Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВО «КЕМЕРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫЩЛЕННОСТИ (УНИВЕРСИТЕТ)»

Кафедра «Высшая математика»

Анализ работы кассовых аппаратов гипермаркета «Клевер»

Выполнил:

студент гр. ЭК-151

Василюк М. А.

Шифр зачетной книжки: 153196

Проверил: профессор В.А. Павский

Кемерово 2017



Оглавление

Введение

Постановка задачи

Математическая модель

Расчеты и числовые результаты

Анализ результатов



Введение

Каждый день люди ходят в гипермаркеты, аптеки, магазины за продуктами и товарами первой необходимости. Это занятие - неотъемлемая часть нашей жизни, без которой сложно представить дальнейшее будущее. Различного рода услуги можно встретить везде, в таких местах как кинотеатр, ресторан, кафе. Но к большому сожалению в каждом из подобных мест могут возникнуть очереди. Каждый покупатель ценит свое время и не хочет стоять в очередях. Вспомните, когда вы в последний раз долго стояли на кассе... Или зашли, решили ничего не покупать и быстро ушли... Или вообще не стали заходить, увидев, что в магазине стоит толпа, окунаться в которую нет никакого желания.

Что касаемо ситуации со стороны предприятия, его цель - получение максимальной прибыли, но из-за очередей возможность получение большей прибыли сокращается. Ведь есть конкуренты, у которых, скорее всего, очередь минимальная или её совсем нет, и, соответственно, люди уходят к ним. Покупатель хочет удовлетворить свои потребности и, желательно, как можно быстрее. Но также не стоит забывать о том, что одной из целей предприятия является привлечение новых клиентов и удержание старых. Это значит, что нужно создать условия для качественного обслуживания.

В данной работе мной будут произведен анализ эффективности работы гипермаркета «Клевер», в котором периодически возникают очереди. Из-за этого предприятие несет потери клиентов и прибыли. Следовательно, снижается интерес покупателей к данном магазину и простаивает оборудование.

Благодаря расчетам мы можем привести в баланс работу касс и длину очереди и в результате чего получим эффективную рабочую систему.

ТМО - раздел теории случайных процессов, исследующий потоки требований на обслуживание, поступающие (как правило, в случайные моменты времени) в систему массового обслуживания(СМО) и покидающие ее после обслуживания.

Под системой массового обслуживания(СМО) будем понимать комплекс, состоящий: 1) Из случайного входящего потока требований(событий), нуждающихся в обслуживании; 2) Дисциплины очереди; 3) Механизм, осуществляющего обслуживание.

Входящий поток. Для описания входящего потока обычно задается вероятностный закон, управляющий последовательностью моментов поступления требований на обслуживание и количеством требований в каждом поступлении(то есть требования поступают либо единичные, либо групповые). Источник, генерирующий требования, считается неисчерпаемым. Требование, поступившее на обслуживание, может обслуживаться сразу, если есть свободные обслуживающие приборы, либо ждать в очереди, либо отказаться от ожидания, то есть покинуть обслуживающую систему.

Дисциплина очереди. Это описательная характеристика. Требование, поступившее в систему, обслуживается в порядке очереди(дисциплина очереди): "первым пришел - первым обслужен". Другая дисциплина очереди - "последним пришел - первым обслужен" - это обслуживание по приоритету. Наконец, обслуживание требований может быть случайным.

Механизм обслуживания характеризуется продолжительностью и характером процедур обслуживания. Обслуживание может осуществляться по принципу "на одно требование - один обслуживающий прибор". Если в системе несколько, то параллельно могут обслуживаться несколько требований. Часто используют групповое обслуживание, то есть требование обслуживается одновременно несколькими приборами. В некоторых случаях требований обслуживается последовательно несколькими приборами - это многофазовое обслуживание.

По окончании обслуживания требование покидает систему.

Анализ системы массового обслуживания. Целью является рациональный выбор структуры обслуживания и процесса обслуживания. Для этого требуется разработать показатели эффективности функционирования систем массового обслуживания. Например, требуется знать: вероятность того, что занято или свободно k приборов; распределение вероятностей свободных или занятых приборов от обслуживания; вероятность того, что время в очереди находятся заданное число требований; вероятность того, что время ожидания в очереди превысит заданное. К показателям, характеризующих эффективность функционирования системы в среднем, относятся: средняя длина очереди, среднее время ожидания обслуживания, среднее число занятых приборов, среднее время простоя приборов, коэффициент загрузки системы и др. Часто вводятся экономические показатели. Разработкой математических моделей, получением числовых результатов и анализом показателей эффективности занимается теория массового обслуживания(ТМО).



Постановка задачи

В гипермаркете «Клевер» 5 касс. Среднее число клиентов, проходящих в нем за 1 час - 75 человек. В среднем на обслуживание одного человека кассир тратит 3,75 минуты. Стоимость потерь связанных с простаиванием в очереди составляет 24 руб/час. Потеря от простоя кассы 2000 руб/час. Затраты магазина на обслуживание 1 кассы составляет 300 руб/час. Гипермаркет работает 12 часов. Рассчитать эффективность работы гипермаркета «Клевер».

Математическая модель

Модель 1 (системы с ожиданием)

На СМО, состоящую из n приборов, поступает пуассоновский поток требований на обслуживание интенсивностью б. Время обслуживания каждого требования - случайное с экспоненциальной функцией распределения и интенсивностью обслуживания в. Если требование, поступившее в систему, застает все приборы занятыми, то оно встает в очередь и ждет до тех пор, пока прибор не освободится. В каждый момент времени любой прибор может обслуживать не более одного требования. Требуется проанализировать СМО. Обозначим через kp вероятность того, что в СМО находится k требований (состояние ), . Ck k = ,...1,0 В соответствие с моделью имеем граф состояний СМО (рис. 5.1).



По данной схеме получаем однородную систему алгебраических уравнений:

которое является естественным следствием модели.

Таким образом, при естественном ограничении 1 б n ? в )/( < решение системы линейных алгебраических уравнений имеет вид:

Определим показатели эффективности функционирования СМО:



где q1 - стоимость потерь, связанных с простаиванием требований в очереди в единицу времени; q2 - стоимость потерь за простой обслуживающего устройства в единицу времени; q3 - стоимость эксплуатации прибора при обслуживании требований в единицу времени.

q1= 24 руб./час - стоимость потерь, связанных с простаиванием требований в очереди в единицу времени;

q2 = 2000 руб./час - стоимость потерь за простой обслуживающего устройства в единицу времени;

q3 = 300 руб./час - стоимость эксплуатации прибора при обслуживании требований в единицу времени.

Т = 1 месяц = 30 дней, 12 часов - рабочая смена.

Расчеты и числовые результаты

n=5, =75, /nв=0,938 < 1

1) P0 = 0,00281132

2) P1 = 0,013178053

P2=0,030886062

P3=0,048259

P4= 0,056554068

Р5=0,05301944

3)П= 0,848311027

4)P(5+0)= 0,053019439

P(5+1)= 0,049705724

P(5+2)= 0,046599

P(5+3)= 0,043686672

P(5+4)= 0,04095625

P(5+5)= 0,038396489

P(5+6)= 0,035996708

P(5+7)= 0,033746914

P(5+8)= 0,031637732

P(5+9)= 0,029660374

P(5+10)= 0,027807

P(5+11)= 0,026068688

P(5+12)= 0,024439395

P(5+13)= 0,022912

P(5+14)= 0,021479937

P(5+15)= 0,02013744

P(5+16)= 0,018878851

P(5+17)= 0,017698923

P(5+18)= 0,01659274

P(5+19)= 0,015555694

P(5+20)= 0,014583463

P(5+21)= 0,013672

P(5+22)= 0,012817497

P(5+23)= 0,012016403

P(5+24)= 0,011265

P(5+25)= 0,010561292

P(5+26)= 0,00990121

5) t ож= 0,169662205

6) P{ф > t ож}= 0,363193706

7) A= 12,7246654

8) B= 17,4121654

9) Nо= 0,2564145

10) Nз= 4,7435855

11) Кпр= 0,0512829

12)Кз= 0,9487171

13) Gэ= 806866,7736154

Анализ результатов

Данный расчёт проводится с учетом того, что в гипермаркете «Клевер» работает 5 касс. Вероятность того, что все кассы являются свободными мала и равна P0 = 0,00281132. Вероятность того, что все кассы заняты составляет П = 0,848311027, и свидетельствует о том, что имеются свободные кассы. Среднее время, в течение которого клиент ждет своей очереди составляет приблизительно 10 минут (t ож = 0,169662205). Данное ожидание является очень утомительным для клиента, и он вряд ли вернется в этот гипермаркет вновь. Вероятность Р{ф>t ож} = 0,363193706 это говорит о том, что больше среднего ожидают своей очереди 36 человек из 100. Средняя длина очереди составляет приблизительно 13 человек (А = 12,7246654). Среднее число свободных приборов N0 = 0,2564145. Данный показатель говорит о том, что свободных касс почти нет Среднее число занятых приборов обслуживанием - Nз = 4,7435855. Это означает, что 5 касс заняты обслуживанием. На это так же указывают следующие показатели: коэффициент простоя Kпр = 0,0512829 и коэффициент загрузки Кз = 0,9487171. Потери гипермаркета за месяц работы составили 806867 руб.

Расчеты и числовые результаты

При n=6

1) P0 = 0,007134

2) P1 = 0,0334414

P2= 0,0783784

P3= 0,1224662

P4= 0,1435151

Р5= 0,1345454

3)П= 0,4805193

4)

P(6+0)= 0,1051136

P(6+1)= 0,0821200

P(6+2)= 0,0641562

P(6+3)= 0,0501221

P(6+4)= 0,0391579

P(6+5)= 0,0305921

P(6+6)= 0,0239001

P(6+7)= 0,0186719

P(6+8)= 0,0145874

P(6+9)= 0,0113964

P(6+10)= 0,0089035

P(6+11)= 0,0069558

P(6+12)= 0,0011593

P(6+13)= 0,0009057

5) t ож= 0,0228819

6) P{ф > t ож}=0.0228819

7) A= 1.7161403

8) B= 6.4036403

9) Nо= 1.1782519

10) Nз= 4.8217481

11) Кпр= 0.1963753

12) Кз= 0.8036247

13) Gэ= 1 383 917,5877284

Анализ результатов

массовый обслуживание касса очередь

Данный расчёт проводится с учетом того, что в гипермаркете «Клевер» работает 6 касс. Вероятность того, что все кассы являются увеличилась и равна P0 = 0,007134. Вероятность того, что все кассы заняты уменьшилась и составляет П = 0,4805193. Среднее время, в течение которого клиент ждет своей очереди составляет приблизительно 1 минута (t ож = 0,0228819). Ожидание в очереди значительно сократилось при прибавлении ещё 1 кассы. Вероятность Р{ф>t ож} = 0.0228819 - это говорит о том, что больше среднего ожидают своей очереди всего лишь 2 человека из 100. Средняя длина очереди составляет приблизительно 2 человек (А = 1.7161403). Данный показатель говорит о том, что при наличии 5 касс, очередь составляет 13 человек. Среднее число свободных приборов увеличилось и составляет N0 = 1.1782519. Данный показатель говорит о том, что при добавлении 1 кассы увеличилось количество свободных касс. Среднее число занятых приборов обслуживанием - Nз = 4.8217481. Это означает, что почти все 5 касс заняты обслуживанием. На это так же указывают следующие показатели: коэффициент простоя Kпр = 0.1963753 и коэффициент загрузки Кз = 0.8036247. Потери гипермаркета за месяц работы увеличились и составили 1 383 917,5877284 руб.



При n=5 При n=6

P0=	0,00281132	0,007134
П=	0,848311027	0,4805193
t ож=	0,169662205	0,0228819
P{ф > t ож}=	0,363193706	0.0228819
A=	12,7246654	1.7161403
B=	17,4121654	6.4036403
Nо=	0,2564145	1.1782519
Nз=	4,7435855	4.8217481
Кпр=	0,0512829	0.1963753
Кз=	0,9487171	0.8036247
Gэ=	806866,7736154	1 383 917,5877284



Вывод

Для того, чтобы выяснить, какое количество касс необходимо для улучшения работы гипермаркета, было взято n=5 и n=6.

Вероятность того, что все кассы свободны увеличилась на 0,4 раза

Вероятность того, что все кассы заняты уменьшилась в 1,8 раз.

Длина очереди уменьшилась на 11 человек.

Среднее время ожидания в очереди значительно сократилось на 8,5 минут и при 6 работающих кассах составляет 1,37 мин

Кассы стали менее загружены - об этом говорят изменения показателей No, Nз, Кпр, Кз.

Суммарные потери увеличились на 575?050 руб.

Проанализировав все сделанные расчеты, я сделала такой вывод: при увеличении касс на 1 шт они стали работать менее эффективно и увеличились потери в денежном эквиваленте. Но уменьшилась очередь, что положительно влияет на лояльность клиента к гипермаркету.

Размещено на Allbest.ru

...