Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследовательская работа

Актуальность золотого сечения в современном мире

Подготовлено

Ученицами 10 класса “А”

Многопрофильной школы № 1220

Малич Полиной и Окуневой Анастасией

Москва, 2019 г.

Аннотация к проекту

Авторы проекта: Малич Полина, Окунева Анастасия

Руководитель: Кондратюк Жанна Александровна

Цели работы:

Расширить свои познания о золотом сечении

Узнать, в чём заключается важность золотого сечения

Рассмотреть применение золотого сечения в жизни

Задача работы:

Изучение литературы по теме исследования

1. История Божественной гармонии

Что такое золотое сечение?

Золотое сечение (золотая пропорция, гармоническое деление) -- соотношение двух величин b и a. Число, равное отношению a/b, обычно обозначается прописной греческой буквой Ц, в честь афинского творца одного из семи чудес света Фидия.

Люди с незапамятных времён задавались вопросом, повинуются ли такие вещи как гармония и красота математическим формулам и расчётам. Конечно, мы не можем вписать красоту во все законы и теоремы, но изучая математику и искусство, мы можем познакомиться с удивительным и загадочным явлением, золотым сечением.

О золотом сечении знали ещё на расцвете цивилизаций в Древнем Египте и Вавилоне, где архитектурные сооружения соответствуют всем законам гармонического деления.

Самое первое упоминание деления отрезка в крайнем и среднем отношении встречается в главном труде древнегреческого математика Евклида «Начала» (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения пентагона (Правильного пятиугольника).

Точно не известно, кто первым ввёл термин «золотое сечение» в обращение, некоторые учёные предполагают, что это был великий итальянский художник и изобретатель Леонардо да Винчи, другие же считают, что впервые упомянул термин немецкий математик Мартин Ом в своей книге «Чистая элементарная математика».

2. Золотое сечение в математике

Математические свойства

Для того чтобы понять как закон гармонического деления применяется в математике, мы должны рассмотреть несколько примеров из алгебры и геометрии.

В алгебре число Ф - это иррациональное алгебраическое число.

Свойства золотого сечения можно описать уравнением a/b = (a+b)/a, из которого следует, что Ф= (v5+1)/2=1,618034 или в практических целях можно записать, что Ф = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение -- это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %. Число Ф также можно представить через тригонометрические функции, в виде бесконечной цепочки квадратных корней и в виде бесконечной цепной дроби.

В геометрии золотое сечение используется при построении пятиконечной звезды, пентагона, треугольника Кеплера и т.д.

Рассмотрим способ построения пентаграммы, для этого мы обратимся к трудам немецкого графика Альбрехта Дюрера. В одном из своих трактатов «Руководство к измерению циркулем и линейкой» он описал универсальный и простой метод построения пятиконечной звезды с помощью циркуля и линейки. Для этого необходимо построить пентагон (правильный пятиугольник).

“Пусть O -- центр окружности, A -- точка на окружности и Е -- середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE=ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.”- так нам описывает построение Ф.Д. Шкруднев в своей книге. Таким образом мы получаем пентаграмму, каждый конец которой представляет золотой треугольник. На этой странице мы можем видеть рисунок пятиконечной звезды и отношения отрезков. Так красный отрезок относится к зелёному, зелёный к синему и синий к пурпурному, все они равны числу Ф.

Ряд Фибоначчи

Чимсла Фибонамччи -- это элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711…

Первое упоминание о числах Фибоначчи можно встретить в стихосложении Древней Индии. Там эта последовательность чисел стала известна гораздо раньше, чем в Европе. На Западе впервые эти числа были изучены математиком Леонардо Пизанским (Фибоначчи). В своём труде «Liber Abaci» (1202 г.) учёный приводит закономерность чисел, в ряду которых каждое число является суммой двух предыдущих цифр. Также Фибоначчи привёл ряд закономерностей: любое число из ряда, разделённое на последующее, будет равно значению, которое стремится к 0,618. Причём деление первых чисел ряда не даёт такого числа, но по мере продвижения от начала последовательности это соотношение становится более точным.

Если же число из ряда разделить на предыдущее, то результат будет стремится к числу Ф=1,618. А одно число последовательности, поделённое на следующее через одно, покажет значение, стремящееся к 0,382.

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений n, как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению.

Применение закономерности и связи золотого сечения и числа Фибоначчи(0,618) можно найти не только в математике, но и в истории, в архитектуре, строительстве, природе (Например: листы растений, семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса, раковины моллюсков располагаются согласно последовательности Фибоначчи) и во многих других науках.

Золотой треугольник и золотой прямоугольник

Золотой треугольник -- это равнобедренный треугольник, в котором две боковые (равные) стороны находятся в золотой пропорции с основанием:

a/b=Ф=(v5+1)/2=1,618.

Итак, рассмотрим золотой треугольник. Его можно встретить в фигурах построенных по закону золотого сечения (Например: пентаграмма, правильный пятиугольник, а также золотые треугольники можно встретить в развёртках некоторых звёздчатых форм додекаэдра и икосаэдра). Сумма углов этого треугольника равна 180°, угол вершины равен 36°, из этого следует, что сумма углов при основании равна 72°. Соотношение углов треугольника 2:2:1.

Также золотой треугольник уникален тем, что его последовательность можно вписать в логарифмическую спираль (особый вид спирали, часто встречающийся в природе). Для этого нужно разделить угол при основании пополам, и получить следующую точку. Этот процесс деления может продолжаться бесконечно, создавая бесконечно много золотых треугольников.

Золотой прямоугольник -- это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции 1: (v5+1)/2 (1:Ф).

Чтобы построить золотой прямоугольник нам нужны циркуль и линейка:

Начните с построения обычного квадрата

Далее проведите из любого угла линию до середины противоположной стороны

Затем стройте окружность, используя точку пересечения в качестве центра окружности, а в качестве радиуса используется полученный отрезок

Продолжайте противоположную сторону до пересечения с окружностью

Следую описанному выше методу построения, вы получите золотой прямоугольник, стороны которого будут находиться в золотой пропорции.

Отличительной особенностью этой фигуры является то, что после удаления квадрата оставшаяся часть остаётся золотым прямоугольником, сохраняя то же самое отношение геометрических размеров. Золотые прямоугольники можно поделить на бесконечное число уменьшающихся в размерах золотых прямоугольников, “отрезая” от них части по кратчайшей линии. В терминологии греческой школы математиков такое свойство делает золотой прямоугольник гномоном - объектом, способным сохранять форму по мере роста (либо уменьшения).

3. Золотое сечение в современном мире

Золотое сечение в медицине

С развитием технологий люди начали применять принцип золотого сечения и ряд Фибоначчи не только в архитектуре, музыке, живописи или стихосложении, как это делали люди в Древней Индии, но и начали использовать закон Божественной гармонии в современной медицине.

Например, известный японский ученый, основатель одной из самых эффективных систем оздоровления, Кацудзо Ниши в своей книге “Золотые Правила Здоровья” описывает "золотое сечение" в артериальном давлении, которое выражается соотношением семь к одиннадцати (или достаточно приближённое к этому соотношению значение). К. Ниши считает, что при данном соотношении для человека абсолютно не опасны практически любые цифры верхнего и нижнего давления. Но при нарушении артериального "золотого сечения", возникает значительный риск для здоровья.

Также можно рассмотреть труд про золотое сечение и сердце человека, написанный российским кандидатом биологических наук, В.Д. Цветковым. В своей книге учёный изображает принцип золотого сечения в структуре сердечного цикла. Цветков описывает нам частоту сердцебиений, при которой длительности систолы, диастолы и кардиоцикла соотносятся между собою по золотому сечению.

Удивительно, но в пластической хирургии и стоматологии можно проследить пропорции "золотого сечения". Так, известный популярный американский челюстно-лицевой хирург Стивен Марквардт на протяжении долгих лет работал над тем, что бы сделать лица, деформированные от рождения или в результате несчастных случаев, более привлекательными, но далеко не всегда результат удовлетворял хирурга. И тогда, он решил вывести формулу идеального лица. Для выведения этой формулы Стивен Марквардт руководствовался работами Леонардо да Винчи, Пифагора и других не менее известных исследователей и учёных. После длительных расчётов хирург пришёл к выводу, что нос в анфас и профиль образует треугольник, стороны которого в красивом лице в 1,618 раз длиннее, чем его основание. И этот треугольник может быть преобразован в пятиугольник, который получается во время улыбки. Совместив эти геометрические формулы на лице человека, с учётом золотого сечения, доктор создал “маску красоты”. Используя эту маску красоты, можно “подогнать” черты лица под идеальные пропорции.

Золотое сечение в архитектуре

Методика золотого сечения раньше широко использовалась, при этом суть универсальной пропорции считалась одной из тайн вселенной. Многие строения архитектуры были построены на основе золотого сечения. Данная зависимость прослеживается как в средневековье, так и в современном мире. Например, дворец мира и согласия в Казахстане. Эта пирамида, созданная архитектором сэром Норманом Фостером в Астане. В её размерах дан коэффициент золотого сечения, умноженный на 100 и выраженный в метрах.

Также собор Парижской Богоматери имеет участки и размерные цепи, которые соответствуют золотому сечению.

Ещё одним ярким примером золотого сечения является здание МГУ. Это высокое строение, которое состоит из пяти композиционных групп, которые венчает центральная башня. Здесь чётко прослеживается треугольник с прямым углом, гипотенуза которого захватывает пристройки и проходит через угол здания.

Также мы можем рассмотреть дом Советов на Московской площади. Это здание было построено в 1941 году по проекту Троцкого. По бокам симметрично расположены пятиэтажные корпуса. Длина дома достигает 1472 ед., из которого методом деления на число Ф получается ряд размеров элементов здания: 1472, 909, 562, 34, 214, 132, 81, 50.

Золотое сечение можно найти и в Кунсткамере. Здание Кунсткамеры было заложено в 1718 году под руководством Г.Маттарвони. Находится оно на Университетской набережной Васильевского острова. Башенная часть здания вписана в золотой равнобедренный треугольник от основания до вершины. Именно в этом элементе в большей степени просматривается золотое сечение.

Золотое сечение в науке

Помимо архитектуры золотое сечение используется в науке, ведь живые системы также обладают свойствами, характерными для него (пропорции тел, параметры биоритмов, кости человека выдержаны в пропорции золотого сечения и т.д.)

Примером золотого сечения в анатомии является строение человеческой руки. Каждый палец состоит из трёх фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и даёт число золотого сечения. Помимо этого соотношение между средним пальцем и мизинцем тоже равно числу золотого сечения.

Также золотое сечение используется в физике для решения задач. Существуют колебательные системы, физические характеристики которых пропорциональны золотому сечению. Самым простым примером является система из двух шариков, которые соединены последовательно пружинами одинаковой жёсткости.

Золотое сечение тесно связано с додекаэдрами и икосаэдрами. Это значит, что везде, где в структуре появляются они или их производные, в описании будет появляться и золотое сечение.

Вывод

В данной работе мы рассмотрели влияние золотого сечения на живую и не живую природу, на исторический ход развития истории человечества и планеты в целом. Мы разобрались в построении геометрических фигур, решении алгебраических задач. Поняли строение человеческого тела, взаимосвязь золотого сечения и здоровья, применение закона золотого сечения в науке, медицине, архитектуре и т.д.

Принцип золотого сечения -- высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Таким образом, это совершенство, это единство сохранило свою актуальность с древних времён до наших дней.

Список использованной литературы

золотой сечение математика фибоначчи

1. Кацудзо Н. Золотые правила здоровья. [Электронный ресурс]// Режим доступа: https://www.litmir.me/br/?b=189695&p=1#section_2.

2. Шкруднев Ф.Д. Сборник статей и публикаций 2012-2013 гг. В двух частях. Часть I. - © ООО «ЛИТЕО», 2017 . [Электронный ресурс]// Режим доступа: https://www.litmir.me/br/?b=582596&p=1.

3. Дюрер А. Руководство к измерению циркулем и линейкой. [Электронный ресурс]// Режим доступа: http://iknigi.net/avtor-albreht-dyurer/54518-traktaty-albreht-dyurer/read/page-3.html.

4. Антипина А.А. "Золотое сечение" - красота и гармония в математических расчётах. [Электронный ресурс]// Режим доступа: https://school-science.ru/4/7/914.

5. Цветков В.Д. Сердце, золотое сечение и симметрия.- Отдел научно-технической информации Пущинского научного центра РАН, 1997. 170c. [Электронный ресурс]// Режим доступа: http://314159.ru/tsvetkov/tsvetkov2.htm.

6. Кропотова Т.В., Подольский В.Г., Кашаргин П.Е.. ВВЕДЕНИЕ В ВЫСШУЮ МАТЕМАТИКУ. Казанский федеральный университет институт физики. - © Казанский университет, 2014. [Электронный ресурс]// Режим доступа: https://kpfu.ru/portal/docs/F772398608/_____1.a____a_a_a_.pdf.

7. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8.

8. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.

9. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA.

10. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F).

11. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F).

12. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA.

13. http://www.forens-med.ru/book.php?id=532.

14. http://365-tv.ru/index.php/stati/istoriya-tv/103-arkhitekturnye-proekty-normana-fostera-v-stolitse-kazakhstana-astane.

15. https://homius.ru/zolotoe-sechenie-v-arhitekture.html.

16. http://masfem.ru/lico/tip/idealnye-proporcii.html.

Размещено на Allbest.ru