Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВО «КЕМЕРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ (УНИВЕРСИТЕТ)»

Кафедра «Высшая математика»

Анализ эффективности работы студии маникюра «Эгоистка»

(ТМО)

Выполнил:

студент гр. ЭК-151

Данилова В. А.

Шифр зачетной книжки: 153198

Проверил: профессор В.А. Павский

Кемерово 2017



Оглавление

Введение

Постановка задачи

Математическая модель

Расчеты и числовые результаты

Анализ результатов

Варианты расчетов и выводы



Введение

Важная проблема, которая существует в нашем обществе - это дефицит времени. В современном мире люди дорожат каждой секундой и минутой, поэтому не могут позволить себе тратить драгоценное время на стояние в очереди.

Человек проводит в ожидании более или менее значительную часть своей жизни: очереди машин на въезде на платные автомобильные дороги, очереди самолетов на выезде на взлетную полосу и, как следствие, очереди пассажиров к стойкам регистрации; очередь к банкоматам в больших зданиях, очередь на прием к врачу или очередь телефонных звонков, которые должны быть обработаны на пожарной станции. Это лишь некоторые примеры. Как правило, внимание потребителя привлекает та организация, в которой очередь минимальна или вовсе отсутствует. Если же происходит обратная ситуация, то есть клиент стоит в очереди достаточно долго, то его лояльность к этой организации начинает резко падать.

Очередь в разных видах существует в любой сфере бизнеса. Зачастую масштаб этой проблемы владельцу бизнеса может быть просто непонятен. Обычно предприниматели обращают внимание на решение проблемы оптимизации затрат, но при этом забывают, что неотъемлемым этапом работы является так же подсчет числа людей, которые стоят в очереди и количество ушедших клиентов.

В данной работе я привожу решение проблемы очередей на примере работы студии маникюра «Эгоистка». Женская половина населения нашей страны стремится следить за собой, но, в это же время, не готова долго стоять в очереди. Следовательно, снижается эффективность работы исследуемой организации, происходит потеря клиентов, прибыли и т.п.

Целью данного анализа является решение проблемы, которую создает очередь. Здесь важно найти компромиссный вариант, учитывающий расходы и среднее время ожидания.

Под системой массового обслуживания (СМО) будем понимать комплекс, состоящий: а) из случайного входящего потока требований (событий), нуждающихся в обслуживании; б) дисциплины очереди; в) механизма, осуществляющего обслуживание.

Входящий поток. Для описания входящего потока обычно задается вероятностный закон, управляющий последовательностью моментов поступления требований на обслуживание и количеством требований в каждом поступлении (то есть требования поступают либо единичные, либо групповые). Источник, генерирующий требования, считается неисчерпаемым. Требование, поступившее на обслуживание, может обслуживаться сразу, если есть свободные обслуживающие приборы, либо ждать в очереди, либо отказаться от ожидания, то есть покинуть обслуживающую систему.

Дисциплина очереди. Это описательная характеристика. Требование, поступившее в систему, обслуживается в порядке очереди (дисциплина очереди): «первым пришел - первым обслужен». Другая дисциплина очереди - «последним пришел - первым обслужен» - это обслуживание по приоритету. Наконец, обслуживание требований может быть случайным.

Механизм обслуживания характеризуется продолжительностью и характером процедур обслуживания. Обслуживание может осуществляться по принципу: «на одно требование - один обслуживающий прибор». Если в системе несколько приборов, то параллельно могут обслуживаться несколько требований. Часто используют групповое обслуживание, то есть требование обслуживается одновременно несколькими приборами. В некоторых случаях требование обслуживается последовательно несколькими приборами - это многофазовое обслуживание.

По окончании обслуживания требование покидает систему.

Анализ системы массового обслуживания. Целью является рациональный выбор структуры обслуживания и процесса обслуживания. Для этого требуется разработать показатели эффективности функционирования систем массового обслуживания. Например, требуется знать: вероятность того, что занято или свободно k приборов; распределение вероятностей свободных или занятых приборов от обслуживания; вероятность того, что в очереди находится заданное число требований; вероятность того, что время ожидания в очереди превысит заданное. К показателям, характеризующих эффективность функционирования системы в среднем, относятся: средняя длина очереди; среднее время ожидания обслуживания; среднее число занятых приборов; среднее время простоя приборов; коэффициент загрузки системы и др. Часто вводятся экономические показатели. Разработкой математических моделей, получением числовых результатов и анализом показателей эффективности занимается теория массового обслуживания (ТМО).

Таким образом, основные элементы системы массового обслуживания укладываются в следующую схему (рис. 1).

Рис. 1



Постановка задачи

В студии маникюра «Эгоистка» г. Москва работает 10 мастеров. В среднем в течении дня приходит 76 клиентов. Среднее время обслуживания 1 клиента составляет 1 час. Рабочий день составляет 8 часов. Стоимость одного часа работы мастера маникюра в среднем составляет 500 руб/ час. Стоимость потерь, связанных с простаиванием мастера и оборудования в среднем составляет 350 руб/час. Стоимость потерь, связанных с простаиванием клиента в очереди составляет 100 руб/час.

Проанализировать эффективность работы студии маникюра «Эгоистка».

Математическая модель

На СМО, состоящую из n=10 приборов, поступает пуассоновский поток требований на обслуживание интенсивностью =9,5. Время обслуживания каждого требования случайное с экспоненциальной функцией распределения и интенсивностью обслуживания =1. Если требование, поступившее в систему, застает все приборы занятыми, то оно встает в очередь и ждет до тех пор, пока прибор не освободится. В каждый момент времени любой прибор может обслуживать не более одного требования. Требуется проанализировать СМО.

Обозначим через Pk вероятность того, что в СМО находится k требований. Будем считать, что в начальный момент времени t=0 в системе не было требований.

P0 (0) = 1; k=1, 2, 3,…; Pk (0) = 0.

1) P0 вероятность того, что все приборы свободны:



, (0.92<);

2) Pk вероятность того, что из n приборов занято обслуживанием k приборов (то есть, в системе находится k заявок):

, ;

3) вероятность того, что все приборы системы заняты ():

;

4) вероятность того, что все приборы заняты обслуживанием и s заявок в очереди:

, ;

5) среднее время, в течение которого требование ждет начала обслуживания:

;

6) Вероятность того, что время ожидания в очереди больше среднего :

;

7) A - средняя длина очереди:

или ;

8) B среднее число требований, находящихся в системе:

или ;

9) 0 - среднее число свободных приборов

;

система массовый обслуживание простаивание

10) среднее число приборов, занятых обслуживанием:

;

11) коэффициент простоя приборов:

;

12) коэффициент загрузки приборов:

;

13) суммарные потери за отчетный период T:



,

T=30*8=240

q1=500 руб/ч стоимость потерь, связанных с простаиванием требований в очереди, в единицу времени;

q2=350 руб/ч стоимость потерь за простой обслуживающего устройства в единицу времени;

q3=100 руб/ч стоимость эксплуатации прибора при обслуживании требований в единицу времени.

Расчеты и числовые результаты

Расчет №1

· n = 10,

· б =9,5 чел/час,

· в = 1 чел/час

1. P0 = 0,000025

2. P1 = 0,0002377

P2 = 0,0011290

P3 = 0,0035750

P4 = 0,0084907

P5 = 0,0161323

P6 = 0,0255428

P7 = 0,0346652

P8 = 0,0411649

P9 = 0,0434519

3. П= 0,8255856

4. P(10+0) = 0,0412793

P(10+1) = 0,0392153

P(10+2) = 0,0372545

P(10+3) = 0,0353918

P(10+4) = 0,0336222

P(10+5) = 0,0319411

P(10+6) = 0,0303441

P(10+7) = 0,0288269

P(10+8) = 0,0273855

P(10+9) = 0,0260162

P(10+10) = 0,0247154

P(10+11) = 0,0234797

P(10+12) = 0,0223057

P(10+13) = 0,0211904

P(10+14) = 0,0201309

P(10+15) = 0,0191243

P(10+16) = 0,0181681

P(10+17) = 0,0172597

P(10+18) = 0,0163967

P(10+19) = 0,0155769

P(10+20) = 0,0147980

P(10+21) = 0,0140581

P(10+22) = 0,0133552

P(10+23) = 0,0126875

P(10+24) = 0,0120531

P(10+25) = 0,0114504

P(10+26) = 0,0108779

P(10+27) = 0,0103340

P(10+28) = 0,0098173

5. t ож = 1,6511712

6. P{ф > t ож} = 0,3615887

7. A = 15,686126

8. B = 25,1861260

9. Nо = 0,4565481

10. Nз = 9,5434519

11. R= 9,5434519

12. Кпр = 0,0456548

13. Кз = 0,9543452

14. Gэ = 2149728,005811

Анализ результатов

В расчете №1 в студии маникюра «Эгоистка» работает 10 мастеров.

P0 = 0,000025 - вероятность того, что все мастера свободны и она слишком мала. Вероятность того, что все приборы заняты П = 0,8255856, а это значит, что есть свободные мастера маникюра. Среднее время, в течение которого клиент ждет своей очереди tож = 1,6511712 (? 100 минут), что характеризует студию маникюра не с лучшей стороны. Вероятность Р{ф>tож} = 0,3615887 это говорит о том, что 36 человек из 100 ожидают своей очереди больше среднего. Средняя длина очереди составляет А = 15,686126 - это означает, что при наличии 10 работающих мастеров, очередь составляет в среднем 16 человек. Среднее число свободных приборов N0 = 0,4565481, занятых - N3 = 9,5434519, коэффициент простоя Kпр = 0,0456548 и коэффициент загрузки КЗ = 0,9543452 указывают, что свободных мастеров почти нет, и они слишком загружены. Общие потери за месячный период работы составили 2149728руб.

Варианты расчетов и выводы

Расчет №2

· n = 11,

· б =9,5 чел/час,

· в = 1 чел/час

1. P0 = 0,000052

2. P1 = 0,0004981

P2 = 0,0023661

P3 = 0,0074928

P4 = 0,0177953

P5 = 0,0338111

P6 = 0,0535343

P7 = 0,0726537

P8 = 0,0862763

P9 = 0,0970694

P10 = 0,0865159

3. П = 0,5479343

4. P(11+0) = 0,0747183

P(11+1) = 0,0645295

P(11+2) = 0,05573

P(11+3) = 0,0481304

P(11+4) = 0,0415672

P(11+5) = 0,0358989

P(11+6) = 0,0310036

P(11+7) = 0,0267759

P(11+8) = 0,0231246

P(11+9) = 0,0199713

P(11+10) = 0,0172479

P(11+11) = 0,0148959

P(11+12) = 0,0128647

P(11+13) = 0,0111104

P(11+14) = 0,0095953

P(11+15) = 0,0082869

P(11+16) = 0,0071568

P(11+17) = 0,0061809

P(11+18) = 0,0053381

P(11+19) = 0,0046101

P(11+20) = 0,0039815

P(11+21) = 0,0034386

P(11+22) = 0,0029697

P(11+23) = 0,0025647

P(11+24) = 0,002215

P(11+25) = 0,0019129

P(11+26) = 0,0016521

P(11+27) = 0,0014268

P(11+28) = 0,0012322

P(11+29) = 0,0010642

P(11+30) = 0,0009191

P(11+31) = 0,0007938

P(11+32) = 0,0006855

P(11+33) = 0,000592

5. t ож = 0,3652896

6. P{ф > t ож} = 0,3167843

7. A = 3,4702508

8. B = 13,7921523

9. Nо = 1,5

10. Nз = 9,5

11. R = 9,5

12. Кпр = 0,1363636

13. Кз = 0,8636364

14. Gэ = 770430,0921475



Сравнительный анализ результатов

В расчете №2 в студии маникюра «Эгоистка» работает 11 мастеров.

Вероятность того, то все мастера свободны увеличилась на 0,000027 и составила P0= 0,000052. Вероятность того, что все приборы заняты П = 0,5479343 (произошло уменьшение этого показателя на 0,2776513). Среднее время, в течение которого клиент ждет своей очереди tож = 0,3652896 (? 22 минуты), ожидание уменьшилось на 1,2858816 (? 77 минут). Вероятность того, что время ожидания в очереди больше среднего Р{ф>tож} = 0,3167843 - изменение количества мастеров не много уменьшило ожидание, но стремление к минимуму необходимо. Средняя длина очереди составила А = 3,4702508 - это означает, что при наличии 11 работающих мастеров, очередь уменьшилась на 13 клиентов и составляет в среднем 3 человека. Среднее число свободных приборов увеличилось с N0 = 0,4565481 до N0 = 1,5, занятых уменьшилось не значительно до N3 = 9,5. Коэффициент простоя увеличился на 0,0907088 и составил Kпр = 0,1363636. Коэффициент загрузки уменьшился на 0,0907088 и составил КЗ = 0,8636364 - почти все приборы являются загруженными.

Общие потери за месячный период работы уменьшились на 1379298 руб. и составили 770430 руб.



Вывод

Для анализа эффективности работы студии маникюра «Эгоистка» были рассчитаны варианты с различным количеством мастеров, а именно 10 и 11.

Вероятность того, что все мастера свободны увеличилась на 0,5 раз. Вероятность того, что все мастера заняты уменьшилась в 1,5 раза. Длина очереди при добавлении одно мастера так же уменьшилась на 13 человек и составляет в среднем 3 человека. Среднее время ожидания в очереди значительно сократилась и, при работающих 11 мастерах маникюра, составляет приблизительно 22 минуты. Увеличение количества мастеров до 11 человек не на много снизило среднее число занятых мастеров и коэффициент загрузки, по-прежнему оставляя эти показателя достаточно высокими. А среднее количество свободных мастеров и коэффициент простоя увеличились в 0,9 и 0,6 раз соответственно. Это говорит о том, что мастера стали менее загружены. В итоге, увеличив количество мастеров до 11, суммарные потери сократились в 2,8 раз (на 1?379?298 руб.).

Проанализировав все сделанные расчеты, был сделан вывод о том, что при n=11 работа студии маникюра «Эгоистка» стала эффективнее.

Сводная таблица

Показатель	n=10	n=11
P0=	0,000025	0,000052
П=	0,8255856	0,5479343
t ож=	1,6511712	0,3652896
P{ф > t ож}=	0,3615887	0,3167843
A=	15,6861260	3,4702508
B=	25,1861260	13,7921523
Nо=	0,4565481	1,5
Nз=	9,5434519	9,5
Кпр=	0,0456548	0,1363636
Кз=	0,9543452	0,8636364
Gэ=	2149728,0058118	770430,0921475

Размещено на Allbest.ru

...