О соотношении мощностей множества Рассела и множества всех множеств
Основные свойства множеств с самоприрадлежностью. Бесконечно малая величина в математике. Множество, содержащее все множества, задаваемое непредикативной схемой свёртывания. Использование бесконечных, недостижимых последователей в математических теориях.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2019 |
| Размер файла | 22,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http: //www. allbest. ru/
Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
О соотношении мощностей множества Рассела и множества всех множеств
В.Л. Чечулин
chechulinvl@mail.ru ; (342) 2-396-424
Аннотация
самопринадлежность множество математика величина
Показано, что мощность множества, содержащего все несамопринадлежащие множества (множества Рассела), относительно мощности множества всех множеств есть бесконечно малая величина, т. е. несамопринадлежащих множеств бесконечно мало по сравнению с самопринадлежащими множествами.
Ключевые слова: множества с самопринадлежностью; множество всех множеств; множество несамопринадлежащих множеств; мощность множеств; бесконечно малая величина.
Annotatіon
About the relative power of the set of Russell and the set of all sets
V. L. Chechulin
Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukirev st., 15
chechulinvl@mail.ru ; (342) 2-396-424
It is shown that the power of the set containing all unselfconsidering sets (the Russell's set) on the power of the set of all sets is infinitesimal - that is, unselfconsidering sets infinitely small in comparison with selfconsidering sets.
Key words: sets with selfconsidering; the set of all sets; the set of all unselfconsidering sets; power sets; an infinitesimal.
Основные свойства множеств с самоприрадлежностью описаны ранее в монографии [7]. Множество, содержащее все несамопринадлежащие множества (множество Рассела), было описано в работе [4]. То, что мощность множества всех множеств является максимальной, установлено в работе [6]. В статье исследуется вопрос о соотношении мощностей множеств: множества несамопринадлежащих множеств А и множества всех множеств М.
Рассмотрим соотношение мощностей:
|A| / |M|, (1)
где А - множество, содержащее все множества, задаваемое непредикативной схемой свёртывания [4, 7].
А = {[х]М | х или ((х = a, aа) либо а = А
или а = V(A), где -- число ))}; (2)
М - множество всех множеств.
Строится множество А*1, такое, что содержит как все несамопринадлежащие объекты множества А, так и все их простые последователи. Для всех В, ВВ, [B] A, последователь к В, Р(В)А*1. При этом по определению последователя он самопринадлежащ - Р(В) Р(В). Аналогично строится А*2, где используются последователи порядка 1 и 2, Р(В) и Р2(В) и т. д. до бесконечных и недостижимых последователей включительно (все эти последователи -- самопринадлежащи, для бесконечных РN(.) берется самопринадлежащий Р(РN(.)) ) строятся множества А* .
Отношения мощностей множеств таковы:
|A| / |А*1| 1/2,
|A| / |А*2| 1/3, … и т. д.
Тогда отношение мощностей |A| / |А*|, при устремлении к увеличению, стремится к бесконечно малой величине :
|A| / |А*| . (3)
Ввиду максимальности мощности множества всех множеств имеет место соотношение
|А*| < |M|,
что с учетом (1) означает, что
|A| / |А*| > |A| / |M|.
Следовательно, отношение (1) мажорируемо отношением (3), значит,
|A| / |M| = ,
где - бесконечно малая величина, < .
Доказана теорема.
Теорема 1 (о количестве несамопринадлежащих множеств). Количество несамопринадлежащих множеств |А| бесконечно мало по сравнению с мощностью множества всех множеств
|M|; |A| / |M| = ,
- бесконечно малая величина.
Таким образом, наивная [1] и аксиоматические [2, 3, 4] теории множеств, оперирующие только несамопринадлежащими множествами, описывали лишь совокупность множеств бесконечно малую по сравнению с самопринадлежащим множеством всех множеств.
Список литературы
1. Архангельский А.В. Канторовская теория множеств, М.: Изд-во МГУ, 1987.
2. Бурбаки Н. Теория множеств / пер. с фр. М.: Мир, 1965. 458 с.
3. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / пер. с англ. М.: Мир, 1970. 416с.
4. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств / пер с англ. Ю.А.Гастева; под. ред. А.С.Есенина-Вольпина. М.: Мир , 1966. 366 с.
5. Чечулин В. Л. О множествах с самопринадлежностью // Вестник Пермского университета. Сер. Математика Механика. Информатика. 2005. C. 133-138.
6. Чечулин В. Л. Об упорядоченных множествах с самопринадлежностью // Вестник Пермского университета. Сер. Математика Механика. Информатика. 2008.Вып. 4(20). C. 37-46.
7. Чечулин В. Л. О свободе теории множеств с самопринадлежностью от известных парадоксов наивной теории множеств // Вестник Пермского университета. Сер. Математика Механика. Информатика. 2010. Вып. 1 (1). C. 29-31.
8. Чечулин В. Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения) / Пем. гос. ун-т. Пермь, 2010. 100 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие множества и его элементов. Обозначение принадлежности элемента множеству. Конечные и бесконечные множества. Строгое и нестрогое включение. Способы задания множеств. Равенство множеств и двухсторонее включение. Диаграммы Венна для трех множеств.
презентация [564,8 K], добавлен 23.12.2013Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.
курсовая работа [358,3 K], добавлен 07.12.2012Понятие множества, его трактование Георгом Кантором. Условные обозначения множеств. Виды множеств, способы их задания. Операции над множествами (пересечение, объединение, разность и дополнение), условия их равенства и основные свойства, отношения.
презентация [1,2 M], добавлен 12.12.2012Мера ограниченного открытого множества. Мера ограниченного замкнутого множества. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества. Измеримые множества. Измеримость и мера как инварианты движения. Класс измеримых множеств.
курсовая работа [122,6 K], добавлен 28.05.2007Множество как ключевой объект математики, теории множеств и логики. Операции над множествами, числовые последовательности. Множества действительных чисел. Бесконечно малые и большие функции. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
лекция [540,0 K], добавлен 25.03.2012Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.
дипломная работа [191,8 K], добавлен 08.08.2007Краткое историческое описание становления теории множеств. Теоремы теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Определение основных понятий, таких как мощность, счетные, замкнутые множества, континуальное множество.
дипломная работа [440,3 K], добавлен 30.03.2011Теория частичных действий как естественное продолжение теории полных действий. История создания и перспективы развития теории упорядоченных множеств. Частично упорядоченные множества. Вполне упорядоченные множества. Частичные группоиды и их свойства.
реферат [185,5 K], добавлен 24.12.2007Мономорфные стрелки. Эпиморфные стрелки. Изострелки. КатегориЯ множеств. Мономорфизм в категории множеств. Эпиморфизм в категории множеств. Начальные и конечные объекты в категории множеств. Произведение в категории множеств.
дипломная работа [144,3 K], добавлен 08.08.2007Алгоритм упорядочивания множества. Определение декартового произведения, его графическая интерпретация. Обратное декартово произведение множеств. Проецирование на оси координат и на координатные плоскости. Область определения и область значений.
лекция [126,5 K], добавлен 18.12.2013Определения понятия множество. Предельная точка множества, предел функции в точке. Эквивалентные, счетные и несчетные множества. Замкнутые и открытые множества. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве.
курсовая работа [222,3 K], добавлен 11.01.2011Понятия множеств и их элементов, подмножеств и принадлежности. Способы задания множеств, парадокс Рассела. Количество элементов или мощность. Сравнение множеств, их объединение, пересечение, разность и дополнение. Аксиоматическая теория множеств.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 07.02.2011Свойства множества Кантора. Исследование заданной функции на непрерывность. Выражение множества B (кладбище Серпинского) и D (гребёнка Кантора) через множество Кантора. Свойства и построение всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 24.06.2015Предпосылки развития алгебры множеств. Основы силлогистики и соотношение между множествами. Применение и типы жергонновых отношений. Понятие пустого множества и универсума. Построение диаграмм Эйлера и обоснование законов транзитивности и контрапозиции.
контрольная работа [369,0 K], добавлен 03.09.2010Теория множеств - одна из областей математики. Понятие, обозначение, основные элементы конечных и бесконечных множеств - совокупности или набора определенных и различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое. Пустое и универсальное множество.
реферат [126,6 K], добавлен 14.12.2011Определение понятия множеств Г. Кантора, их примеры и обозначения. Способы задания, включение и равенство множеств, операции над ними: объединение, пересечения, разность, дополнение, их определение и наглядное представление на диаграмме Эйлера-Венна.
реферат [70,9 K], добавлен 11.03.2009Типичные примеры рефлексивных бинарных отношений. Понятие множества и его элементов. Операции над множествами: объединение, пересечение и разность. Декартово произведение множеств. Отношения функциональные, эквивалентности, порядка. Отношения степени n.
контрольная работа [163,2 K], добавлен 08.11.2009Определение понятия множества как совокупности некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Классификация операций над множествами. Принципы взаимно однозначного соответствия. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего кратного.
презентация [249,6 K], добавлен 24.09.2011Понятие нечеткого множества и свойства его элементов. Определение логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции. Основные этапы нечеткого вывода, метод центра тяжести. Оценка состояния повреждения объекта на основе теории нечетких множеств.
курсовая работа [316,8 K], добавлен 22.07.2011Дифференциальное уравнение с начальными данными. Свойства предельных множеств автономных систем. Приближенное решение дифференциальных уравнений. Вопрос о сходимости ряда. Предельные множества траекторий автономных систем, состоящие из целых траекторий.
реферат [1,1 M], добавлен 12.12.2012
