Размещено на http://www.allbest.ru/

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Применение метода модифицированных функций Лагранжа для учета дополнительных связей в механических системах

В.Н. Иванов

Анотація

Излагаются результаты работы по формированию теоретических основ использования модифицированных функций Лагранжа, развитых в численных методах оптимизации, для учета дополнительных голономных связей в механических системах. Показано, что данная задача эквивалентна задаче разработки настраиваемого ПИД регулятора в теории адаптивного управления. Исследованы вопросы построения устойчивых алгоритмов рекуррентного оценивания параметров модифицированных функций Лагранжа, обеспечивающих движение механических систем вдоль дополнительных связей с заданной точностью. Данная методика учета дополнительных геометрических и кинематических связей позволяет расширить область применения алгоритмов численного моделирования, разработанных для механических систем со структурой дерева, на системы с замкнутыми кинематическими цепями. На примере конкретной механической системы выполнена апробация и тестирование разработанных вычислительных процедур. Приводится оценка сравнительной эффективности.

Ключевые слова: механические системы; голономные связи; уравнения движения; численное интегрирование; модифицированные функции Лагранжа.

Введение

При проведении опытно-конструк-торских работ по разработке новых изделий машиностроения широко используется компьютерное моделирование динамики механических систем. Оно позволяет уменьшить объем испытаний, сократить время и стоимость новых разработок. В связи с этим существует большое количество работ, посвященных автоматизации данного этапа конструирования [1-14].

Следует отметить, что в настоящее время разработаны и уже широко используются для проведения полного комплекса моделирования, исследований и расчётов динамического поведения сложных механических систем различные программные продукты, такие как "MSC. ADAMS" [15], "Универсальный механизм-UM" [16], "ФРУНД" [17], "EU-LER [18] и другие.

Универсализм перечисленных комплексов программ имеет отрицательную сторону - это увеличенные временные затраты при проведении расчетов и изменении математической модели.

На стадии проектирования для выбора оптимальных параметров создаваемых изделий требуется проведение большого объема многовариантных расчетов. Для этих целей необходимо создание специализированных компьютерных моделей, позволяющих уменьшить время, затрачиваемое на математическое моделирование.

На ранних стадиях проектирования в качестве основной расчетной схемы при создании математической модели обычно используют систему связанных абсолютно твердых тел. Требование точности компьютерного моделирования заставляет увеличивать число тел, на которые разбивается механическая система. C ростом размерности математической модели увеличивается и трудоемкость моделирования. Поэтому разработка методов, позволяющих ускорить процесс математического моделирования, является актуальной задачей.

лагранж механическая система функция

Известно, что математическая модель или система уравнений движения любой связки твердых тел является системой линейных дифференциально-алгебраических уравнений относительно различных групп переменных: обобщенных или декартовых ускорений тел системы, множителей Лагранжа, реакций связей, импульсов. Матрица системы уравнений в общем случае зависит от обобщенных координат и является переменной во времени. На каждом шаге численного интегрирования необходимо приводить уравнения движения к явному виду, т.е. разрешать относительно указанных групп переменных. Это требует определенных вычислительных затрат, объем которых зависит от выбранного метода решения, плотности заполнения матрицы системы и ее структуры.

Математические модели механических систем со структурой дерева имеют рекуррентную структуру и для них в настоящее время разработаны достаточно эффективные методы решения: метод составных тел для уравнений движения в форме Лагранжа II рода [3, 6, 14], методы "прогонки" (отдельных тел) для расширенной системы общих уравнений динамики в декартовых координатах и уравнений движения в форме Лагранжа I рода [7, 8, 10, 14], итерационные методы решения линейных систем с плотно заполненной или разреженной матрицей системы [1, 2, 4].

Однако большинство технических систем имеет в структуре замкнутые циклы. Наличие дополнительных связей нарушает рекуррентную структуру уравнений движения, что приводит к необходимости организации дополнительных матричных вычислений для исключения зависимых переменных и определения ускорений. При этом происходит существенное увеличение времени, затрачиваемого на проведение вычислительных экспериментов.

Описываемая в данной работе методика учета дополнительных геометрических и кинематических связей позволяет расширить область применения эффективных алгоритмов численного моделирования, разработанных для механических систем со структурой дерева, на системы с замкнутыми кинематическими цепями.

1. Постановка задачи

Требуется исследовать динамическое поведение механической системы (системы твердых тел), уравнения движения которой в обобщенных или абсолютных координатах имеют вид (1):

, (1)

где - вектор обобщенных (абсолютных) координат, - вектор скоростей, - вектор ускорений, - матрица инерции, - вектор внешних и внутренних активных сил и сил инерции, n - число степеней свободы или число уравнений (1).

Пусть на систему наложено m дополнительных линейно-независимых голономных, склерономных связей :

, (2)

где - дважды дифференцируемая вектор-функция.

Требуется найти частное решение системы уравнений (1) при заданных дополнительных ограничениях - связях (2) с начальными условиями: , .

2. Методы учета связей в механических системах

В настоящее время для учета дополнительных связей в механических системах используются следующие методы:

классический метод Лагранжа [9, 19, 20, 21];

метод стабилизации связей Баумгарта [21-25];

методы замены связей упруго-демпфирующими элементами (УДЭ) [11, 14, 21];

методы учета связей с помощью штрафных функций (ШФ) [24, 25];

численные методы прямого интегрирования дифференциально-алгебраических систем уравнений (DAE) [13, 24-29];

методы разделения переменных состояния - координат на зависимые и независимые и проектирования уравнений на подпространства независимых координат [20, 24, 25, 30, 31].

Подробные обзоры по методам учета связей в механических системах можно найти в [24, 25].

Перед тем как описать новый метод учета дополнительных связей, основанный на модифицированных функциях Лагранжа и алгоритмах адаптивного управления, сделаем краткий обзор существующих традиционных методов.

Классический метод Лагранжа. Дополнительные связи (2) учитываются в уравнениях (1) с помощью множителей Лагранжа:

,

где - вектор множителей Лагранжа, - вектор обобщенных реакций связей.

Для замыкания динамических уравнений связи (2) дважды дифференцируются:

, ,

где - матрица базиса ортогонального многообразия к дополнительным связям.

Считаем, что матрица имеет полный ранг m.

В результате получаем замкнутую систему уравнений относительно пары векторов :

, (3)

. (4)

Систему (3) - (4) легко разрешить относительно ускорений.

Из (3): .

Подставляем в (4), находим множители Лагранжа

. (5)

Подставляем их в (3), находим ускорения

(6)

Здесь матрица проектирования n-мерных векторов в подпространство, касательное к связям (2).

Недостатки метода Лагранжа: требуется решать дополнительные СЛАУ, возможен уход со связей, так как дифференциальные уравнения (4) имеют общее решение , т.е. со временем (при наличии ошибок вычислений) происходит сход со связи.

Для стабилизации связей используют два основных подхода:

1. Метод Баумгарта [21-25].

2. Численные методы прямого интегрирования дифференциально-алгебраических систем уравнений (DAE), в которых происходит проектирование численного решения ДУ (3), (4) на алгебраические связи и [13, 24-29].

Метод Баумгарта. Баумгарт предложил заменить дифференциальные уравнения (ДУ) связей (4) другими ДУ, которые имеют то же тривиальное частное решение вида (2) , но асимптотически устойчивое в смысле Ляпунова. Основная идея стабилизации связей - демпфирование ускорений связей с помощью обратных связей по нарушениям ограничений на перемещения и скорости :

или в развернутом виде:

, (7)

где - положительные диагональные матрицы параметров, - матрица коэффициентов жесткости ( - круговые частоты), - матрица коэффициентов демпфирования колебаний невязок связей вокруг тривиального решения (логарифмических декрементов).

Объединяя уравнения (3) и (7), получим замкнутую систему уравнений относительно пары векторов :

, (8) . (9)

Введение упругих и демпфирующих членов в уравнения ускорений связей позволяет исключить рост нарушения ограничений в процессе их интегрирования и сделать решение асимптотически устойчивым.

Различные методы моделирования, основанные на методе Баумгарта, различаются выбором параметров жесткости и демпфирования. Их величина зависит от шага интегрирования и наибольшей частоты колебаний механической системы, учитываемой при моделировании:

или , ,

где h - шаг интегрирования, - наивысшая частота колебаний (собственных или вынужденных), учитываемая при моделировании. Коэффициенты демпфирования D выбираются из условия отсутствия колебаний функции , характеризующей нарушение связи, вокруг стационарного решения .

Недостатки метода Баумгарта: требуется решать дополнительные системы линейных уравнений, повышается жесткость системы, уменьшается шаг интегрирования, появляются паразитные вариации траектории, искажаются реакции связей.

Численные методы прямого интегрирования DAE. При этом подходе методы численного интегрирования DAE применяются к расширенной системе уравнений движения механических систем, которая включает в себя динамические уравнения (3), уравнения алгебраических связей (2), кинематических связей и связей на ускорения :

, (10)

, (11)

, (12)

. (13)

В методах интегрирования DAE обычно используется метод Ньютона решения нелинейных уравнений (11) для проектирования численного решения системы ДУ (10) и (13) на алгебраические связи (11) и (12).

В простейшем случае система уравнений для моделирования механических систем с дополнительными связями с использованием методов интегрирования DAE имеет вид

, (14)

, (15)

, (16)

. (17)

Уравнения (14), (15) являются системой DAE относительно промежуточных переменных и . Уравнения (16), (17) - это система алгебраических уравнений относительно переменных q и . Они задают итерационную процедуру метода Ньютона проектирования решения на связи .

Геометрическая интерпретация метода представлена на рис.1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1

Недостатки методов интегрирования DAE: требуется решать дополнительные алгебраические итерационные уравнения, возможно мнимое скольжение по связи.

Методы замены связей упруго-демпфирующими элементами (УДЭ). Связи разрезаются и заменяются линейными упруго-демпфирующими элементами:

, (18)

где - диагональные матрицы жесткости и демпфирования в разрезанных шарнирах.

Преимущество данного метода заключается в простоте реализации. Кроме того, не надо решать дополнительную систему линейных уравнений относительно множителей Лагранжа . Этот метод часто используется в инженерной практике, так как реальные шарниры всегда являются упругими.

С точки зрения методов оптимизации этот метод есть метод внешнего квадратичного штрафа в задачах условной минимизации [32, 33].

Недостатки метода УДЭ: минимум энергии достигается не в точке , а в точке , где - вектор множителей Лагранжа в уравнениях Лагранжа (3), (4). Удовлетворительная точность достигается, только если элементы матриц , появляются дополнительные высокочастотные малые колебания в системе, замедляется численный расчет.

Методы учета связей с помощью штрафных функций (ШФ). При выводе уравнений движения из интегральных принципов механики ограничения (11), (12) и (13) будем учитывать не методом Лагранжа, а методом внешнего штрафа [32, 33].

Из принципа наименьшего действия Гамильтона - Остроградского:

где - штрафной коэффициент, - диагональные матрицы жесткости и демпфирования, получаем уравнения:

(19)

В уравнениях (19) в отличие от уравнений (18) элементы матриц и можно брать небольшими. Однако этот метод имеет те же недостатки, что метод УДЭ.

Недостатки метода ШФ: минимум энергии достигается в точке , удовлетворительная точность достигается, только если штрафной коэффициент , появляются дополнительные высокочастотные малые колебания в системе, замедляется численный расчет.

Упомянутые выше методы учета дополнительных связей с помощью разделения переменных состояния - координат на зависимые и независимые и проектирования уравнений движения на подпространства независимых координат являются традиционными в классической механике. Их преимущества и недостатки хорошо известны. Практические рекомендации по их применению можно найти в [9, 20, 24, 25, 30, 31]. Заметим только, что проекционные методы трудно применять для автоматизации этапа формирования математической модели механической системы и поэтому они не рассматриваются в этой статье.

3. Метод модифицированных функций Лагранжа

В данном разделе описывается новый метод учета дополнительных связей, основанный на модифицированных функциях Лагранжа и алгоритмах адаптивного управления.

Уравнения движения получим из принципа Гамильтона - Остроградского, где дополнительные связи учтем методом модифицированных функций Лагранжа в форме Пауэлла [32, 33]:

,

где - вектор модифицированных множителей Лагранжа. Заметим, что в точке минимума действия по Гамильтону существует связь между обычными и модифицированными множителями Лагранжа: . Для пересчета переменных e используем приближенную итерационную формулу с линейной скоростью сходимости: , где - коэффициенты усиления обратной связи.

Если ввести новые переменные , то уравнения движения преобразуются к виду

, (20)

. (21)

Уравнения движения в форме (20), (21) можно рассматривать как уравнения системы автоматического регулирования, где управление берется в форме ПИ-регулятора [34].

Физически это означает, что к системе добавляются некоторые силовые элементы с управляемыми параметрами, которые за счет расширения фазового пространства позволяют обеспечить заданную точность моделирования.

Выбор параметров ПИ-регулятора. Настройка ПИ-регулятора (21) заключается в подборе 3-х векторных параметров: , С, D. Можно использовать стандартные методы из теории автоматического регулирования, например, метод Зиглера - Никольса [34]. Однако для поставленной задачи более пригодным оказывается другой подход.

Пусть на механическую систему накладывается только одна дополнительная связь (2). Если из системы уравнений (20), (21) исключить координаты механической системы, убрать внешнее силовое воздействие и линеаризовать, то получим линейное однородное ДУ, описывающее собственные колебания модифицированного множителя Лагранжа е:

. (22)

Потребуем, чтобы характеристическое уравнение для ДУ (22) имело вид

,

где , - коэффициенты демпфирования, - круговая частота регулятора (21).

Полагаем: , , , .

Сопоставляя (18) и (19), получаем связь между коэффициентами

, , .

Из установленных соотношений определяем следующие параметры ПИ-регулятора:

(23)

Равенства (23) задают коэффициенты усиления обратной связи, демпфирующие и упругие параметры ПИ-регулятора (21). С практической точки зрения, преимущество уравнений (20), (21) заключается в том, что система уравнений (20) имеет ту же структуру, что и исходная система (1) без дополнительной связи. Это означает, что для ее разрешения относительно ускорений можно использовать эффективные методы решения рекуррентных систем уравнений, если исходная механическая система имеет структуру дерева. Уравнения (20), (21) построены таким образом, что при возникновении отклонений изменяется в первую очередь ненапряженная длина дополнительного упруго-демпфирующего элемента так, чтобы создаваемая этим элементом дополнительная сила обеспечивала скольжение механической системы по дополнительной связи .

4. Вычислительный эксперимент

Сравнительная эффективность различных подходов к учету дополнительных связей исследовалась на модельном примере механической системы, представляющей собой два многозвенных математических маятника и , связанных невесомой балкой (рис.2). В результате получается система с замкнутой кинематической цепью.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2

Для каждого маятника можно записать:

геометрические соотношения

и кинематические соотношения

где - длина каждого звена маятников, - обобщенные координаты - абсолютные углы отклонения звеньев от вертикали. Результаты приводятся для случая , , . Уравнения движения (1) для каждого маятника строились в форме Лагранжа II рода:

,

где Т, П - кинетическая и потенциальная энергии:

,

.

Дополнительная связь (2):

.

Сравнивались характеристики следующих методов.

1. Метод Лагранжа:

,

.

2. Метод Баумгарта:

,

.

3. Интегрирование DAE:

,

,

,

.

4. Метод замены связей упруго-демпфирующими элементами (УДЭ):

.

5. Метод модифицированных функций Лагранжа (МФЛ):

,

.

Вычисления проводились в среде САВ Mathematica. Интегрирование выполнялось встроенной процедурой NDSolve с установленными по умолчанию параметрами.

Конструктивные параметры каждого метода выбирались таким образом, чтобы в результатах расчетов переменных состояния механической системы, полученных разными методами, не наблюдалось визуальных отличий.

На рис.3-6 приведены графики колебаний обобщенных координат (результаты по всем методам).

Рис.3. Колебания 1-го звена

Рис.4. Колебания 2-го звена

Рис.5. Колебания n-го звена

Рис.6. Колебания 2n-го звена

Обобщенная реакция в дополнительной связи приведена на рис.7 (результаты по всем методам).

Рис.7

Следующие рисунки (рис.8-12) представляют18

графики невязки дополнительной связи , получаемой различными методами.

Рис.8. Метод Лагранжа

Рис.9. Метод Баумгарта

Рис.10. Интегрирование DAE

Рис.11. Метод УДЭ

Рис.12. Метод МФЛ

Графики (рис.8-12) показывают, что метод Лагранжа приводит к постепенному сходу со связи, наименее точными являются методы Баумгарта и замены связей упруго-демпфирующими элементами. Лучшие результаты показывают метод интегрирования DAE и метод модифицированных функций Лагранжа.

В следующей таблице представлено время, потраченное на моделирование различными методами.

Метод	Время, с
Лагранжа	3.05
Баумгарта	2.92
DАЕ	8.5
УДЕ	33.29
МФЛ	1.42

Из таблицы следует, что наиболее быстрыми являются методы МФЛ и Баумгарта, а наиболее медленным - метод УДЭ.

Выводы

В статье представлен новый метод учета дополнительных связей в механических системах, основанный на модифицированных функциях Лагранжа и алгоритмах адаптивного управления.

На примере показано, что метод имеет преимущества перед существующими методами учета дополнительных связей.

Список литературы

1. Иванов В.Н., Шимановский В.А. Использование итерационных алгоритмов разрешения уравнений движения механических систем при их численном интегрировании // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2006. Вып.4 (4). С.28-38.

2. Иванов В.Н., Шимановский В.А. Применение итерационных методов для разрешения уравнений движения систем связанных твёрдых тел // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2008. Вып.4 (20). С.109-116.

3. Иванов В.Н., Домбровский И.В., Набоков Ф.В., Шевелев Н.А., Шимановский В.А. Классификация моделей систем твердых тел, используемых в численных расчетах динамического поведения машиностроительных конструкций // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. № 2. С.139-155.

4. Иванов В.Н. Основные свойства обратного итерационного алгоритма решения систем линейных уравнений с положительно определенными матрицами // Вычислительные методы и программирование: Новые вычислительные технологии. 2012. Т.13. С.366-376. URL: http://num-meth. srcc. msu.ru/ (дата обращения: 19.10.2013).

5. Бячков А.Б., Иванов В.Н., Шимановский В.А. Классификация форм уравнений динамики систем твёрдых тел со структурой дерева // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып.7 (33). С.21-25.

6. Шимановский В.А., Иванов В.Н. Формирование уравнений движения механических систем в обобщённых координатах // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь. 2005. Вып.37. С.188-201.

7. Шимановский В.А., Иванов В.Н. Методы составления уравнений движения систем связанных твёрдых тел в декартовых координатах // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь. 2007. Вып.39. С.248-262.

8. Шимановский В.А., Иванов В.Н. Уравнения движения систем связанных твердых тел в канонических переменных // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып.2 (21). С.76-82.

9. Величенко В.В. Матрично-геометрические методы в механике с приложениями к задачам робототехники. М.: Наука, 1988.

10. Верещагин A.Ф. Метод моделирования на ЦВМ динамики сложных механизмов роботов-манипуляторов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1974. № 6. С.89-94.

11. Виттенбург Й. Динамика систем твёрдых тел. М.: Мир. 1980.

12. Лилов Л.К. Моделирование систем связанных тел. М.: Наука, Гл. ред. физ. - мат. лит. 1993.

13. Погорелов Д.Ю. Введение в моделирование динамики систем тел. Брянск: БГТУ, 1997.

14. Погорелов Д.Ю. Алгоритмы синтеза и численного интегрирования уравнений движения систем тел с большим числом степеней свободы // Восьмой всерос. съезд по теоретической и прикладной механике: аннотац. докл. Пермь, 2001. С.490-491.

15. Adams [Электронный ресурс]: система виртуального моделирования машин и механизмов // ООО "Эм-Эс-Си Софтвэр РУС", 2001-2012. URL: http://www.mscsoftware.ru/products/adams (дата обращения: 19.10.2013).

16. Универсальный механизм [Электронный ресурс]: динамика машин и механизмов, динамика автомобилей и железнодорожных экипажей, прикладная механика, кинематика, обратная кинематика // Лаборатория вычислительной механики / Брянский государственный технический университет. Брянск, 2012. URL: http://www.umlab.ru/index\_rus. htm (дата обращения: 19.10.2013).

17. ФРУНД [Электронный ресурс]: моделирование динамики систем твёрдых и упругих тел // Волгоградский государственный технический университет. Волгоград, 2005. URL: http://frund. vstu.ru /frund. htm (дата обращения: 19.10.2013).

18. EULER [Электронный ресурс]: программный комплекс автоматизированного динамического анализа многокомпонентных механических систем // ЗАО "АвтоМеханика". М., 1993-2011. URL: http://www.euler.ru/index. php/euler (дата обращения: 19.10.2013).

19. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат, 1946.

20. Shabana A. A.computational Dynamics. New York: Wiley, 2001.

21. Wittenburg J. Dymamics of Multibody Systems. Berlin: Springer-Verlag, 2008.

22. Nikravesh P. E. Some Methods for Dynamic Analysis of Constrained Mechanical Systems: a Survey // NATO ASI Series: Computer Aided Analysis and Optimization of Mechanical System Dynamics. 1984. V. F9. Р.351-368.

23. Flores P., Ambrosio J. Revolute joints with clearance in multibody systems // Computers and Structures. 2004. V.82. P.1359-1369.

24. Tseng F. - C., Ma Z. - D., Hulbert G. M. Efficient numerical solution of constrained multibody dynamics systems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2003. V. 192. P.439-472.

25. Jalon J. G., Bayo E. Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems. The Real-Time Challenge. Springer-Verlag, New York. 1994.

26. Terze Z., Lefeber D., Muftic O. Null Space Integration Method for Constrained Multibody Systems with No Constraint Violation // Multibody System Dynamics. 2001. V.6. P.229-243.

27. Betsch P. Energy-consistent numerical integration of mechanical systems with mixed holonomic and nonholonomic constraints // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2006. V. 195. P.7020-7035.

28. Betsch P. The discrete null space method for the energy consistent integration of constrained mechanical systems Part I: Holonomic constraints // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2005. V. 194. P.5159-5190.

29. Arnold M., Fuchs A., Fuhrer C. Efficient corrector iteration for DAE time integration in multibody dynamics // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2006. V. 195. P.6958-6973.

30. Blajer W. Geometrical Interpretation of Multibody Dynamics: Theory and Implementations // NATO ASI Series II: Mathematics, Physics and Chemistry / Virtual Nonlinear Multibody Systems. 2002. V.103. Р.17-36.

31. Yu Q., Chen I. - M. A Direct Violation Correction Method in Numerical Simulation of Constrained Multibody Systems // Computational Mechanics. 2000. V.26. P.52-57.

32. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир. 1985.

33. Nocedal J., Wright S. J. Numerical Optimization. Berlin: Springer. 2006.

34. Ощепков А.Ю. Системы автоматического управления: теория, моделирование в МАТLAB: учеб. пособие. СПб.: Лань, 2013.

Размещено на Allbest.ru

...