О структурном изоморфизме множеств подмножеств структурно изоморфных множеств
Теория множеств с самопринадлежностью, свойства структурного изоморфизма при описании бесконечных самоподобных множеств. Анализ и описание свойств структурного изоморфизма, прикладная интерпретация этих свойств на предметной области формальных языков.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2019 |
| Размер файла | 25,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Пермский государственный национальный исследовательский университет
О структурном изоморфизме множеств подмножеств структурно изоморфных множеств
В.Л. Чечулин
Аннотация
Описано свойство структурного изоморфизма множеств подмножеств структурно изоморфных множеств, в теории множеств с самопринадлежностью. Указана прикладная интерпретация этого свойства в лингвистической области. Минимальная модельная область для формального языка с самоссылочностью - все множество всех множеств.
Ключевые слова: теория множеств с самопринадлежностью; структурный изоморфизм; множество подмножеств; структурный изоморфизм множеств подмножеств; формальные языки и системы; модельная область для формального языка; множество всех множеств.
The properties of the structural isomorphism of sets of subsets of lattice isomorphic sets in set theory with samoprinadlezhnostyu. Specified application properties in the interpretation of this linguistic area. The minimum area for a formal modeling language samossylochnostyu - the entire set of all sets.
Keywords: set theory with samoprinadlezhnostyu; structural isomorphism; the set of subsets of a lattice isomorphism of sets of subsets; formal languages and systems; the model area for a formal language; the set of all sets.
Содержание
- Предисловие
- 1. Теорема о структурном изоморфизме
- 2. Обратная теорема
- 3. Приложение в матлингвистике
- Заключение
- Список литературы
- Предисловие
- В теории множеств с самопринадлежностью свойства структурного изоморфизма использовались при описании бесконечных самоподобных множеств [1], [2]. Ниже описываются свойства структурного изоморфизма в связи с выделением модельных областей для формальных языков Рукопись набросков подробного доказательства описанной теоремы была случайно найдена в архиве автора в 2011 г..
- Определение 1. Два объекта изоморфны, если существует изоморфное отображение одного в другой, т.е. А В, если существует изоморфизм ц:
- А>В, ц(аi)=bi,
- где ai A, bi B.
- Определение 2. Два объекта структурно изоморфны, если они изоморфны и совпадают по структуре, т.е. А В если А В (изоморфизм ц: А>В) и если для любых а1, a2 A, b1, b2 B,
- b1 = ц(а1), b2 = ц(а2),- (а1a2)(b1b2).
- Пример 1. Объекты А = {[а], А} и 2 = {1, 2} - структурно изоморфны, объекты А и С = {[c1], [c2]} - изоморфны, но не структурно (А С), A [a].
1. Теорема о структурном изоморфизме
Пусть А и В - структурно изоморфные множества из М, А В, т.е. имеется изоморфизм ц: А>В, т.е.
(x1x2)(y1y2), где у 1 =ц(х1), y2=ц(x2).
Для множеств подмножеств А и В, Ехр(А) и Ехр(В) выполняется следующее:
1. Для единичных объектов. х 1, х 2 -единичные объекты из А, тогда если х1 х2, то х1 х2, следовательно, так как А В,
у1 =ц(х 1), y2=ц(x2), у1 у2.
Для множеств подмножеств Ехр(А) и Ехр(В): так как для единичного объекта выполняется (см. [2] Скобки означают [.] - брать как единичный объект, {.} - брать как множество.) х1=[х1] и [х1]={[х1]}, то подмножества, состоящие из единичных объектов, совпадают с самими единичными объектами, значит, для единичных объектов из Ехр(А) и Ехр(В) условие структурного изоморфизма
([{x1}][{x2}])([{y1}][{y2}]),(x1x2)(y1y2), выполнено.
2. Для несамопринадлежащих подмножеств. Х3 А, Х3 Х3, тогда так как А В, Y3= ц(X3) и Y3Y3. Для множеств подмножеств Ехр(А) и Ехр(В): так как Х 3 А, то [{Х 3}]Ехр(А), [{Х 3}] - единичный объект, [{Х 3}][{Х 3}], то же характерно и для Y3, [{Y3}][{Y3}]; условие структурного изоморфизма выполнено.
3. Для самопринадлежащих подмножеств. Х4 А, Х4Х 4, тогда так как А В, Y4=ц(X4) и Y4Y4. Для множеств подмножеств Ехр(А) и Ехр(В): так как для самопринадлежащих множеств Х4=[{Х4}] и Y4=[{Y4}], то аналогично тому как для единичных объектов (см. п. 1), условие структурного изоморфизма выполнено.
Все варианты подмножеств множеств А и В описаны вышеозначенными п. 1-3; значит, и таким образом доказана теорема.
Теорема 1 (об изоморфизме множеств подмножеств). Если два множества структурно изоморфны друг другу, то множества их подмножеств также структурно изоморфны между собой, А В Exp(А) Exp(В). ?
Изоморфизм множеств А и В (не структурный) не влечет изоморфизма множеств подмножеств Ехр(А) и Ехр(В).
Пример 2. Для множеств примера 1 множества подмножеств таковы:
Ехр(А)=А, |Ехр(А)|=2, Ехр(С)= {[c1], [c2], [{[c1], [c2]}]}, |Ехр(C)|=3. Ехр(А) и Ехр(С) - не изоморфны.
2. Обратная теорема
Допустимы и обратные рассуждения. Пусть имеются структурно изоморфные множества С и D, С D, ш: С>D и для любых с1, с2 A, d1, d2 D, d1 = ц(c1), d2 = ц(c2),- (c1c2)(d1d2); при этом известно, что С и D являются множествами подмножеств множеств А и В соответственно, С=Ехр(А), В=Ехр(D).
Объекты из С и D исчерпываются следующими вариантами:
1. Самопринадлежащие объекты, отличные от единичных объектов, Х5Х5, Х5С, |Х5|?2, Х5А, ввиду структурного изоморфизма ш:
С>D, Y5= ш(Х5), Y5D, Y5Y5, Y5В,
ввиду того, что АЕхр(А) и ВЕхр(В), структурный изоморфизм ш в отношении этих самопринадлежащих множеств (Y5 и Х 5) имеет место. Это имеет место для всех самопринадлежащих множеств из С, D, А, В, отличных от единичных объектов.
2. Несамопринадлежащие подмножества из C и D, не входящие в А и В, не относятся к подмножествам из А и В.
3. Единичные объекты из С, D.
3.1. Собственно единичные объекты, такие что [[а]]C и [а]А, аналогично пункту 1 удовлетворяют условия структурного изоморфизма.
3.2. Единичные объекты из C, D, образованные несамопринадлежащими подмно-жествами из А, В. [Z]C, ZA, тогда единичные объекты и самопринадлежащие множества, которые образуют Z, принадлежат как С, так и А, для них по п. 1, 2 имеет место структурный изоморфизм ш. Следовательно, А и В изоморфны, а ввиду выполнения условий структурного изоморфизма п. 1-3 - структурно изоморфны (все варианты объектов из С, D исчерпаны).
Таким образом, доказана теорема.
Теорема 2 (обратная теореме об изоморфизме множеств подмножеств). Если два множества C и D структурно изоморфны друг другу и являются множествами подмножеств множеств А и В соответственно, то и множества А и В структурно изоморфны. множества их подмножеств также структурно изоморфны между собой,
С=Exp(А) Exp(В)А=D А В. Ў
3. Приложение в матлингвистике
Пусть имеются два языка L1 и L2 (формальных), в них имеются высказывания F1 и F2 соответственно, структура которых описываема множествами (с самопринадлежностью), тогда перевод из языка L1 высказывания F1 высказыванием F2 из языка L2 адекватен, если имеется структурный изоморфизм F1 F2.
Естественно, что наряду с высказыванием F язык L содержит и все возможные его подмножества, т. е. модельная область G для формального языка L является множеством, совпадающим с множеством своих подмножеств G=Ехр(G).
Формальные языки (и системы) по модельной области делятся на следующие:
1. Языки с конечной модельной областью, как, например, лямбда-исчисление, модельная область которого - конечные натуральные числа, см. [4], [3], [5].
2. Если высказывания языка несамоссылочны (кроме высказываний о самом языке), то его модельная область - это множество, содержащее все несамопринадлежащие множества с необрывающимся рядом внутренностей:
А={[х]М|х или (х=a, aа, а=V(A),
где - число)}, - ряд внутренностей этого множества аналогичен самоподобному упорядоченному объекту [2], [6].
3. Поскольку объектов промежуточной мощности между самоподобными множествами и множеством всех множеств М выделить не удается [7], то минимальная модельная область для языка с самоссылочностью - это все множество М.
Таким образом, имеет место теорема.
Теорема 3 (о модельной области языка с самоссылочностью). Минимальной модельной областью формального языка с самоссылочностью является все множество всех множеств М. ?
Заключение
множество самопринадлежность изоморфизм
При описании свойств структурного изоморфизма и прикладной интерпретации этих свойств на предметной области формальных языков показано, что минимальной модельной областью для языка с самоссылочностью является все множество всех множеств.
Список литературы
1. Чечулин В.Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения): монография / Перм. ун-т. Пермь, 2010. 100 с. URL:http://elibrary.ru/item.asp?id=15267103.
2. Чечулин В.Л. Об упорядоченных множествах с самопринадлежностью // Вестн. Перм.ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2008. Вып. 4(20). C. 37-46.
3. Чечулин В.Л. Об одном варианте модельной области лямбда-исчисления // Синтаксис и семантика логических систем. Иркутск, 2010. С.112-114.
4. Чечулин В.Л. О приложениях семантики самопринадлежности // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Вып. 3(29). С.10-17.
5. Чечулин В.Л. О непротиворечивости лямбда-исчисления // В мире научных открытий. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. №1. С.203-206. URL: http://www.nkras.ru/articles/2011/1/vypusk12011.pdf
6. Chechulin V.L. About the selfconsidering semantic in the mathematical logic // Bull. Symbolic Logic. 2010. Vol. 16, issue 1. Р.111-112.
7. Чечулин В.Л. О соотношении мощностей множества Рассела и множества всех множеств // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012 (в печати).
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятия множеств и их элементов, подмножеств и принадлежности. Способы задания множеств, парадокс Рассела. Количество элементов или мощность. Сравнение множеств, их объединение, пересечение, разность и дополнение. Аксиоматическая теория множеств.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 07.02.2011Мономорфные стрелки. Эпиморфные стрелки. Изострелки. КатегориЯ множеств. Мономорфизм в категории множеств. Эпиморфизм в категории множеств. Начальные и конечные объекты в категории множеств. Произведение в категории множеств.
дипломная работа [144,3 K], добавлен 08.08.2007Теория множеств - одна из областей математики. Понятие, обозначение, основные элементы конечных и бесконечных множеств - совокупности или набора определенных и различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое. Пустое и универсальное множество.
реферат [126,6 K], добавлен 14.12.2011Понятие множества и его элементов. Обозначение принадлежности элемента множеству. Конечные и бесконечные множества. Строгое и нестрогое включение. Способы задания множеств. Равенство множеств и двухсторонее включение. Диаграммы Венна для трех множеств.
презентация [564,8 K], добавлен 23.12.2013Понятие множества, его обозначения. Операции объединения, пересечения и дополнения множеств. Свойства счетных множеств. История развития представлений о числе, появление множества натуральных, рациональных и действительных чисел, операции с ними.
курсовая работа [358,3 K], добавлен 07.12.2012Краткое историческое описание становления теории множеств. Теоремы теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Определение основных понятий, таких как мощность, счетные, замкнутые множества, континуальное множество.
дипломная работа [440,3 K], добавлен 30.03.2011Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.
дипломная работа [191,8 K], добавлен 08.08.2007Математическая теория нечетких множеств, история развития. Функции принадлежности нечетких бинарных отношений. Формирование и оценка перспективного роста предприятия оптовой торговли. Порог разделения ассортимента, главные особенности его определения.
контрольная работа [22,3 K], добавлен 08.11.2011Математическая теория нечетких множеств и нечеткая логика как обобщения классической теории множеств и классической формальной логики. Сферы и особенности применения нечетких экспертных систем. Анализ математического аппарата, способы задания функций.
презентация [1,0 M], добавлен 17.04.2013Понятие множества, его трактование Георгом Кантором. Условные обозначения множеств. Виды множеств, способы их задания. Операции над множествами (пересечение, объединение, разность и дополнение), условия их равенства и основные свойства, отношения.
презентация [1,2 M], добавлен 12.12.2012Определение понятия множеств Г. Кантора, их примеры и обозначения. Способы задания, включение и равенство множеств, операции над ними: объединение, пересечения, разность, дополнение, их определение и наглядное представление на диаграмме Эйлера-Венна.
реферат [70,9 K], добавлен 11.03.2009Предпосылки развития алгебры множеств. Основы силлогистики и соотношение между множествами. Применение и типы жергонновых отношений. Понятие пустого множества и универсума. Построение диаграмм Эйлера и обоснование законов транзитивности и контрапозиции.
контрольная работа [369,0 K], добавлен 03.09.2010Способы решения логических задач типа "Кто есть кто?" методами графов, табличным способом, сопоставлением трех множеств; тактических, истинностных задач, на нахождение пересечения множеств или их объединения. Буквенные ребусы и примеры со звездочками.
курсовая работа [622,2 K], добавлен 15.06.2010Мера ограниченного открытого множества. Мера ограниченного замкнутого множества. Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества. Измеримые множества. Измеримость и мера как инварианты движения. Класс измеримых множеств.
курсовая работа [122,6 K], добавлен 28.05.2007Теория графов как раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. Основные понятия теории графов. Матрицы смежности и инцидентности и их практическое применение при анализе решений.
реферат [368,2 K], добавлен 13.06.2011Минимизация заданного выражения алгебры множеств на основании известных свойств. Анализ заданного бинарного отношения в общем виде. Вывод формул булевых функций для каждого элемента и схемы в целом. Преобразование формулы булевой функции логической схемы.
контрольная работа [286,7 K], добавлен 28.02.2009Изучение вопросов применения теории множеств, их отношений и свойств и теории графов, а также математических методов конечно-разностных аппроксимаций для описания конструкций РЭА (радиоэлектронной аппаратуры) и моделирования протекающих в них процессов.
реферат [206,9 K], добавлен 26.09.2010Графическая интерпретация множеств и операций над ними. Математическая логика, булева алгебра. Совершенная конъюнктивная нормальная форма. Равносильные формулы и их доказательство. Полнота системы булевых функций. Логика предикатов, теория графов.
лекция [253,7 K], добавлен 01.12.2009Алгоритм упорядочивания множества. Определение декартового произведения, его графическая интерпретация. Обратное декартово произведение множеств. Проецирование на оси координат и на координатные плоскости. Область определения и область значений.
лекция [126,5 K], добавлен 18.12.2013Определение понятия множества как совокупности некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Классификация операций над множествами. Принципы взаимно однозначного соответствия. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего кратного.
презентация [249,6 K], добавлен 24.09.2011
