Периодические решения системы линейных функционально-дифференциальных уравнений
Система двух функционально-дифференциальных уравнений общего вида. Достаточные условия разрешимости периодической краевой задачи для этой системы в случае резонанса. Периодическая краевая задача для системы функционально-дифференциальных уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2019 |
| Размер файла | 62,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Периодические решения системы линейных функционально-дифференциальных уравнений
А.Р. Абдуллаев
Е.А. Скачкова
Аннотации
Рассматривается система двух функционально-дифференциальных уравнений общего вида. Получены достаточные условия разрешимости периодической краевой задачи для этой системы в случае резонанса.
Ключевые слова: система линейных функционально-дифференциальных уравнений; периодические решения.
Введение
Рассмотрим периодическую краевую задачу для системы функционально-дифференциальных уравнений:
(1) (2)
где - функции линейные операторы, .
Актуальность задачи вида (1), (2), в частности, обусловлена и тем, что многие периодические краевые задачи для скалярного уравнения второго порядка допускают запись в виде системы.
В классическом случае, т.е. для обыкновенных дифференциальных уравнений, операторы могут определяться равенствами:
, .
Исследованию некоторых специальных случаев периодической краевой задачи вида (1), (2) посвящены, в частности, работы [1], [2], [3].
В предлагаемой работе получены новые достаточные условия разрешимости задачи (1), (2), для операторов общего вида. Для некоторых конкретных случаев эти результаты уточняют известные в литературе результаты.
Структура предлагаемой работы такова: в пункте 2 приведены основные обозначения и определения, а также известные вспомогательные утверждения, применяемые в работе. Содержание пункта 3 является подготовительным, а именно, получены необходимые для доказательства основного результата утверждения. Основной результат работы сформулирован в виде теорем 2 и 4.
дифференциальное уравнение резонанс краевая задача
1. Обозначения
Уточним основные термины и понятия, используемые в статье. Пусть - линейное пространство вещественных вектор-столбцов с нормой ; , - пространство суммируемых в -ой степени функций с нормой ; - банахово пространство абсолютно непрерывных функций , таких, что , с нормой . Через обозначим банахово пространство пар таких, что с нормой . Аналогично определяется пространство с нормой .
Обозначим через пространство с нормой пространства .
Для линейного оператора , где - банаховы пространства, через и соответственно обозначим ядро и образ оператора.
Нам потребуется понятие обобщенно обратного к оператору оператора. Пусть проектор на ядро оператора и - дополнительный проектор [4]. Так как понятие обобщенно обратного оператора трактуется по-разному, в работе мы будем следовать определению, сформулированному в [5].
Определение. Оператор
будем называть обобщенно обратным к оператору , ассоциированным с проектором Р, если справедливы равенства:
1) , где - оператор естественного вложения;
2) ;
3) .
Определение [6]. Относительным коэффициентом сюръективности оператора назовем число , определяемое равенством
.
Определение [6]. Если оператор ограничен на ограниченных подмножествах и
то он называется квазиограниченным, а число квазинормой оператора . Если , то при и при . Если , то эту величину называют квазинормой оператора .
Определение. Под решением задачи (1), (2) будем понимать пару функций , удовлетворяющих почти всюду на уравнениям (1) и краевым условиям (2).
Для определения условий разрешимости уравнения (3), а следовательно и задачи (1), (2), воспользуемся следующей теоремой.
Пусть - разложение в прямую сумму замкнутых подпространств.
Теорема 1 [7]. Пусть выполнены условия:
1) - нетеров; 2) - вполне непрерывен; 3) существуют такие числа , что для каждого элемента существует элемент , удовлетворяющий требованиям , ; 4) .
Тогда уравнение (3) имеет хотя бы одно решение.
Отметим, что в приведенной выше теореме 1 не предполагается обратимость оператора . Как известно, в этом случае уравнение (3) принять называть резонансным.
2. Вспомогательные утверждения
Запишем задачу (1), (2) в пространстве в виде операторного уравнения
(3)
где операторы , определены равенствами:
,
Лемма 1. Ядро и образ оператора определяются равенствами
, (4)
. (5)
Операторы и , определяемые равенствами
, (6)
, (7)
являются проекторами соответственно на ядро и образ оператора .
Доказательство. Справедливость равенства (4) очевидна.
Проверим справедливость равенства (5). Решим систему
для произвольных . Имеем Применив периодические краевые условия, получим По определению
.
Справедливость равенства проверяется непосредственно.
Для доказательства утверждения (7) достаточно проверить, что оператор , определенный равенством
,
является проектором. Действительно, Это и означает, что оператор является проектором, называемым дополнительным к . Равенство очевидно. Лемма доказана.
Соответствующее выбранным проекторам и разложения пространств и представим в виде
,
где .
Лемма 2. Обобщенно обратный оператор для оператора , ассоциированный с проектором (6) имеет вид
(8).
и его норма удовлетворяет равенству: .
Доказательство. Сначала проверим, что оператор (8) является обобщенно обратным к оператору . Имеем
Найдем оценку .
=.
Лемма доказана.
Оператору поставим в соответствие линейный ограниченный сюръективный оператор
,
и обозначим через сопряженный к оператор.
Для оценки коэффициента сюръективности оператора нам потребуется
Лемма 3 [6]. Пусть - линейный ограниченный нормально разрешимый оператор, ядро которого дополняемо. Для любого ограниченного проектора на обобщенно обратный к оператору ограничен, причем норма оператора удовлетворяет неравенству .
Лемма 4. Для оператора справедлива оценка , где .
Доказательство. Действительно, утверждение леммы 5 следует из неравенства
где ,
.
Лемма доказана.
3. Формулировка основного результата
Для проверки выполнения третьего условия теоремы 1 рассмотрим уравнение
где , - некоторый элемент . Если при каждом фиксированном данное уравнение имеет решение, то существует оператор удовлетворяющий условию .
Положим , где , .
Теорема 2. Если выполнено условие , то оператор , удовлетворяющий условию для , имеет представление:
, (9), где
,
,
,
,
, , .
Доказательство. Для доказательства теоремы рассмотрим систему
Можно показать, что из данной системы при каждой фиксированной паре однозначно определяются и . Ввиду громоздкости подробности этих выкладок опускаем. Полагая , получим утверждение теоремы. Теорема доказана.
Лемма 5. Пусть выполнено условие , тогда оператор определенный равенством (9), имеет норму, удовлетворяющую неравенству
где
Доказательство. Имеем
.
Нетрудно показать, что справедливы следующие оценки:
,
, где
Подставляя последние в оценку нормы, завершаем доказательство теоремы. Лемма доказана.
Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия:
1) ;
2) ,
где
,
,
.
Тогда задача (1), (2) имеет хотя бы одно решение в пространстве .
Доказательство. Справедливость первых двух утверждений теоремы 1 очевидна.
Выполнение условия 3) теоремы 1 следует из утверждения теоремы 2.
Леммы 3 и 4 гарантируют выполнение условия 4) теоремы 1.
Следовательно, существует хотя бы одно решение операторного уравнения (3), а значит и рассматриваемой периодической краевой задачи (1), (2). Теорема доказана.
Список литературы
1. Kiguradze I., Puza B. On periodic solutions of systems of linear functional differential equations // Arch. Math. 1997, 33 (2). P. 197-212.
2. Mukhigulashvili S. On a periodic boundary value problem for cyclic feedback type linear functional differential systems // Arch. Math. 2006, 87 (3). P.255-260.
3. Бравый Е.И. О разрешимости периодической краевой задачи для систем функционально-дифференциальных уравнений с циклической матрицей // Известия вузов. Математика. 2011, № 10. С.17-27.
4. Треногин В.А. Функциональный анализ: монография. Изд.3-е. М.: Физматлит, 2002.488 с.
5. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологически нетеровых операторов. Челябинск, 1994.93 с.
6. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Об одной схеме исследования на разрешимость резонансных краевых задач // Известия высших учебных заведений. Математика. 1996. №11. С.14-22.
7. Абдуллаев А.Р. О разрешимости квазилинейных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференциальные уравнения: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехн. ин-т. Пермь, 1992. С.80-87.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Рассмотрение теории дифференциальных уравнений. Выделение классов уравнений с систем, решения которых не имеют подвижных критических особых точек. Установление достаточности найденных условий путем сравнения с классическими системами типа Пенлеве.
курсовая работа [137,0 K], добавлен 01.06.2015Система двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, порождённая прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Аналитические свойства решения, наличие у системы четырёхпараметрических семейств решений.
реферат [104,0 K], добавлен 28.06.2009Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений. Основные примеры построения фундаментальных решений линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, метод преобразования Фурье. Преимущества использования методов спуска.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 10.04.2014Вычисление общего решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Расчет определенного интеграла с точностью до 0,001. Определение вероятности заданных событий, математического ожидания и дисперсии случайной величины.
контрольная работа [543,4 K], добавлен 21.10.2012Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
контрольная работа [355,9 K], добавлен 28.02.2011Существование и единственность решений дифференциальных уравнений. Геометрическая интерпретация решений. Линейные и нелинейные системы. Дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций конкурирующих видов, их решения и фазовые портреты.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 27.06.2012Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 24.06.2009Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.
курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011Представления линейных дифференциальных уравнений как средств математического решения практических задач в естествознании. Простейшая модель однородных популяций на примере определения роста численности карасей. Отлов с постоянной и относительной квотой.
курсовая работа [413,2 K], добавлен 11.07.2011Механическая интерпретация нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Свойства решений автономных систем. Предельное поведение траекторий, циклы. Функция последования и направления их исследования, оценка характерных параметров.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 24.09.2013Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Оригиналы и изображения функций по Лапласу. Основные теоремы операционного исчисления. Изображения простейших функций. Отыскание оригинала по изображению. Задача Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
дипломная работа [162,3 K], добавлен 27.05.2008Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей боковое перемещение нестабильного самолета относительно заданного курса полета методом преобразования Лапласа. Стабилизация движения путем введения отрицательной обратной связи.
курсовая работа [335,8 K], добавлен 31.05.2016Система Ляпунова - случай одной степени свободы. Необходимые и достаточные условия существования периодических решений. Применение алгоритма Ляпунова для построения приближенного периодического решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [243,8 K], добавлен 11.05.2012
