пересекаются в одной точке. Ч.т.д.

Другое доказательство.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем. Что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁, содержащие его высоты пересекаются в одной точке.

Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную каждой стороне. Получим треугольник А₂В₂С₂.

1. Точки А, В, С середины сторон треугольника АВС. АВ = А₂С,

АВ = СВ₂как противоположные стороны параллелограмма АВА₂С и АВСВ₂, поэтому А₂С = СВ₂.

2. Аналогично С₂А = АВ₂, С₂В = ВА₂.

3. .

Таким образом прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А₂В₂С₂. Значит, они пересекаются в одной точке.

Что и требовалось доказать.



Заключение

Теоремы Чевы и Менелая просты в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.

Замечательным свойством теорем является то, что они могут служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольника в 9 классе. В частности, с их помощью легко доказываются следующие утверждения:

· Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

· Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

· Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.

Одним из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их решения. Поэтому остановимся на том, когда же имеет смысл применять теорему Менелая при решении задач? Возможность применить теоремы Менелая имеет смысл, когда в условии задачи:

1. Идёт речь, об отношении отрезков (иногда завуалированном: доказать равенство отрезков, доказать, что точка является серединой отрезка).

2. Если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения).

3. Иногда полезно применять обратную теорему (если необходимо доказать, что какие-нибудь точки лежат на одной прямой). А также при доказательстве теорем.

Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теорем Чевы и Менелая даёт дополнительные возможности при изучении геометрии, помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

Теоремы Чевы и Менелая помогают решить задачи более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий; быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности.

Данная работа содержит геометрический материал достаточный для того, чтобы использовать его на элективных курсах и как дополнительный материал для учащихся интересующихся математикой. Данную работу можно продолжить, изучив применение этих теорем в пространстве.



Список литературы

чева менелай геометрия математический

1. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. М.: Аванта +, 2002.

2. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: Ч. 1. М.: Наука, Физматлит, 1995.

3. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих во Втузы. М.: Высшая Школа, 1995.

4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9-11 классы. - М.: Дрофа, 1996.

5. Г.И. Глейзер. История математики в школе - 1983, - 316 с.

Размещено на Allbest.ru

...