Разрешимость периодической краевой задачи для уравнения типа Ван дер Поля
Исследование периодической краевой задачи для заданного уравнения. Определение функциональных банаховых пространств. Вычисление ограниченных проекторов на ядро и образ оператора. Расчет и обоснование изоморфизма. Доказательство представленных теорем.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2019 |
| Размер файла | 82,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Разрешимость периодической краевой задачи для уравнения типа Ван дер Поля
© Абдуллаев А. Р., Савочкина А. А., 2013В настоящей работе рассматривается периодическая краевая задача для уравнения
, (1)
, (2)
где , - искомая функция, непрерывная функция и .
Уравнение (1) является уравнением «типа Ван дер Поля», так как, с одной стороны, является частным случаем уравнения Льенара, когда , а с другой стороны, является уравнением Ван дер Поля при . Уравнение (1) с возникает в современных математических моделях, в частности при моделировании микроэлектромеханических (MEMS) систем [1].
Определим следующие функциональные банаховы пространства: - пространство функций, суммируемых по Лебегу с квадратом на отрезке , с нормой ; - пространство абсолютно непрерывных вместе с первой производной функций таких, что , с нормой . Символом обозначим подпространство
.
Пространство будем рассматривать и как гильбертово пространство со скалярным произведением
.
Согласованная со скалярным произведением норма является эквивалентной норме , причем справедливо неравенство .
Под решением задачи (1), (2) будем понимать такую функцию , которая почти всюду на удовлетворяет уравнению (1) и периодическим краевым условиям (2). Отметим, что периодическая задача (1), (2) на пространстве становится эквивалентной только уравнению (1).
Применяемая в статье техника исследования, основана на теореме о разрешимости квазилинейного операторного уравнения, доказанная в работе [2]. Для удобства чтения, приведем здесь формулировку этой теоремы.
Пусть - действительные банаховы пространства, - линейный ограниченный оператор с ядром и образом .
Рассмотрим квазилинейное операторное уравнение
, (3)
где оператор является фредгольмовым, - непрерывным, вообще говоря, нелинейным оператором.
В силу фредгольмовости оператора справедливы разложения , , причем изоморфно как подпространства одинаковой размерности. Изоморфизм между подпространством и ядром обозначим через .
Будем предполагать, что ядро оператора является гильбертовым пространством со скалярным произведением , причем , .
Проекторы на ядро и образ оператора обозначим и соответственно, и пусть - дополнительный проектор, т.е. .
Определим оператор (сужение на подпространство ) равенством .
Оператор определим как сужение оператора на подпространство . Этот оператор имеет правый обратный . Далее будем называть оператор обобщенно обратным к оператором [3].
Сформулируем теорему существования [2] решения квазилинейного операторного уравнения (3).
Теорема 1 [2]. Пусть выполнены условия:
1) существует такая константа , что неравенство
справедливо для всех и произвольных ;
2) существуют константы такие, что выполнено неравенство для всех ;
3) .
Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение.
Периодическую задачу (1) - (2) будем записывать в виде операторного уравнения (3) с оператором , полагая ,
, (4)
. (5)
Оператор , определенный равенством (4), является линейным ограниченным фредгольмовым оператором с ядром и образом
,.
Ограниченные проекторы на ядро и образ оператора определим равенствами:
,,
, .
Изоморфизм определим равенством , , а оператор равенством .
Лемма 1 [4]. Оператор имеет вид
,
и справедлива оценка .
Теорема 2. Пусть и выполнены условия:
1) существует такая константа , что для любого ;
2) ,
где , .
Тогда задача (1) - (2) имеет хотя бы одно решение.
Доказательство. Оператор
,
где имеет вид
Интеграл в силу краевых условий (2).
Для произвольных оценим скалярное произведение
Таким образом, условие 1) теоремы 1 выполнено с константой .
Так как для любого справедливы неравенства
, ,
где ,
,
то
.
краевой изоморфизм уравнение
Следовательно, условие 2) теоремы 1 выполнено с константами .
Справедливость условия 3) теоремы обеспечивает выполнение условия 3) теоремы 1. Если учесть, что оператор , определенный равенством (5), вполне непрерывен, то все условия теоремы 1 выполнены. Это означает, что операторное уравнение (3) имеет решение, а следовательно задача (1) - (2) разрешима. Теорема доказана.
Список литературы
Абдуллаев А.Р., Жиганкова П.О. Периодические решения уравнения Льенара, моделирующего микроэлектромеханические системы (MEMS) // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Прикладная математика и механика. 2012. №10. C. 3-5.
Абдуллаев А.Р., Плехова Э.В., Савочкина А.А. О разрешимости квазилинейного уравнения с монотонным оператором // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2010. №2 (98). С. 80-85.
Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологических нетеровых операторов: моногр. Челябинск, 1994. 93 с.
4. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Об одной схеме исследования на разрешимость резонансных краевых задач // Изв. вузов. Математика. 1996. №11. С. 14-22.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Банаховы функциональные пространства. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина. Признаки существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения.
курсовая работа [440,4 K], добавлен 27.05.2015Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Метод разделения переменных в задаче Штурма-Лиувилля. Единственность решения смешанной краевой задачи, реализуемая методом априорных оценок. Постановка и решение смешанной краевой задачи для нелокального волнового уравнения с дробной производной.
курсовая работа [1003,8 K], добавлен 29.11.2014Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Описание метода сведения краевой задачи к задаче Коши. Решение системы из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Метод Рунге-Кутта. Расчет максимальной погрешности и выполнение проверки точности. Метод конечных разностей. Описание полученных результатов.
курсовая работа [245,2 K], добавлен 10.07.2012Аналитическое решение уравнения для вынужденных поперечных колебаний консольного стержня. Численное решение уравнения с помощью метода "бегущего счёта". Вывод уравнения движения из основных законов физики. Построение дискретной модели и выбор сетки.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 25.02.2013Определение, свойства и примеры функциональных уравнений. Основные методы их решения, доказательство некоторых теорем. Понятие группы функций, применение их при решении функциональных уравнений с несколькими переменными. Класс уравнений типа Коши.
курсовая работа [86,3 K], добавлен 01.10.2011Изучение численно-аналитического метода решения краевых задач математической физики на примере неоднородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Численная реализация вычислительного метода и вычислительного эксперимента, особенности их оформления.
практическая работа [332,7 K], добавлен 28.01.2014Решение краевой задачи. Методы конечно-разностных, центрально-разностных отношений и метод прогонки. Приближенное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью методов Галеркина, Ритца и коллокации, сравнение результов.
курсовая работа [596,2 K], добавлен 27.04.2011Порядок и принципы составления дифференциального уравнения, методика нахождения неизвестных значений. Замена исходного дифференциального уравнения на систему n-линейных уравнений относительно n-неизвестных. Формирование и решение системы уравнений.
задача [118,8 K], добавлен 20.09.2013Исследование задачи Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области методами спектрального анализа. Обоснование корректности постановки нелокальных начально-граничных задач различных вырождающихся дифференциальных уравнений.
курсовая работа [135,1 K], добавлен 06.05.2011Исследование и подбор матрицы, удовлетворяющей условиям заданного уравнения. Разложение функции по формуле Тейлора в окрестности точки, расчет коэффициентов. Формирование уравнения гиперболы, имеющего заданные координаты фокусов. Расчет корней уравнения.
контрольная работа [113,2 K], добавлен 16.04.2016Определение оператора в гильбертовом пространстве. Индексы дефекта симметрического оператора. Преобразование Кэли и формулы Неймана. Формула Крейна для резольвент самосопряженных расширений заданного симметрического оператора, доказательство теорем.
курсовая работа [190,6 K], добавлен 18.08.2011Определение типа кривой по виду уравнения, уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Определение медианы, уравнения средней линии в треугольнике. Вопросы по линейной алгебре. Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы.
контрольная работа [97,5 K], добавлен 31.10.2010Понятие функционала и оператора. Задачи, приводящие к экстремуму функционала, и необходимые условия его минимума. Связь между вариационной и краевой задачами. Функционалы, зависящие от нескольких функций. Вариационные задачи с подвижными границами.
курсовая работа [313,3 K], добавлен 23.05.2010Решение линейной краевой задачи методом конечных разностей (методом сеток). Замена области непрерывного изменения аргументов дискретным множеством узлов (сеток). Сведение линейной краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений (сеточных).
лекция [463,7 K], добавлен 28.06.2009Особенности решения обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с заданными граничными условиями методом конечной разности. Составление трехдиагональной матрицы. Реализация решения в программе Microsoft Office Excel.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 23.12.2013Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Великая (большая и последняя) теорема Ферма, ее доказательство для простых показателей. Целочисленные решение уравнения Пифагора в "Арифметике" Диофанта. Формулы для решения уравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел. Преобразование уравнения Ферма.
реферат [29,1 K], добавлен 19.11.2010
